大学数学专业 微分几何复习题

一、（2）⒈向量具有固定方向，则a= 。⒉非零向量满足0的充要条件是 。⒊设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由,确定的平是曲线在P点的 。⒋曲线r在点0 0程是 。⒌曲线r在t=1点处有 2，则曲线在t=1对应的点处其挠率。⒏在旋转曲面r ,,中， 是旋转曲面的经线。⒐曲面zz(x,y)在点(x0

0

)的法线方程是 。⒑直纹面的参数表示总可以写成r 。11、向量函数r使)0的充要条件是r。12、若rr0 0是 。13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是16已知曲面r的第一类基本量为EF则两方向du:dv与u:v垂直的充要条件是 。17对曲面r有dr2 4du2 3dv2则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从t0t（tt0

）的弧长s= 。18、若曲面r在（0，1）点处的第二基本形式 du2 3dv2，则在（0，1）ru

n 。其中n为曲面的单位法向量。u19、已知曲面r的第二类基本量LMN，则曲面上渐近曲线的微方程是 。20、若曲面r的第一基本形式为Edu2 Gdv2，曲面在一点的切向dr与u—线的夹角为 ，则曲面在这点沿切向dr的测地曲率k= 。g21具有固定方向的充要条件是 。22挠率 的曲线其副法向量是常矢23曲线rPP0 。25曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是 。曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 。半径为R的球面的高斯曲率K= .一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的 恒等于零30．在可展曲面上，测地三角形的三内角之。31.向量函数r使)0的充要条件是r。32、若rr0 0是 。33、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。35、球面rcoscoscossinsin}上线是球上的纬圆。36rEFdu:dvuv垂直的充要条件是 。37对曲面r有dr2 4du2 则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从t0t（tt0

）的弧长s= 。38、若曲面r在（0，1）点处的第二基本形式 du2 3dv2，则在（0，1）ru

n 。其中n为曲面的单位法向量。u39、已知曲面r的第二类基本量LMN，则曲面上渐近曲线的微方程是 。40、若曲面r的第一基本形式为Edu2 Gdv2，曲面在一点的dr与u—线的夹角为，则曲面在这点沿切向dr的测地曲率k= 。g十、 选择填空题（每小题3分）1、圆柱螺线xt在点1,0,0的切线为 。x1yzx1yz011B、yz0D、yz0x1yz1002、曲面的三个基本形式之间的关系为 A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0 B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0 D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=03、曲面的坐标网是正交网的充要条件是 。A、M=0 B、L=N=0 C、M=F=0 D、F=04、下列曲面中 不是可展曲面。A、柱面 B、锥面 C、一条曲线的切线曲面 D、正螺5、曲面上， 不是曲面的内蕴量。A、两曲线的夹角 B、曲线的弧长6、曲线r在P(s)点的基本向量是,,，曲率k(s)，挠率下式 不正确。A、 k B、 k C、 k D、7、曲面rr(u,v)在P点的第一、第二基本形式分别为,，曲面上曲线(C)在P点的曲率k、沿切向dr的法曲率为kn

，(C)在P点的主法向量与曲面的单位法向量n的夹角为，则下正确。A、k B、kkcosC、| D、kksinnnnn8、L=N=0是曲面的曲纹坐标网为 的充要条件。A、正交网 B、渐近网 C、曲率网 D、半测地坐标9、在圆柱面上，圆柱螺线。A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近10、以下各项中不一定是测地线。A、球面上的大圆 B、圆柱面上的螺旋C、旋转曲面上的经线 D、旋转曲面上的纬11、设曲面在一点的单位法向量n，切向量为dr，则dn dr的充分必条件是 。A、存在方向r使dnr0 B、存在方向r使drr0C、存在方向r使dnr0且drr0D、沿dr有k0n12对于球面rRcossinRcossinRsin}以下判断 不正确。A、沿其上任何曲线的球面的法线曲面是可展曲面 B、其上大圆是渐近线C、高斯曲率为正常数1R2

