数学与统计学院高等数学A1第一学期期末考试试卷1及答案_第1页
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PAGE5PAGE数学与统计学院2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题一、（42分）试解下列各题：1、计算.2、求解微分方程的通解。3、计算.4、计算.5、求曲线自至一段弧的长度。6、设，求.二、（8分）已知，其中由方程确定，求.三、（8分）设,，试证明数列收敛，并求.四、（15分）已知函数，求：1、函数的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。五、（12分）已知函数满足微分方程，且轴为曲线在原点相切，在曲线（）上某点处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：（1）曲线的方程；（2）切点的坐标；（3）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。六、（10分）设在上连续，在内可导，且，证明：（1）存在，使;（2）对任意实数，必存在，使.七、（5分）设函数满足下列两个等式：，求证：，.数学与统计学院2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题参考答案（42分）试解下列各题：1、解：原极限=2、解：齐次方程的特征方程为，它有复数根，故原方程的通解为：3、解：原式=4、解：5、解：6、解：二、（8分）解：，方程两边微分得：故有三、（8分）解：,，因此设，则单调增加，且,故存在设，则:解得.因为非负，∴四、（15分）解：定义域为令驻点，不可导点故单调增加区间为：，单调减少区间为：极小值为：，无极大值。2）下凸区间为：，无拐点，由，故为函数图形的铅直渐近线。又故为函数图形的斜渐近线。五、（12分）解：（1）由观察法知曲线方程为：或解微分方程：特征方程为，故对应齐次方程的通解为，由于，所以微分方程的特解设为，从而有：，故为微分方程的通解，又，由题设知，所以微分方程满足初值条件的解为，即曲线方程为：（2）设切点B的坐标为，则过点B的切线斜率为，于是切线方程为，和轴交点为，由，得a=1，因此切点坐标为(1,1)。（3）六、（10分）证明：（1）令，则故，使得，即（2）设，则，由罗尔定理：，即即七、（5份）证：应用泰勒公式，我们有：（1）（2）分别得：（3）（4

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