高中数学北师大版必修四课件：第一章-41-单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-42-单位圆与周期性

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.2单位圆与周期性4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义学习目标1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1

角α的正弦、余弦分别等于什么？答案知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重思考2

对确定的锐角α，sinα，cosα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案答案

不会.思考2对确定的锐角α，sinα，cosα的值是否随P点思考3

若取|OP|＝1时，sinα，cosα的值怎样表示？答案答案

sinα＝y，cosα＝x.思考3若取|OP|＝1时，sinα，cosα的值怎样表(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的

定义为角α的正弦函数，记作

；点P的

定义为角α的余弦函数，记作

.(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.梳理纵坐标vv＝sinα横坐标uu＝cosα(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负思考

知识点二正弦、余弦函数的定义域对于任意角α，sinα，cosα都有意义吗？答案答案由三角函数的定义可知，对于任意角α，sinα，cosα都有意义.思考知识点二正弦、余弦函数的定义域对于任意角α，sin梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数思考

知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？答案答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sinα＝v，cosα＝u.当α为第一象限角时，v>0，u>0，故sinα>0，cosα>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号.思考知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号根据三角函数的梳理正弦、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋梳理正弦、余弦函数在各象限的符号象限第一象限第二象限第三象限思考

知识点四周期函数由sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？答案答案2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期.思考知识点四周期函数由sin(x＋2kπ)＝sinx(梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在

，对定义域内的_________x值，都有

，我们就把f(x)称为周期函数，

称为这个函数的周期.特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中

的一个，称为

，简称为周期.非零实数T任意一个f(x＋T)＝f(x)T最小最小正周期梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在，对定题型探究题型探究命题角度1已知角α终边上一点坐标求三角函数值例1

已知θ终边上一点P(x，

3)(x≠0)，且cosθ＝

x，求sinθ的值.解答类型一正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1已知角α终边上一点坐标求三角函数值解答类型一正∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1，

3)，当x＝－1时，P(－1，

3)，∵x≠0，∴x＝±1.当x＝－1时，P(－1，3)，(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝

，cosα＝

.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.反思与感悟(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法反思与感跟踪训练1

已知角α的终边过点P(－3a，

4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值.解答①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，跟踪训练1已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值例2已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋

的值.解答命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值解答解由题意知，cosα≠0.设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则解由题意知，cosα≠0.高中数学北师大版必修四课件：第一章-41-单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-42-单位圆与周期性在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sinα＝

，cosα＝

.反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，跟踪训练2

已知角α的终边在直线y＝

x上，求sinα，cosα的值.解答若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，跟踪训练2已知角α的终边在直线y＝x上，求sin

例3

(1)若α是第二象限角，则点P(sinα，cosα)在A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限类型二正弦、余弦函数值符号的判断答案解析解析

∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴点P在第四象限，故选D.

(2)判断下列各式的符号.①sin145°cos(－210°)；解答解

∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.(2)判断下列各式的符号.解答解∵145°是第二象限角，∴②sin3·cos4.解答∴sin3＞0，cos4＜0，∴sin3·cos4<0.②sin3·cos4.解答∴sin3＞0，cos4＜准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦

跟踪训练3

若三角形的两内角A，B，满足sinAcosB＜0，则此三角形必为A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能解析

由题意知，A，B∈(0，π)，∴sinA＞0，cosB＜0，∴B为钝角.故选B.答案解析

例4

(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；类型三周期性证明证明

∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－

，求证：函数f(x)以4为周期的周期函数.证明∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x).(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝

，那么f(x)的周期也为2a(a≠0).反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任跟踪训练4

若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值.解由f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)，

①得f(x＋a)＝f(x)＋f(x＋2a).

②①＋②，得f(x－a)＋f(x＋2a)＝0，即f(x－a)＝－f(x＋2a)，∴f(x)＝－f(x＋3a)，即f(x＋3a)＝－f(x)，∴f(x＋6a)＝－f(x＋3a)＝f(x).∴T＝6a为函数y＝f(x)的一个周期，∴f(14a)＝f(6a×2＋2a)＝f(2a)＝1.解答跟踪训练4若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x当堂训练当堂训练1.已知角α的终边经过点(－4，

3)，则cosα等于√23451答案解析解析

由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα等于√22.当α为第二象限角时，

－

的值是A.1 B.0 C.2 D.－2答案√23451解析

∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.解析2.当α为第二象限角时，－3.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，则f()的值为A.2 B.0

C.－1 D.－3答案解析

∵f(x)是以1为一个周期的函数，∴k∈Z也是f(x)的周期.解析√又当x∈(－1，

0)时，f(x)＝2x＋1，234513.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1，0)时4.点P(sin2016°，cos2016°)位于第

