【新教材精创】5-2-1 三角函数的概念 教学设计（2）-人教A版高中数学必修第一册

【新教材】5.2.1三角函数的概念三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。

课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：图1­2­1(2)结论①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sinα＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cosα＝x；③eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tan_α，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝eq\r(x2＋y2)＞0)．三角函数定义定义域名称sinαyR正弦cosαxR余弦tanαyeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：图1­2­2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．诱导公式一四、典例分析、举一反三题型一三角函数的定义及应用例1在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sinα，cosα，tanα的值．【答案】当α的终边在第二象限时，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝－2.当α的终边在第四象限时，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝－2.【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(2,－1)＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－2)，则r＝eq\r(12＋－22)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(－2,1)＝－2.解题技巧：（已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法）(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．跟踪训练一1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ.【答案】当x＝1时，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝3；当x＝－1时，此时sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝－3.【解析】由题意知r＝|OP|＝eq\r(x2＋9)，由三角函数定义得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又∵cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，∴eq\f(x,\r(x2＋9))＝eq\f(\r(10),10)x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,1)＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,－1)＝－3.题型二三角函数值的符号例2(1)若α是第四象限角，则点P(cosα，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin183°；②taneq\f(7π,4)；③cos5.【答案】（1）四；（2）①sin183°<0；②taneq\f(7π,4)<0；③cos5>0.【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cosα>0，tanα<0，∴点P(cosα，tanα)在第四象限．(2)①∵180°<183°<270°，∴sin183°<0；②∵eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，∴taneq\f(7π,4)<0；③∵eq\f(3π,2)<5<2π，∴cos5>0.解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略)(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．跟踪训练二1．确定下列式子的符号：(1)tan108°·cos305°；(2)eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))；(3)tan120°·sin269°.【答案】(1)tan108°·cos305°＜0；(2)eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))＞0；（3）tan120°sin269°＞0.【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos305°＞0.从而tan108°·cos305°＜0.(2)∵eq\f(5π,6)是第二象限角，eq\f(11π,6)是第四象限角，eq\f(2π,3)是第二象限角，∴coseq\f(5π,6)＜0，taneq\f(11π,6)＜0，sineq\f(2π,3)＞0.从而eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin269°＜0.从而tan120°sin269°＞0.题型三诱导公式一的应用例3求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).【答案】（1）eq\f(\r(3),2)；（2）eq\f(5,4).【解析】(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).解题技巧：（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．跟踪训练三1．化简下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π.【答案】（1）(a－b)2；（2）eq\f(1,2).【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan0＝sine