大学数学排列组合(文科生补充)

两个基本原理(l)从甲地到乙地，可乘火车、汽车、轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析：因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理：nm1

种不同的方法，在第二类办法中有m十n22十n2

种不同的方法，„„，在第nmn

种不同的方法．那么完成1这件事共有N＝m1

m十„十

种不同的方法．AB3BC2ABC村，共有多少种不同的走法？A村到B33BB村到C2A村经B村去C3×2=6一般地，有如下原理：1nn1n

种不同的方法，做第2二步有m2

种不同的方法，„，做第n步有m

种不同的方法．那么完成这件事共有Nmm1

mn

种不同的方法．例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．从中任取一本，有多少种不同的取法？从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？（）6中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6+5=11．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有65数是N6530．2)由数字l，2，3，4，5由数字l，2，3，4，50，l，2，3，4，55个数字中任选一个数字，共有555种选法．根据乘法原理，得到可以组成N555125．练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？从甲地到丙地共有多少种不同的走法？一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O1、19、2010张分别标有数1291O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？0－910小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法2.排列(1)【基本概念】什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被取元素各不相同排成一列，叫做从nm．【例题与练习】12、、4、bcd34【排列数】定义：从nm(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n取出m元素的排列数，用符号Am表示.nAmn

n(n1)(n2) (nmAmn

0!=1 (nm n

；n

；n

；计算：A2；A4；A2 5写出：

5 15从五个元素ab、、e12、、4301、、333.排列(2)例1：⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——A7＝50407⑵7位同学站成两排（前3后4，共有多少种不同的排法？⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A6=7206⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？A25名2同学进行全排列有A5种，则共有A2A5=240种排列方法5 2 5⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在A255（全排5列）有A5种方法所以一共有A2A5＝2400种排列方法．5 5 5（排除法）若甲站在排头有A6种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若6 6A5种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在5A72A6A5=2400种．7 6 5小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法殊元素可以优先考虑．例2：7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？5个元素（同学）一A6A26以这样的排法一共有A66

2A2＝1440种．2⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有A55

A3＝720种．3⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2A24A45 4“松绑”进行排列有A2种方法．所以这样的排法一共有A2A4A2＝960种方法．2小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法（先捆后松．例3：7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

5 4 2（排除法）A

A6A2

36007 6 2（插空法）先将其余五个同学排好有A5种方法，此时他们留下六个位置5（就称为“空”吧，再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）A2种方法，6A5A2

3600种方法．5 6⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有A4种方法，此时他们留下五个“空4A3A4A3＝1440种．5 4 5小结三：对于不相邻问题，常用“插空法（特殊元素后考虑．4.组合(1)nm（m≤n）n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注：1．不同元素 “只取不排”—无序性 ．相同组合：元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴从CD四个景点选出2（组合）⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记（排列）组合数的概念：从nn个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cm表示．n232C233种组合．又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即：C264组合数公式从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数C3是多少呢？44分析由而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A3 可4以求得，考察C3A3的关系，如下：4 4abcabc,abcabc,bac,cab,acb,bca,cbaabdabd,bad,dab,adb,bda,dbaacdacd,cad,dac,adc,cda,dcabcdbcd,cbd,dbc,bdc,cdb,dcb643A3434C3对每一个组合的3个不同元素进行全排列A34A3＝C3A3C

3A3 4．4 4 3

4 A33⑵nmAmnnm个元素的组合数CmmnAmAm＝CmAmm n n m⑶组合数的公式：Am n(n2) (nmCm nn Amm

n!或Cmn

m!(nm)!

(n,mN,且mn)例1．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？C6

C4

C2

902461多少种？（直接法）32男11男2C3，C

C1，C1C2，所以一共有C3C2C1C1C2＝100种方法．

4 4 64 6 4 4 6 4 6（间接法）C310

C6

100练习：计算：①C

和C

；②C

C2与C3；③C

C510 10

7 6

11 11答案：①120，120 ②20，20 ③7925.组合(2)1Cmn

Cnm．n理解：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因nm个元素的每一个组合nmnmn个元素中取出nm个元素的组合数，即：Cmn

