结构力学图乘法-课件

1.图乘法原理建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便。梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：称莫尔积分

图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图形积分变为图形相乘。§4-4图乘法1.图乘法原理建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便2、图乘法的适用条件：（1）杆件轴线是直线；（2）杆段的弯曲刚度EI为常数；（3）图图中至少有一个是直线图形。2、图乘法的适用条件：（1）杆件轴线是直线；（2）杆段的弯曲3、图乘法公式←杆轴为直线←杆段EI为常数图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。xcxycxyCABMpdx3、图乘法公式←杆轴为直线←杆段EI为常数图乘法是Veres4、注意事项（1）必须符合图乘法的适用条件；（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；必须取自直线图形；（2）还记得吗？（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。4、注意事项（1）必须符合图乘法的适用条件；（3）同侧弯矩b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点lh顶点cN

次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4lh顶点cN次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/43.图形相乘的几种情况（1）常见图形面积和形心：矩形三角形标准二次抛物线3.图形相乘的几种情况（1）常见图形面积和形心：矩形三（2）梯形相乘（2）梯形相乘ABCDabcd图图bc取负值ABCDabcd图图bc取负值（3）一般形式的二次抛物线图形相乘（4）曲线图形与折线图形相乘（5）阶形杆件图形相乘（3）一般形式的二次抛物线图形相乘（4）曲线图形与折线图形相M(x)xlxωxcC对于等直杆有即积分可用M(x)图的面积ω

和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替Mc当M图为正弯矩时，ω应代以正号.当M图为负弯矩时，ω应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号.McM(x)xlxωxcC对于等直杆有即积分可用M(x)图的面b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点lh顶点cN

次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4lh顶点cN次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4注意折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时M(x)图为连续光滑曲线，而为折线，则应以M(x)然后求其和.注意折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时M例1

求,EI等于常数。解：作图图，如右图所示。分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB2ω1MPω2y2y1例1求,EI等于常数。解：作图

如果将AC段的图如下图那样分块，就比较麻烦。

16A4C84图例2

求,EI等于常数。作图图，如下页图所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC如果将AC段的图如下图那样分块，就比较麻烦。1/21y1ω2y381244MP图ω1ω3y2图1ACBBAC（kN.m)1/21y1ω2y381244MP图ω1ω3y2图1ACBB例3

求,EI等于常数。解：作图及图，如右所示。分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y1图图14126ω1ω3（kN.m)例3求,EI等于常数。解：1/61/62/31/31ω2y3y1图图14126ω1ω3（kN.m)1/61/62/31/31ω2y3y1图图14126ω1ω3例5-5求ΔCH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。例5-5求ΔCH，EI等于常数。解：ABC2kN/4ω2y3=412ω1MP图(kN.m)2m2y22y1图1ω3ABC44ω2y3=412ω1MP图(kN.m)2m2y22y1图1作业：4-3(a)；(c)作业：§4-5互等定理

互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。状态IIAB12abAB12ab状态I§4-5互等定理互等定理适用于线性变形体系，即体系令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：状态IIAB12abAB12ab状态I令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：状态IIA

同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、位移互等定理

在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。即δ12=δ21在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移由功的互等定理可得：

在线性变形体系中，位移Δij与力FPj的比值是一个常数，记作δij，即：或状态II12状态I12由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移Δ1212说明：1）δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。

I产生位移的方位；j产生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。1212说明：例1

验证位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=FΔ212a/2a/21EIFP2=MΔ122FFa/4M11a/41/2M/2例1验证位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=FΔ2例2

验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ12例2验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ解：153111解：153111三、反力互等定理

反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11状态I12C2FR22FR12状态II根据功的互等定理有：三、反力互等定理反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结

在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即或所以得说明：rij也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为。i产生支座反力的方位；

j产生支座移动的支座。在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数例6-3

验证反力互等定理。可见：r12=r21在任一线性变形体系中，位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。12EI

lC2=112EI

lC1=1r21r12r21=3EI/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l2例6-3验证反力互等定理。可见：r12=r21四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：令状态I1FP12FR21状态II1Δ122C2

