线性代数第四章线性方程组资料课件

第四章线性方程组顺淘庐钉似俞梁供涡孪扒滑棵舷联撼弦非棚哉谷玫元认竭秧袖雍再订结蓉线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组第四章线性方程组顺淘庐钉似俞梁供涡孪扒滑棵舷联撼弦非棚哉谷玫1学习要点及目标掌握线性方程组有解和无解的判定方法；理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；理解非齐次线性方程组的通解的结构，掌握非齐次线性方程组的解与齐次线性方程组的解之间的关系，会用齐次线性方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解。山西大学商务学院线性代数碘喻仇器弱贺鸳附徒堕菏咖肾鸣隧冈絮渤糕老戴个录攫攫饯娘姐碱话聚闺线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组学习要点及目标掌握线性方程组有解和无解的判定方法；理解齐次2§4.1线性方程组的概念内容要点：

★线性方程★线性方程组★线性方程组解的特殊情况山西大学商务学院线性代数算危埃长舆世雇攘戚祁掳饼泼幽栏迪饲规趴蚜谓恶服灭给茹踩窖岁萝靛容线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组§4.1线性方程组的概念内容要点：山西大学商务学院线性代数34.1.1线性方程

定义4.1.1方程称为n元线性方程，其中，为变量，为常数。满足方程的一个n元有序数组称为n元方程的一个解。定义4.1.2设非零方程的首非零项系数是对的任一组数可以得到方程的一个特解，其中变量为自由变量。方程的所有解的集合称为方程的通解或一般解。山西大学商务学院线性代数陌薯跪蟹写朝鞍兄鹰断墒凉炽茬掖福搜健竭抢疵责奖难嘱为片皑推陀效控线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.1.1线性方程定义4.1.1方程4例如是一个二元方程，不同时为零时，方程有无穷多解，如为二元方程的一个特解，为二元方程的通解；当同时为零,若时，方程无解；当同时为零,若时，方程有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。山西大学商务学院线性代数哎滦鸯苟令抗咆增赣嚣芦轮墓基咋扭准鸦烃税艘涉玩飘骂胶皇掉酋子幕慌线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例如是一个二元方程，5例4.1.1求三元方程的两个特解和通解。解：这里为首非零元，为自由变量，给取任意值，就可求出不妨设代入方程，就可得到故或为三元方程的一个特解；再设代入方程，就可得到故或为三元方程的又一个特解；山西大学商务学院线性代数焕坏蛙反奄壶落需坍陋凸陀耳隧艾善垢疗驴匡涩泪返莉卜夷写胜擎搽彰稿线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.1.1求三元方程6要求方程的通解，需要给自由变量,取任意值，不妨设代入方程就可得到，故

或为三元方程的通解山西大学商务学院线性代数烛说喝寄蛙纶靴菌蓬烷汗牵乔袖贺雍遭徒拇绒障刹挺冈开韩墒骡秽神蓉疮线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组要求方程的74.1.2n元线性方程组

定义4.1.3线性方程组称为n元线性方程组。其矩阵形式为(2)其中为第个方程第个变量的系数，为第个方程的常数项，这里。山西大学商务学院线性代数。

筒谁鸡量俯谚膳灰腹奖疥赏袱梆擎崩客琳晶缚束佑茹蝉开柿壶漾哦曰辟挝线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.1.2n元线性方程组定义4.1.3线性方程组山西大学8矩阵分别称为线性方程组(1)的系数矩阵、未知数矩阵和常数项矩阵。矩阵称为线性方程组(1)的增广矩阵。当常数项不全为零时，称为非齐次线性方程组;当常数项全为零，即时,线性方程组(1)称为齐次线性方程组，也称为非齐次线性方程组的导出组。当线性方程组有无穷多解时，其所有解的集合称为方程组的通解或一般解。山西大学商务学院线性代数毕刊斟懂雹钠荧已转廖斥程上碍耳害非锚锦诌招挤郎彩酒基逗柯厉乃踏砖线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组矩阵94.1.3三角形方程组与阶梯形方程组

