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交通大学2008-2009学年第一学期《几何与代数（B）》期末考试试卷(A)一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1已知向量满足的夹角为，则以向量为邻边的平行四边形的面积是.2当有非零解，则1/4.3若平面经过点和轴,则此平面方程为.4由曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是.5已知3阶矩阵且，则4.6设阶方阵的伴随矩阵为且.则7已知向量可由向量组线性表示,则向量组的秩为2.8设为3阶方阵且行列式，（其中为3阶单位阵）。则36.（其中为3阶方阵）。9已知四阶行列式.设为行列式中第行第元素的代数余子式，则010一个动点与的距离是此动点到平面距离的一半，则此动点的轨迹方程为：.二.(10分)计算n阶行列式解（1）如果，任意两列对应成比例，故----------2分(2)如果,第i行分别减去第一行，（i=2,3,…,n+1）得（箭形行列式）-----------3分-----------3分三．（12分）当为何值时，线性方程组无解，有惟一解，有无穷多解？在有无穷多解的情况下，求出它的通解。解：此线性方程组的增广矩阵为------------4分所以时，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等都等于3，所以有惟一解。---------2分当时方程组的增广矩阵可化为：，故方程组有无穷多组解：通解为------------------4分当时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，无解。------------2分四．（10分）求过点且与直线垂直相交的直线方程。解先作过点且与直线垂直的平面：---------2分直线的参数方程为：带入上式得.求出直线与平面的交点.-----------4分从点到点的向量，取方向向量，所求直线方程：------4分五．（12分）设是阶方阵，且（1）证明（其中I是阶单位阵）（2）若,求矩阵解（1）由得到故.------6分(2)，,-------------4分故-------------2分六.（13分）已知三元二次型试写出此二次型的矩阵。用正交变换化二次型为标准形，并写出相应正交矩阵和标准型.解二次型矩阵为-----------2分解得特征值为。对应特征值的特征向量可求解得两个彼此正交的特征向量（若取的不正交，要正交化）-------6分对应特征值的特征向量。-------2分属于不同特征值的特征向量一定正交。将它们单位化为------2分作矩阵则是正交矩阵。经正交变换，可将二次型化为------1分七（8分）求下列向量组的一个最大无关组，并把其余向量表示成最大无关组的线性组合。其中解------4分故极大无关组为。------4分八（5分）设是阶实对称矩阵，证明存在实数,使得为正定矩阵.（这里为阶单位阵）。解设阶实对称矩阵的特征值是当时---------3分的特征值是均大于0。因为阶实对称矩阵是正定矩阵的充

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