D、其上大圆的每一点的测地曲率为零13、曲面rr(u,v)上，曲线(C)在P点的基本向量是,,，曲面在P点的单位法向量n，则在P点沿切向 的测地曲率 。gA、 n B（） C、D、(,14、若在曲面上一点LNM2 0,则曲面在该点的高斯曲率A、>0 B、<0 C、=0 D、符号不确定15、下列直纹面中， 是可展曲面。A、双曲抛物面 B、挠曲线的副法线曲面C、挠曲线的切线曲面 D、单叶双曲面16、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是 。A、直线 B、平面曲线 C、球面曲线 D、圆柱螺17曲线r在P(t)点的曲率为k,挠率为则下列式子 不正确。rrrrrrB、k

C、kr D、rrr3rr

rrrrr18、对于曲面的第一基本形式IEdu2 2FdudvGdv2F2 A、0 B、0 C、0 D、019、对于圆柱面r Rcossin，以下结论 是不正确的。A、坐标网是正交网 B、沿同一直母线的切平面是同一C、其上高斯曲率为零 D、其上没有抛物点20、以下结论正确的是 。A、法曲率是法截线的曲率B、法曲率是曲率向量r在主法向量上的投C、法曲率0 D、法曲率的绝对值是法截线的曲率21、设曲面r是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中 是不正确的。A、MrnB、MrnC、MrnD、Mrnuvuvu vv u22、球面上的大圆不可能是球面上的 。A、测地线 B、曲率线 C、法截线 D、渐近23、正螺面r u的坐标网不是 。A、正交网 B、共轭网C、渐近网 D、半测地坐标网24、曲面上每一点处的主方向 。A、只有一个 B、至少两个 C、只有两个 D、也可能不存25、下列直纹曲面中， 是可展曲面。A、双曲抛物面 B、挠曲面的副法线曲C、挠曲面的切线曲面 D、单叶双曲面三、计算题1、设曲线：r={cht,sht,t}，求①在点(1,0,0)的曲率和挠率；②的切线曲面的高斯曲率。2、已知圆柱螺线r ，试求⑴在点0,1,的切线和法平面。2⑵曲率和挠率。3、对于圆柱面cos,sin，试求⑴ 的第一、第二基本形式；⑵ 在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶ 在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证的坐标曲线是曲率线。4、求曲面r 的u线的测地曲率。5PP方向的法曲率之和是常数。6、设曲面∑：r={tcos ,tsin ,t}，求①∑的第一、第二基本形式；②∑在点(1,0,1)处沿任意方向的法曲率；③试证∑的坐标曲线是曲率线。7、求螺线xcost,ysint,zt上点1,0,0的曲率和挠率。8、确定螺旋面xuucv曲率。9、求曲线r(t)={t, t2,et}在t=0点的密切平面和主法线。10、求曲线r(t)={a, a，bt}的曲率和挠率求抛物面z=a(x2+y2)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。11、求平面族xcos ysin zsin 1的包络。十一、证明题：1线。2、证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。3、试证锥面是可展曲面，并证明它与平面成等距对应。4设曲线：r(t)平面曲线。5PP方向的法曲率之和是常数。6、证明曲面2v是可展曲面。7、证明：曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面。8、证明；如果曲面上非直线的测地线为平面曲线，则它必为曲率线9、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这条曲线是直线或平面曲线。10、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。一、填空题曲线=co，y=si,zt在=0处的切线方程 。曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都不变量。

,v为曲面的正常点，则rr在,v满。0 0 u v 0 0两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们。若向量函数满足r0，则具有固定.曲线r的正常点是指满的.椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆,双曲点对应的是一对共轭双曲线,抛物点对应的是 .平均曲率H=0的曲面称为 曲面上的直线必曲.