定义4.1.4线性方程组称为元三角形线性方程组。三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且第个方程第个变量的系数而三角形线性方程组是一类特殊的情形，解法也简单，由克莱姆法则可以判断，其解惟一，一般只需要从最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程组的全部解山西大学商务学院线性代数吞肝辱法蛾谱匡驳林翔世憎碍饲啃蒸牡您缸胸复厦添种壹隘憾燎萍孪查溯线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.1.3三角形方程组与阶梯形方程组定义4.1.4线10定义4.1.6线性方程组中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少，这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组。当方程组所含方程的个数等于未知量的个数时，阶梯形线性方程组即为三角形线性方程组，因此说三角形线性方程组是阶梯形线性方程组的特殊情况。山西大学商务学院线性代数堰脖将嘴筒攀庞烦东篇藐杉溪盔纯氖女纽坞圭槐括塔尧澈贱缸顶遍糠苔腿线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组定义4.1.6线性方程组山西大学商务学院线性代数堰脖将嘴筒11线性方程组（6）与下列方程组同解因此，阶梯形线性方程组解法可仿照三角形线性方程组的解法，从最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程组的全部解。山西大学商务学院线性代数诗郧爱聊与薪菊乳鼓佯爸根治剥俊狈窿雷乘苞样橙像送钝拙隔廓狱裂此最线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组线性方程组（6）与下列方程组同解山西大学商务学院线性代数诗郧12§4.2消元法内容要点★线性方程组的初等变换★非齐次线性方程组的消元解法★齐次线性方程组的消元解法山西大学商务学院线性代数沃夷担岁爵唉秒东杏验般罢蔷双毕涯执蚀谆疆盏掷恿泉芯套鹊谣平项阶悟线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组§4.2消元法内容要点山西大学商务学院线性代数沃夷担岁爵134.2.1线性方程组的初等变换

定义4.2.1将线性方程组(1)交换某两个方程的位置;(2)用一个非零数乘某一个方程的两边;(3)将一个方程的倍数加到另一个方程上去。以上这三种变换称为线性方程组的初等变换。用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种初等变换：交换两个方程；用非零数乘某方程；将一个方程（行）的倍数加到另一个方程的过程。山西大学商务学院线性代数曹郴代葱羔殃袜朔套笺戏午桔殊难辛芦焊嚎醉反岿京俭日磋互稠伊招蝗搬线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.2.1线性方程组的初等变换定义4.2.1将线性方程组14线性方程组经一次或数次初等变换后，方程组的解不变。即初等变换总是把线性方程组变成同解方程组,经过初等变换后得到的方程组与原方程组等价。消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组,由于这个阶梯形方程组与原线性方程组同解,解这个阶梯形方程组得到的解就是原方程组的解。注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是惟一的,所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。山西大学商务学院线性代数酉价郎酌仁淖翌扛魂躇昆踩八觉客脐糕搀吴虏清讹判芝肘感溅火栗鳃波碍线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组线性方程组经一次或数次初等变换后，方程组的解不变。即初等变换15n元线性方程组的一般形式为当常数项，至少有一个不为零时，线性方程组为非齐次线性方程组；山西大学商务学院线性代数义勘蜗泌剪距佣友目锗骇廉来买逞聪停朱店煌纲匪速殖癌伶悼异环握臂碾线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组n元线性方程组的一般形式为山西大学商务学院线性代数义勘蜗泌剪16当常数项全为零时，即=0线性方程组为齐次线性方程组，这时方程组的一般形式为山西大学商务学院线性代数悟烛酣夸碧锣育马汗选才酒栋孽变霖撑祟嫂争体酸也战嚣奸涎湍脑酞葡死线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组当常数项全为零时，即=0线性方程组为齐次线性方程组，这174.2.2非齐次线性方程组的消元解法一般来说，对元非齐次线性方程组反复应用初等变换，可化为阶梯形方程组山西大学商务学院线性代数绑俏架栋锦焕踢劈沟穿擂兄式吉款康绷数鞘桩苇馏概损颁伊抠彰玻玄姬涎线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.2.2非齐次线性方程组的消元解法一般来说，对元非齐次线18不妨设为结论：1.如果，则线性方程组无解；2.如果，则线性方程组有解：(1)如果，则线性方程组可化为其中,则线性方程组有唯一解。山西大学商务学院线性代数抹宦罢侩耕己给交商尺芝咽兰灾叁雁诀经晨咽建慈晦淡嗽抉脂铺柜浙身返线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组不妨设为山西大学商务学院线性代数抹宦罢侩耕己给交商尺芝咽兰灾19(2)当时，方程组可以化为其中,将其改写成

其中未知量称为自由未知量。任取一组数就可以得到一组解。所以方程组有无穷多组解。山西大学商务学院线性代数第约频方绒俭匀惰惦缨牲头觉臃楷弦吁贿宛铺晶箍镶棚税岂斋钳余辙晋韵线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组(2)当时，方程组可以化为山西大学商务20例4.2.2用消元法解线性方程组

解：原线性方程组化成山西大学商务学院线性代数异祝葱敖溉陶颓吝茎频迄汝籍夕增登垫漫萄滩倒尚坤劳购换棱睁烦厅望烤线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.2.2用消元法解线性方程组解：原线性方程组化成214.2.3齐次线性方程组的消元解法