上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：令状态I1FP12F位移反力互等定理在混合法中得到应用。

上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数、的量纲都是。

在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数

，但二者符号相反。位移反力互等定理在混合法中得到应用。上式中力可以是广义力例4

验证位移反力互等定理。FP1C2a/2a/21221例4验证位移反力互等定理。FP1C2a/2a/212211.图乘法原理建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便。梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：称莫尔积分

图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图形积分变为图形相乘。§4-4图乘法1.图乘法原理建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便2、图乘法的适用条件：（1）杆件轴线是直线；（2）杆段的弯曲刚度EI为常数；（3）图图中至少有一个是直线图形。2、图乘法的适用条件：（1）杆件轴线是直线；（2）杆段的弯曲3、图乘法公式←杆轴为直线←杆段EI为常数图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。xcxycxyCABMpdx3、图乘法公式←杆轴为直线←杆段EI为常数图乘法是Veres4、注意事项（1）必须符合图乘法的适用条件；（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；必须取自直线图形；（2）还记得吗？（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。4、注意事项（1）必须符合图乘法的适用条件；（3）同侧弯矩b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点lh顶点cN

次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4lh顶点cN次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/43.图形相乘的几种情况（1）常见图形面积和形心：矩形三角形标准二次抛物线3.图形相乘的几种情况（1）常见图形面积和形心：矩形三（2）梯形相乘（2）梯形相乘ABCDabcd图图bc取负值ABCDabcd图图bc取负值（3）一般形式的二次抛物线图形相乘（4）曲线图形与折线图形相乘（5）阶形杆件图形相乘（3）一般形式的二次抛物线图形相乘（4）曲线图形与折线图形相M(x)xlxωxcC对于等直杆有即积分可用M(x)图的面积ω

和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替Mc当M图为正弯矩时，ω应代以正号.当M图为负弯矩时，ω应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号.McM(x)xlxωxcC对于等直杆有即积分可用M(x)图的面b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点lh顶点cN

次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4lh顶点cN次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4注意折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时M(x)图为连续光滑曲线，而为折线，则应以M(x)然后求其和.注意折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时M例1

求,EI等于常数。解：作图图，如右图所示。分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB2ω1MPω2y2y1例1求,EI等于常数。解：作图

如果将AC段的图如下图那样分块，就比较麻烦。

16A4C84图例2

求,EI等于常数。作图图，如下页图所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC如果将AC段的图如下图那样分块，就比较麻烦。1/21y1ω2y381244MP图ω1ω3y2图1ACBBAC（kN.m)1/21y1ω2y381244MP图ω1ω3y2图1ACBB例3

求,EI等于常数。解：作图及图，如右所示。分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y1图图14126ω1ω3（kN.m)例3求,EI等于常数。解：1/61/62/31/31ω2y3y1图图14126ω1ω3（kN.m)1/61/62/31/31ω2y3y1图图14126ω1ω3例5-5求ΔCH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。例5-5求ΔCH，EI等于常数。解：ABC2kN/4ω2y3=412ω1MP图(kN.m)2m2y22y1图1ω3ABC44ω2y3=412ω1MP图(kN.m)2m2y22y1图1作业：4-3(a)；(c)作业：§4-5互等定理

互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。状态IIAB12abAB12ab状态I§4-5互等定理互等定理适用于线性变形体系，即体系令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：状态IIAB12abAB12ab状态I令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：状态IIA

同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、位移互等定理

在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。即δ12=δ21在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移由功的互等定理可得：

在线性变形体系中，位移Δij与力FPj的比值是一个常数，记作δij，即：或状态II12状态I12由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移Δ1212说明：1）δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。

I产生位移的方位；j产生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。1212说明：例1

验证位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=FΔ212a/2a/21EIFP2=MΔ122FFa/4M11a/41/2M/2例1验证位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=FΔ2例2

验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ12例2验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ解：153111解：153111三、反力互等定理

反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11状态I12C2FR22FR12状态II根据功的互等定理