象限.答案解析解析

∵2016°＝5×360°＋216°，∴2016°是第三象限角，则sin2016°<0，cos2016°＜0.23451三4.点P(sin2016°，cos2016°)位于第5.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sinα＋cosα的值.解答234515.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sinα＋cosα解在直线y＝2x上任取一点P(x，

2x)(x≠0)，23451解在直线y＝2x上任取一点P(x，2x)(x≠0)，232345123451规律与方法1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点.2.三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想.3.正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值.规律与方法1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础本课结束本课结束

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.2单位圆与周期性4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义学习目标1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1

角α的正弦、余弦分别等于什么？答案知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重思考2

对确定的锐角α，sinα，cosα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案答案

不会.思考2对确定的锐角α，sinα，cosα的值是否随P点思考3

若取|OP|＝1时，sinα，cosα的值怎样表示？答案答案

sinα＝y，cosα＝x.思考3若取|OP|＝1时，sinα，cosα的值怎样表(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的

定义为角α的正弦函数，记作

；点P的

定义为角α的余弦函数，记作

.(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.梳理纵坐标vv＝sinα横坐标uu＝cosα(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负思考

知识点二正弦、余弦函数的定义域对于任意角α，sinα，cosα都有意义吗？答案答案由三角函数的定义可知，对于任意角α，sinα，cosα都有意义.思考知识点二正弦、余弦函数的定义域对于任意角α，sin梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数思考

知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？答案答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sinα＝v，cosα＝u.当α为第一象限角时，v>0，u>0，故sinα>0，cosα>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号.思考知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号根据三角函数的梳理正弦、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋梳理正弦、余弦函数在各象限的符号象限第一象限第二象限第三象限思考

知识点四周期函数由sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？答案答案2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期.思考知识点四周期函数由sin(x＋2kπ)＝sinx(梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在

，对定义域内的_________x值，都有

，我们就把f(x)称为周期函数，

称为这个函数的周期.特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中

的一个，称为

，简称为周期.非零实数T任意一个f(x＋T)＝f(x)T最小最小正周期梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在，对定题型探究题型探究命题角度1已知角α终边上一点坐标求三角函数值例1

已知θ终边上一点P(x，

3)(x≠0)，且cosθ＝

x，求sinθ的值.解答类型一正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1已知角α终边上一点坐标求三角函数值解答类型一正∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1，

3)，当x＝－1时，P(－1，

3)，∵x≠0，∴x＝±1.当x＝－1时，P(－1，3)，(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝

，cosα＝

.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.反思与感悟(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法反思与感跟踪训练1

已知角α的终边过点P(－3a，

4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值.解答①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，跟踪训练1已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值例2已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋

的值.解答命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值解答解由题意知，cosα≠0.设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则解由题意知，cosα≠0.高中数学北师大版必修四课件：第一章-41-单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-42-单位圆与周期性在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sinα＝

，cosα＝

.反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，跟踪训练2

已知角α的终边在直线y＝

x上，求sinα，cosα的值.解答若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，跟踪训练2已知角α的终边在直线y＝x上，求sin

例3

(1)若α是第二象限角，则点P(sinα，cosα)在A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限类型二正弦、余弦函数值符号的判断答案解析解析

∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴点P在第四象限，故选D.

(2)判断下列各式的符号.①sin145°cos(－210°)；解答解

∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.(2)判断下列各式的符号.解答解∵145°是第二象限角，∴②sin3·cos4.解答∴sin3＞0，cos4＜0，∴sin3·cos4<0.②sin3·cos4.解答∴sin3＞0，cos4＜准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦

跟踪训练3

若三角形的两内角A，B，满足sinAcosB＜0，则此三角形必为A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能解析

由题意知，A，B∈(0，π)，∴sinA＞0，cosB＜0，∴B为钝角.故选B.答案解析

例4

(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；类型三周期性证明证明

∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－

，求证：函数f(x)以4为周期的周期函数.证明∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x).(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝

，那么f(x)的周期也为2a(a≠0).反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任跟踪训练4

若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值.解由f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)，

①得f(x＋a)＝f(x)＋f(x＋2a).

②①＋②，得f(x－a)＋f(x＋2a)＝0，即f(x－a)＝－f(x＋2a)，∴f(x)＝－f(x＋3a)，即f(x＋3a)＝－f(x)，∴f(x＋6a)＝－f(x＋3a)＝f(x).∴T＝6a为函数y＝f(x)的一个周期，