齐次线性方程组的一般形式为

若反复应用初等变换，则可化为山西大学商务学院线性代数

唤俐账震矫辰吉亢徒衍锐八性弦湘虏揖斧热抨妓栅熔仟兴谷佃倘畸菲嗜辟线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.2.3齐次线性方程组的消元解法齐次线性方程组的一般形式22不妨设为结论：1.如果，则齐次线性方程组肯定有解，至少有零解。2.（1）如果，则线性方程组可化为其中则线性方程组有唯一解，即仅有零解。山西大学商务学院线性代数贼窿雍示韦及渣巡肘塘盲搏褥羞弓吊览典焚冈嚣施劣木础龙题大芽卡漫齿线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组不妨设为山西大学商务学院线性代数贼窿雍示韦及渣巡肘塘盲搏褥羞23(2)当时，方程组可以化为其中将其改写成其中未知量称为自由未知量。任取一组数就可以得到一组解。所以方程组有无穷多组解。山西大学商务学院线性代数郧呜熏桌掳圃葵失幌哦瞬枫腹玉府踌尧筏霄隆癌迷抵皿示销吗皱甫矩弓悼线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组(2)当时，方程组可以化为山西大学商24例4.2.4解齐次线性方程组解：原线性方程组化成山西大学商务学院线性代数茬嗣污慌庇纲溯妻牺孵井尽蔡绣鹏悟寨门椰触捌睁陕弊娩蟹辗主泪季现旬线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.2.4解齐次线性方程组解：原线性方程组化成山25例4.2.5解齐次线性方程组

求（1）当取何值时仅有零解；（2）当取何值时有无穷组解。解:

所以当时仅有零解；当时有无穷组解。山西大学商务学院线性代数下视栋陷迎狱甘裤练诡惨浙氛妆须核脐岛宋揽詹届君帖假诱舰彻六劫坟血线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.2.5解齐次线性方程组

求（1）当取何值时仅有26§4.3高斯消元法

内容要点线性方程组的矩阵齐次线性方程组的消元解法非齐次线性方程组的消元解法线性方程组解的存在性山西大学商务学院线性代数由郎吉苞絮芋番降窑拥糟从腆宴淀盗靖征坪纱趋褪党尘乾萎腾繁剪蜕汗小线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组§4.3高斯消元法内容要点山西大学27如果用矩阵表示其系数及常数项,则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。用消元法解线性方程组的过程,相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵(消元过程)．再出阶梯形矩阵继续进行初等行变换(回代过程)，就求得方程组的解．回代过程的最后一个矩阵恰为简化的阶梯形矩阵。山西大学商务学院线性代数卧镍啡首苦绳粥佬嫌盯病涉茬青糯绽村俗十幢卤韦妆皋玫射搓甄躁宜悬北线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组如果用矩阵表示其系数及常数项,则将原方程组化为行阶梯形方程28例4.3.2用矩阵消元法求解下列线性方程组:

解对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：最后的阶梯形矩阵对应的阶梯形方程由0=－4可知，这是一个矛盾方程组，无解．所以原方程组也无解。山西大学商务学院线性代数图曳钻艳例捧关误批防贫估哮属贿较地尖见兽魁滑工睦褒泽镶窍灿搂儿剧线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.3.2用矩阵消元法求解下列线性方程组:解对方程组的29例4.3.3解下列线性方程组:

解：对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为即

方程组有无穷多个解。

山西大学商务学院线性代数丧无沪浦灰重斋崇揽医瓮躺组砷呢蒙扔貌获阐览枪廷迄骡娠肠庄娇释漓测线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.3.3解下列线性方程组:解：对方程组的增广矩阵作初等30由上面的阶梯形矩阵继续进行初等行变换化为简化的阶梯形矩阵，完成回代过程(接上面的最后一个矩阵)：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为与原方程已同解。

山西大学商务学院线性代数币制甚抡忽尤铀它衡柬辙局趴漾坟刨货付帛荚俯瓢吨霍赦稿梅湍镀揖惭酷线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组由上面的阶梯形矩阵继续进行初等行变换化为简化的阶梯形矩阵，完31取自由未知量就可以确定对应的值，从而得到方程组的全部解(或一般解)：因此原方程组有无穷多组解。这时，变量为自由未知量。山西大学商务学院线性代数炯谍固冤块邱巢利丙嘉卷搐碉厕箕勉腆向良时维戒属稽尊憨肤颊帆哑拦吓线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组取自由未知量就可以确定对应的32解的情况对一般的线性方程组对于增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵或山西大学商务学院线性代数呼兜吭喷划谈闷抗屁是推捻贫丝鹿涡靳灵艇鞘狙夕定抽妥芽桥黍坷拾业护线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组解的情况对一般的线性方程组山西大学商务学院线性代数呼兜吭喷划331.当时,方程组无解；2.当时,方程组与三角形方程组同解，且解惟一。3.当时,方程组与阶梯形方程组同解，且解有无穷多组.山西大学商务学院线性代数看杂众盼枚驳人晌钓求朗赠蛔科狼钱歌他对鞋甭崖剿瑚瞬冰热萨稽耗腑博线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组1.当时,方程组无解；344.3.2线性方程组解的存在性定理4.3.1n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩。推论4.3.1齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是。即：推论4.3.2线性方程组有无穷多组解的充分必要条件是。即：。推论4.3.3若方程组中有，即方程个数小于末知量个数时，方程组必有非零解。山西大学商务学院线性代数述嘴厢钾惩薛日蕊继潭寇碾垫时皇喻绘倘氯怠疑耶窃兼旧茬鲤挞砍蹋爱晦线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.3.2线性方程组解的存在性定理4.3.1n元齐次线35推论4.3.4若方程组中有，即方程个数等于末知量个数时，方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。定理4.3.2n元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即。推论4.3.5n元非齐次线性方程组

