数学与统计学院线性代数第一学期期末考试试卷及答案_第1页
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PAGE1数学与统计学院2009－2010第二学期《线性代数》（A卷，工科54学时）学院专业学号姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。一、(10分)已知，求行列式及秩。二、(15分)已知矩阵方程，求矩阵.其中三、（15分）已知向量组求向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．四、(15分）设已知线性方程组存在2个不同的解，1）求2）求方程组的通解.五、(15分）设是实数维非零列向量，为阶单位矩阵，，1）计算，并回答能否相似于一个对角阵？并说明理由，其中为常数；2）计算，并回答是否可逆？并说明理由，其中；3）给出为正交矩阵的充分必要条件。六、(15分)在四元实向量构成的线性空间中,求使为的基,并求由基的过渡矩阵,其中,,,；,,,七、(15分)设为n阶对称矩阵,为n阶可逆矩阵,令，证明以下命题:1）为n阶对称矩阵,且；2）如果是一对角阵，是正交阵，且是的特征多项式，则。数学与统计学院2009－2010第二学期《线性代数》（工54学时，A卷答案）一、(10分)解：注意，而是4阶阵，则；.二、(15分)解：。三、（15分）解：，易见，，所以、构成一个最大无关组，且。四、(15分）解：1）设为的2个不同的解，则是的一个非零解，故于是或当时，因为所以无解，舍去.当时，对的增广矩阵作初等行变换，有因为有解，所以 2）当时，有所以的解为其中为任意常数.五、(15分）解：1)计算，从而可以证明A是实对称阵，于是是实对称阵，所以可以对角化。2）计算得，则A的特征值只取而，即，或.3）.六、(20分)解：易知。设,, 则， 设,则

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