曲面.向量函数具有固定方向的充要条件.曲线的主法向量的正向总是指.在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关.曲面三个基本形式之间有关系.曲线r的曲率定义。空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向。曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件。曲线)={32,2-+2,2上的点不是正常点的是t= 。曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件。极小曲面是的曲面。向量函数具有固定长的充要条件。曲线r的挠率。曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条。向量函数平行于固定平面的充要条件.以杜指标线为分类标曲面上的点分为椭圆双曲, ,.曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的最大值和最小球面r={a的坐标曲线就。曲面上曲纹坐标网是正交网的充要条件。两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件。在曲面的椭圆点处高斯曲这个空填符号即大于等于小于)一般螺线的曲率和挠率的关系。曲面上曲线的交角作为曲面的内蕴量参数变换下的不变量。曲面域的面积作为曲面的内蕴量参数变换下的不变量。设曲面在点P处有两个同号的主曲率则按高斯曲率的符号分类此点是曲面。曲面的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件。法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率,使法曲率达到最大值和最小值的向是曲面方.距离单位球面球心距离为d的平面与球面的交线的曲率为 ，法曲率为 .曲面的坐标曲线网正交的充要条件,坐标曲线网成为曲率线的充要条件.曲率0的曲线,挠率0的曲线.半径R的圆的曲率,半径R的球面的法曲率.曲面的坐标曲线网正交的充要条件,坐标曲线网成为曲率线的充要条件.圆柱面的高斯曲率,极小曲面的平均曲率.在脐点处曲面的第,第二类基本量满,把第二类基量L=M=N=0的脐点称.法曲率的最大值和最小值正好,使法曲率达到最大值和最小值的方向方向.二、单项选择题下面各量,不是内蕴量的是( )A.曲面上曲线的曲率 B.曲面上曲线的测地曲率C.曲面上测地三角形的内角和 D.曲面的高斯曲率曲面上一点处的两个主方向之间的夹角为( )等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的( )曲率 B.挠率 C.法曲率 D.测地曲率过空间曲线C上点P（非逗留点）的切线P点的邻近Q的平面，当Q沿曲C趋于点时，平的极限位置称为曲CP点的( )法平面 B.密切平面 C.从切平面 D.不存在曲率和挠率均为非零常数的曲线是( )直线 B.圆 C.圆柱螺线 D.平面曲线下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是( )脐点处，任何方向都是主方向 B.非脐点处，主方向垂直C.脐点处，无主方向 D.非脐点处，有且仅有两个主方向下面各量,不是内蕴量的是( )曲面上曲线的曲率 B.曲面域的面积C.曲线的弧长 D.高斯曲率下面说法不正确的是( )等距变换一定是保角变换 B.保角变换一定是等距变换C.平面与圆柱面成等距对应 D.平面与除去北极外的球面成保角对应（）相交 B.平行 C.重合 D.垂直（）第一基本型相同 B.第一基本型成比例C.第二基本型相同 D.第二基本型成比例在选取曲率线网作为参数曲线网时，曲面的两个主曲率k,k（）1 2设曲面Srruu)D的第一、二类基本量为EFG和LMN，则曲面的面积为A.C.

EG F2dudv； B. LN M2dudv；D DF2 EGdudv； D. M2 LNdudvD D（）平面曲线 B.圆柱螺线 C.直线 D.以上全是曲面上一点处至少有两个主方向主方向是互相垂直的D以上全正确曲面上曲线的曲率 B.曲面上曲线的法曲率C.曲面的平均曲率 D.曲面的高斯曲率曲率和挠率均为非零常数的曲线是()A.直线 B.圆 C.圆柱螺线 D.平面曲线在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足()在不含脐点的曲面上，坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 （ ）反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧)式是（ ）曲线上的正常点是指曲率不为零的点( )如果两条曲线在对应点的主法线互相平行，则在对应点处的切线互相平行( )高斯曲率和平均曲率都是曲面的内蕴量( )密切面固定的曲线是挠率等于零的曲线( )若给出闭区间上的任意两个连续函数分别为它的曲率和挠.( )曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F=M=0.( )若曲线的主法线与固定方向成定则该曲线为一般螺线。( )空间曲线穿过法平面和从切平不穿过密切平面( )如果所有法平面互相平那么这曲线是直线( )曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线( )曲面上的曲纹坐标网为渐进网的充要条件为L=N=0。( )在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一( )空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置( )在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向( )曲线的主法向量正向总是指向曲线的凹侧( )曲面上平点对应的杜邦指标线是