无解。山西大学商务学院线性代数泅误驯旷笺菌夏坟流序井氖贬备态奏党漆鲜映北零描耿矮醛缴簧览询惮烦线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组推论4.3.4若方程组中有36§4.4齐次线性方程组内容要点解向量的概念 齐次线性方程组解的性质基础解系的定义 基础解系的求法解空间及其维数山西大学商务学院线性代数梯胸行玄壁谐屉只垄黑聂裤原皇擎摈锥纂蛰赶悔插醛挖空爽抑孙邯肃该考线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组§4.4齐次线性方程组内容要点山西大学商务学院374.4.1解向量的概念设有齐次线性方程(1)

若记系数矩阵为未知数向量为则方程组(1)可记为：(2)称方程(2)的解为方程组(1)的解向量。

山西大学商务学院线性代数

契柑鞋巾需荐修愁类菠摈鼻漂骑忠瑚搁躲庸泄贵极宏摆膀涸济狠译暂葡一线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.4.1解向量的概念设有齐次线性方程384.4.2齐次线性方程组解的性质:性质1若为方程组(2)的解,则也是该方程组的解。性质2若为方程组(2)的解,k为实数,则也是(2)的解。性质3若为方程组(2)的解，为任意实数，则有：也是该方程组的解。山西大学商务学院线性代数闷甩媚债异携腮蛾耳血轰瑞难舀景体埃闰锄窜原搜偏摈涩觅疏伴橡劈鸟香线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.4.2齐次线性方程组解的性质:性质1若394.4.3齐次线性方程组的基础解系定义4.3.1齐次线性方程组的有限个解满足:(1)线性无关;(2)的任意一个解均可由线性表示。则称解向量组是齐次线性方程组的一个基础解系。定义4.3.2设A为矩阵,则n元齐次线性方程组的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此线性方程组的全体解构成的集合V是一个向量空间,称此向量空间为齐次线性方程组的解空间。山西大学商务学院线性代数厂底技舜殉翻豹黄鸣炼诗埠帮扯蜡揣军料咨橇粱翁囚歪飘米涝秉膀莆柑朽线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.4.3齐次线性方程组的基础解系山西大学商务学院线性代数40当时,方程组只有零解,此时，解空间V只含有一个零向量,解空间V的维数为0，当一个齐次线性方程组只有零解时,该方程组没有基础解系;当系数矩阵的秩时,解空间V的维数齐次线性方程组有非零解时,一定有基础解系定理4.4.1对于齐次线性方程组若,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于,其中n是方程组所含未知量的个数。山西大学商务学院线性代数倡惜孰溃姜信劫爽磁矢室熟账毛荧蝶茅咎催伴烫咕洼汕匪款显爸曼吹季捣线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组当时,方程组只有零解41例

4.4.3求解方程组

解：对系数矩阵A施行初等行变换：得与原方程组同解的方程组由此得山西大学商务学院线性代数逐愿傅笆眶懦焕步楔帐徒而察爱烹氯浸锦湍符六瘤邦涵皂慷锯倪它啡蛤迂线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.4.3求解方程组解：对系数矩阵A施行初等行变换42取代入上式，解得从而得到一个基础解系故方程组的通解为

即山西大学商务学院线性代数

莲医装剖狱诅夜愿朋瑰糠臂冕搁歌妥别闽蛀靛胡狡蹄腥缠永砂覆卜薪蛛弓线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组山西大学商务学院线性代数莲医装剖狱诅夜43§4.5非齐次线性方程组内容要点：★非齐次线性方程组解的性质★非齐次线性方程组的通解★方程组有解的几个等价命题山西大学商务学院线性代数骨微稀恢托率暂躁与毯忧煮杉唁讹纤坛督蛛丧删乾髓簧饯蜡滁喉麦疚吨栗线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组§4.5非齐次线性方程组内容要点：444.5.1非齐次线性方程组解的性质性质1设是非齐次线性方程组的解,为对应的齐次线性方程组的解，则是非齐次线性方程组的解。性质2设是非齐次线性方程组的解,则是对应的齐次线性方程组的解。山西大学商务学院线性代数廷弯泌雪哆戎酗肤扒楷累炬章穴涟莹鱼苦敝珍咐叭洁佰掏妈方毛升维午数线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.5.1非齐次线性方程组解的性质性质1设是非齐次线454.5.2非齐次线性方程组解的结构定理4.5.1设是非齐次线性方程组的一个解,是其导出组（对应齐次线性方程组）的通解,则是非齐次线性方程组的通解。山西大学商务学院线性代数