Cnm．在这里，我们主要体nCnmn

(n(n又Cm

∴Cm

Cnmn m)! n n注：1我们规定C01nn2等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．n3此性质作用：当m 时，计算Cm可变为计算Cnm，能够使运算简化．2C2001＝C20022001＝C

n n=2002．2002

2002

2002例1.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴C8

56 ⑵C7

21 ⑶C7

35C8

C7

C3．为什么呢？72．10090104件检查．⑴都不是次品的取法有多少种？⑵至少有1件次品的取法有多少种？⑶不都是次品的取法有多少种？解：⑴C490

2555190；⑵C4 C

C1C

C2C

C3C1 C

1366035；100 90

10

10

10 90 10⑶C4 C

C1C3

C2C

C3C1C

3921015．100 10

90

90

90 10 90例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：⑴分给甲、乙、丙三人，每人两本；⑵分为三份，每份两本；⑶分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；⑷分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．C2C2C

90种．6 4 2C2C2C26 4 2第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名A3种方法．根据分步计数原理可得：C2C2C

xC3，所以3C2C2C2

6 4 2 3x 6 4 A33

15．因此分为三份，每份两本一共有15种方法．注：本题是分组中的“C1C2C

60种方法．6 5 3⑷在⑶的基础上在进行全排列，所以一共有C1C2C3A3

360种方法．6 5 3 32C2C2C

90种6 4 23C1C2C3A33601、6 5 3 34C4A390种方法．所以一共有90+360+9540种方法．6 3例4．⑴四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？⑵四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：⑴根据分步计数原理：一共有44256种方法．⑵（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有C2A3种方法．所以4一共有C4

4A3＝144种方法．469使用，问可以组成多少个三位数？6，则有2(A2C1C1C1种方法；②若不取6，则8 2 7 7有C1A2种方法．根据分类计数原理，一共有2(A2C1C1C1C1A2＝602种方法．7 7 8 2 7 7 7 76.概率初步补充（一）相互独立事件01、02、0330、31这313177个数字都一样（顺序，则获一等奖。若有甲、乙两名同学前去抽奖，则他们均获一等奖的概率是多少？1如果在甲中一等奖后乙去买彩票，则也中一等奖的概率为多少）C1311如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，则乙中一等奖的概率为多少）C1315321是白球叫做事件A2次取出的球是白球叫做事件。1次取出的球不放回去，求事件B发生的概率；4 5（如果事件A发生，则P（B）=

；如果事件B不发生，则P（B）= ）7 71次取出的球仍放回去，求事件B发生的概率。5 5（如果事件A发生，则P（B）= ；如果事件B不发生，则P（B）= ）8 8（二）相互独立事件同时发生的概率问题：甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有1个白球，3个黑球；从这两个坛子中分别摸出1个球，假设每一个球被摸出的可能性都相等。问：它们都是白球的概率是多少？它们都是黑球的概率是多少？甲坛子中摸出白球，乙坛子中摸出黑球的概率是多少？（）显然，一次试验中可能出现的结果有n=C1C1=20而这个事件包含的结果5 4m 3有m=C1C1=3,根据等可能事件的概率计算公式得：P=n20。3 1 1C1C1 6 3同

= 2

。2 C1C1

20 105 4C1C1 9

= 3 3 ；3 C1C1 205 4（三）相互独立事件与互斥事件互斥事件与相互独立事件有何区别？两事件互斥是指两个事件不可能同时发生另一事件发生的概率没有影响。下列各对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？为什么？“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子，向上的面是2“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”；321与“从中任意取出1个球，得到黑球”；32141已知B（（1-（·P是下列那个事件的概率A．事件、B同时发生； B．事件、B至少有一个发生；C．事件、B至多有一个发生； D．事件、B都不发生；甲、乙2人各进行一次射击，如果20.6计算：（1）2人都击中目标的概率；（2）2（P=0.60.6=0.3；（2）P=（1-0.6）（1-0.6）=0.16；（四）N次独立重复试验恰有K次发生的概率甲乙丙三人各射击一次，三人击中目标的概率都是0.6，求其中恰有一人击中目标的率和目标被击中的概率。 （0.288） （0.936）如图，每个开关闭合的概率都为0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。 0.6811如图，每个开关闭合的概率都是0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。(提示：反向思考较为简单（0.847）)甲乙两