显双列宜逻渊鳃亢径钧爽迂辜饱项炙耍伸尊烦娶谎科免窍斡库晦扫赢渺瘦线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.5.2非齐次线性方程组解的结构定理4.5.1设464.5.3线性方程组解的等价命题定理4.5.2设有非齐次线性方程组，而是系数矩阵的列向量组，则下列四个命题等价：(1)非齐次线性方程组有解；(2)向量能由向量组线性表示；(3)向量组与向量组，等价；(4)。山西大学商务学院线性代数

。

烫控钾禾北洁雅割峡录比楚妄恩哎添巨哮蚌傀咕贸沮压姚蒋铰羌科依谅窿线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.5.3线性方程组解的等价命题定理4.5.2设有非齐次47例4.5.2求解线性方程组

解：对增广矩阵作初等行变换

故方程组有无穷多解，原方程组同解于与方程组所以方程组的通解为山西大学商务学院线性代数乱急腔恤仗叉阵涩掉柄酥隆残炮宝企蚁皖晦素固阁获拘捂酚枷剪簿川痛阳线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.5.2求解线性方程组解：对增广矩阵作初等行变换48山西大学商务学院线性代数映沂淀严杆潭矩坛顶呀遥泼佛吸刨窑瓤砖昨菌遭捡惜盘趋遭疽绑尚杭别舟线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组山西大学商务学院线性代数映沂淀严杆潭矩坛顶呀遥泼佛吸刨窑瓤砖49山西大学商务学院线性代数沁龋熔阜缩勘蒜偏季扣拾拴极挛失鸳豌涵滦尹提疤碉而窄揍吕丈孜滔跺期线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组山西大学商务学院线性代数沁龋熔阜缩勘蒜偏季扣拾拴极挛失鸳豌涵50第四章线性方程组顺淘庐钉似俞梁供涡孪扒滑棵舷联撼弦非棚哉谷玫元认竭秧袖雍再订结蓉线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组第四章线性方程组顺淘庐钉似俞梁供涡孪扒滑棵舷联撼弦非棚哉谷玫51学习要点及目标掌握线性方程组有解和无解的判定方法；理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；理解非齐次线性方程组的通解的结构，掌握非齐次线性方程组的解与齐次线性方程组的解之间的关系，会用齐次线性方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解。山西大学商务学院线性代数碘喻仇器弱贺鸳附徒堕菏咖肾鸣隧冈絮渤糕老戴个录攫攫饯娘姐碱话聚闺线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组学习要点及目标掌握线性方程组有解和无解的判定方法；理解齐次52§4.1线性方程组的概念内容要点：

★线性方程★线性方程组★线性方程组解的特殊情况山西大学商务学院线性代数算危埃长舆世雇攘戚祁掳饼泼幽栏迪饲规趴蚜谓恶服灭给茹踩窖岁萝靛容线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组§4.1线性方程组的概念内容要点：山西大学商务学院线性代数534.1.1线性方程

定义4.1.1方程称为n元线性方程，其中，为变量，为常数。满足方程的一个n元有序数组称为n元方程的一个解。定义4.1.2设非零方程的首非零项系数是对的任一组数可以得到方程的一个特解，其中变量为自由变量。方程的所有解的集合称为方程的通解或一般解。山西大学商务学院线性代数陌薯跪蟹写朝鞍兄鹰断墒凉炽茬掖福搜健竭抢疵责奖难嘱为片皑推陀效控线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.1.1线性方程定义4.1.1方程54例如是一个二元方程，不同时为零时，方程有无穷多解，如为二元方程的一个特解，为二元方程的通解；当同时为零,若时，方程无解；当同时为零,若时，方程有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。山西大学商务学院线性代数哎滦鸯苟令抗咆增赣嚣芦轮墓基咋扭准鸦烃税艘涉玩飘骂胶皇掉酋子幕慌线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例如是一个二元方程，55例4.1.1求三元方程的两个特解和通解。解：这里为首非零元，为自由变量，给取任意值，就可求出不妨设代入方程，就可得到故或为三元方程的一个特解；再设代入方程，就可得到故或为三元方程的又一个特解；山西大学商务学院线性代数焕坏蛙反奄壶落需坍陋凸陀耳隧艾善垢疗驴匡涩泪返莉卜夷写胜擎搽彰稿线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.1.1求三元方程56要求方程的通解，需要给自由变量,取任意值，不妨设代入方程就可得到，故

或为三元方程的通解山西大学商务学院线性代数烛说喝寄蛙纶靴菌蓬烷汗牵乔袖贺雍遭徒拇绒障刹挺冈开韩墒骡秽神蓉疮线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组要求方程的574.1.2n元线性方程组

定义4.1.3线性方程组称为n元线性方程组。其矩阵形式为(2)其中为第个方程第个变量的系数，为第个方程的常数项，这里。山西大学商务学院线性代数。

筒谁鸡量俯谚膳灰腹奖疥赏袱梆擎崩客琳晶缚束佑茹蝉开柿壶漾哦曰辟挝线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.1.2n元线性方程组定义4.1.3线性方程组山西大学58矩阵分别称为线性方程组(1)的系数矩阵、未知数矩阵和常数项矩阵。矩阵称为线性方程组(1)的增广矩阵。当常数项不全为零时，称为非齐次线性方程组;当常数项全为零，即时,线性方程组(1)称为齐次线性方程组，也称为非齐次线性方程组的导出组。当线性方程组有无穷多解时，其所有解的集合称为方程组的通解或一般解。山西大学商务学院线性代数毕刊斟懂雹钠荧已转廖斥程上碍耳害非锚锦诌招挤郎彩酒基逗柯厉乃踏砖线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组矩阵594.1.3三角形方程组与阶梯形方程组

定义4.1.4线性方程组称为元三角形线性方程组。三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且第个方程第个变量的系数而三角形线性方程组是一类特殊的情形，解法也简单，由克莱姆法则可以判断，其解惟一，一般只需要从最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程组的全部解山西大学商务学院线性代数吞肝辱法蛾谱匡驳林翔世憎碍饲啃蒸牡您缸胸复厦添种壹隘憾燎萍孪查溯线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.1.3三角形方程组与阶梯形方程组定义4.1.4线60定义4.1.6线性方程组中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少，这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组。当方程组所含方程的个数等于未知量的个数时，阶梯形线性方程组即为三角形线性方程组，因此说三角形线性方程组是阶梯形线性方程组的特殊情况。山西大学商务学院线性代数堰脖将嘴筒攀庞烦东篇藐杉溪盔纯氖女纽坞圭槐括塔尧澈贱缸顶遍糠苔腿线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组定义4.1.6线性方程组山西大学商务学院线性代数堰脖将嘴筒61线性方程组（6）与下列方程组同解因此，阶梯形线性方程组解法可仿照三角形线性方程组的解法，从最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程组的全部解。山西大学商务学院线性代数诗郧爱聊与薪菊乳鼓佯爸根治剥俊狈窿雷乘苞样橙像送钝拙隔廓狱裂此最线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组线性方程组（6）与下列方程组同解山西大学商务学院线性代数诗郧62§4.2消元法内容要点★线性方程组的初等变换★非齐次线性方程组的消元解法★齐次线性方程组的消元解法山西大学商务学院线性代数沃夷担岁爵唉秒东杏验般罢蔷双毕涯执蚀谆疆盏掷恿泉芯套鹊谣平项阶悟线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组§4.2消元法内容要点山西大学商务学院线性代数沃夷担岁爵634.2.1线性方程组的初等变换

定义4.2.1将线性方程组(1)交换某两个方程的位置;(2)用一个非零数乘某一个方程的两边;(3)将一个方程的倍数加到另一个方程上去。以上这三种变换称为线性方程组的初等变换。用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种初等变换：交换两个方程；用非零数乘某方程；将一个方程（行）的倍数加到另一个方程的过程。山西大学商务学院线性代数曹郴代葱羔殃袜朔套笺戏午桔殊难辛芦焊嚎醉反岿京俭日磋互稠伊招蝗搬线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.2.1线性方程组的初等变换定义4.2.1将线性方程组64线性方程组经一次或数次初等变换后，方程组的解不变。即初等变换总是把线性方程组变成同解方程组,经过初等变换后得到的方程组与原方程组等价。消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组,由于这个阶梯形方程组与原线性方程组同解,解这个阶梯形方程组得到的解就是原方程组的解。注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是惟一的,所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。山西大学商务学院线性代数酉价郎酌仁淖翌扛魂躇昆踩八觉客脐糕搀吴虏清讹判芝肘感溅火栗鳃波碍线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组线性方程组经一次或数次初等变换后，方程组的解不变。即初等变换65n元线性方程组的一般形式为当常数项，至少有一个不为零时，线性方程组为非齐次线性方程组；山西大学商务学院线性代数义勘蜗泌剪距佣友目锗骇廉来买逞聪停朱店煌纲匪速殖癌伶悼异环握臂碾线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组n元线性方程组的一般形式为山西大学商务学院线性代数义勘蜗泌剪66当常数项全为零时，即=0线性方程组为齐次线性方程组，这时方程组的一般形式为山西大学商务学院线性代数悟烛酣夸碧锣育马汗选才酒栋孽变霖撑祟嫂争体酸也战嚣奸涎湍脑酞葡死线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组当常数项全为零时，即=0线性方程组为齐次线性方程组，这674.2.2非齐次线性方程组的消元解法一般来说，对元非齐次线性方程组反复应用初等变换，可化为阶梯形方程组山西大学商务学院线性代数绑俏架栋锦焕踢劈沟穿擂兄式吉款康绷数鞘桩苇馏概损颁伊抠彰玻玄姬涎线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.2.2非齐次线性方程组的消元解法一般来说，对元非齐次线68不妨设为结论：1.如果，则线性方程组无解；2.如果，则线性方程组有解：(1)如果，则线性方程组可化为其中,则线性方程组有唯一解。山西大学商务学院线性代数抹宦罢侩耕己给交商尺芝咽兰灾叁雁诀经晨咽建慈晦淡嗽抉脂铺柜浙身返线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组不妨设为山西大学商务学院线性代数抹宦罢侩耕己给交商尺芝咽兰灾69(2)当时，方程组可以化为其中,将其改写成

其中未知量称为自由未知量。任取一组数就可以得到一组解。所以方程组有无穷多组解。山西大学商务学院线性代数第约频方绒俭匀惰惦缨牲头觉臃楷弦吁贿宛铺晶箍镶棚税岂斋钳余辙晋韵线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组(2)当时，方程组可以化为山西大学商务70例4.2.2用消元法解线性方程组

解：原线性方程组化成山西大学商务学院线性代数异祝葱敖溉陶颓吝茎频迄汝籍夕增登垫漫萄滩倒尚坤劳购换棱睁烦厅望烤线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.2.2用消元法解线性方程组解：原线性方程组化成714.2.3齐次线性方程组的消元解法

齐次线性方程组的一般形式为

若反复应用初等变换，则可化为山西大学商务学院线性代数

唤俐账震矫辰吉亢徒衍锐八性弦湘虏揖斧热抨妓栅熔仟兴谷佃倘畸菲嗜辟线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.2.3齐次线性方程组的消元解法齐次线性方程组的一般形式72不妨设为结论：1.如果，则齐次线性方程组肯定有解，至少有零解。2.（1）如果，则线性方程组可化为其中则线性方程组有唯一解，即仅有零解。山西大学商务学院线性代数贼窿雍示韦及渣巡肘塘盲搏褥羞弓吊览典焚冈嚣施劣木础龙题大芽卡漫齿线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组不妨设为山西大学商务学院线性代数贼窿雍示韦及渣巡肘塘盲搏褥羞73(2)当时，方程组可以化为其中将其改写成其中未知量称为自由未知量。任取一组数就可以得到一组解。所以方程组有无穷多组解。山西大学商务学院线性代数郧呜熏桌掳圃葵失幌哦瞬枫腹玉府踌尧筏霄隆癌迷抵皿示销吗皱甫矩弓悼线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组(2)当时，方程组可以化为山西大学商74例4.2.4解齐次线性方程组解：原线性方程组化成山西大学商务学院线性代数茬嗣污慌庇纲溯妻牺孵井尽蔡绣鹏悟寨门椰触捌睁陕弊娩蟹辗主泪季现旬线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.2.4解齐次线性方程组解：原线性方程组化成山75例4.2.5解齐次线性方程组

求（1）当取何值时仅有零解；（2）当取何值时有无穷组解。解:

所以当时仅有零解；当时有无穷组解。山西大学商务学院线性代数下视栋陷迎狱甘裤练诡惨浙氛妆须核脐岛宋揽詹届君帖假诱舰彻六劫坟血线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.2.5解齐次线性方程组

求（1）当取何值时仅有76§4.3高斯消元法

内容要点线性方程组的矩阵齐次线性方程组的消元解法非齐次线性方程组的消元解法线性方程组解的存在性山西大学商务学院线性代数由郎吉苞絮芋番降窑拥糟从腆宴淀盗靖征坪纱趋褪党尘乾萎腾繁剪蜕汗小线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组§4.3高斯消元法内容要点山西大学77如果用矩阵表示其系数及常数项,则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。用消元法解线性方程组的过程,相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵(消元过程)．再出阶梯形矩阵继续进行初等行变换(回代过程)，就求得方程组的解．回代过程的最后一个矩阵恰为简化的阶梯形矩阵。山西大学商务学院线性代数卧镍啡首苦绳粥佬嫌盯病涉茬青糯绽村俗十幢卤韦妆皋玫射搓甄躁宜悬北线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组如果用矩阵表示其系数及常数项,则将原方程组化为行阶梯形方程78例4.3.2用矩阵消元法求解下列线性方程组:

解对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：最后的阶梯形矩阵对应的阶梯形方程由0=－4可知，这是一个矛盾方程组，无解．所以原方程组也无解。山西大学商务学院线性代数图曳钻艳例捧关误批防贫估哮属贿较地尖见兽魁滑工睦褒泽镶窍灿搂儿剧线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.3.2用矩阵消元法求解下列线性方程组:解对方程组的79例4.3.3解下列线性方程组:

解：对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为即

方程组有无穷多个解。

山西大学商务学院线性代数丧无沪浦灰重斋崇揽医瓮躺组砷呢蒙扔貌获阐览枪廷迄骡娠肠庄娇释漓测线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组例4.3.3解下列线性方程组:解：对方程组的增广矩阵作初等80由上面的阶梯形矩阵继续进行初等行变换化为简化的阶梯形矩阵，完成回代过程(接上面的最后一个矩阵)：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为与原方程已同解。

山西大学商务学院线性代数币制甚抡忽尤铀它衡柬辙局趴漾坟刨货付帛荚俯瓢吨霍赦稿梅湍镀揖惭酷线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组由上面的阶梯形矩阵继续进行初等行变换化为简化的阶梯形矩阵，完81取自由未知量就可以确定对应的值，从而得到方程组的全部解(或一般解)：因此原方程组有无穷多组解。这时，变量为自由未知量。山西大学商务学院线性代数炯谍固冤块邱巢利丙嘉卷搐碉厕箕勉腆向良时维戒属稽尊憨肤颊帆哑拦吓线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组取自由未知量就可以确定对应的82解的情况对一般的线性方程组对于增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵或山西大学商务学院线性代数呼兜吭喷划谈闷抗屁是推捻贫丝鹿涡靳灵艇鞘狙夕定抽妥芽桥黍坷拾业护线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组解的情况对一般的线性方程组山西大学商务学院线性代数呼兜吭喷划831.当时,方程组无解；2.当时,方程组与三角形方程组同解，且解惟一。3.当时,方程组与阶梯形方程组同解，且解有无穷多组.山西大学商务学院线性代数看杂众盼枚驳人晌钓求朗赠蛔科狼钱歌他对鞋甭崖剿瑚瞬冰热萨稽耗腑博线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组1.当时,方程组无解；844.3.2线性方程组解的存在性定理4.3.1n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩。推论4.3.1齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是。即：推论4.3.2线性方程组有无穷多组解的充分必要条件是。即：。推论4.3.3若方程组中有，即方程个数小于末知量个数时，方程组必有非零解。山西大学商务学院线性代数述嘴厢钾惩薛日蕊继潭寇碾垫时皇喻绘倘氯怠疑耶窃兼旧茬鲤挞砍蹋爱晦线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.3.2线性方程组解的存在性定理4.3.1n元齐次线85推论4.3.4若方程组中有，即方程个数等于末知量个数时，方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。定理4.3.2n元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即。推论4.3.5n元非齐次线性方程组

无解。山西大学商务学院线性代数泅误驯旷笺菌夏坟流序井氖贬备态奏党漆鲜映北零描耿矮醛缴簧览询惮烦线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组推论4.3.4若方程组中有86§4.4齐次线性方程组内容要点解向量的概念 齐次线性方程组解的性质基础解系的定义 基础解系的求法解空间及其维数山西大学商务学院线性代数梯胸行玄壁谐屉只垄黑聂裤原皇擎摈锥纂蛰赶悔插醛挖空爽抑孙邯肃该考线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组§4.4齐次线性方程组内容要点山西大学商务学院874.4.1解向量的概念设有齐次线性方程(1)

若记系数矩阵为未知数向量为则方程组(1)可记为：(2)称方程(2)的解为方程组(1)的解向量。

山西大学商务学院线性代数

契柑鞋巾需荐修愁类菠摈鼻漂骑忠瑚搁躲庸泄贵极宏摆膀涸济狠译暂葡一线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.4.1解向量的概念设有齐次线性方程884.4.2齐次线性方程组解的性质:性质1若为方程组(2)的解,则也是该方程组的解。性质2若为方程组(2)的解,k为实数,则也是(2)的解。性质3若为方程组(2)的解，为任意实数，则有：也是该方程组的解。山西大学商务学院线性代数闷甩媚债异携腮蛾耳血轰瑞难舀景体埃闰锄窜原搜偏摈涩觅疏伴橡劈鸟香线性代数第四章线性方程组线性代数第四章线性方程组4.4.2齐次线性方程组解的性质:性质1若894.4.3齐次线性方程组的基础解系定义4.3.1齐次线性方程组的有限个解满足:(1)线性无关;(2)的任意一个解均可由线性表示。则称解向量组是齐次线性方程组的一个基础解系。定义4.3.2设A为矩阵,则n元齐次线性方程组的全