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文档简介
3.1.1方程的根与函数的零点3.1.1方程的根与函数的零点问题1:求出表中一元二次方程的根,并画出相应的二次函数图像的草图。判断函数图像与x轴是否有交点。若有,请写出交点坐标。方程
x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0函数函数图像方程的实数根函数的图像与x轴交点y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3x1=-1,x2=3xy0-132112-1-2-3-4.....(-1,0)、(3,0)x1=x2=1.....yx0-12112(1,0)无实数根.....xy0-132112543无交点思考:方程的根与函数图像与x轴交点的横坐标的关系是什么?一、问题引入问题1:求出表中一元二次方程的根,并画出相应的二次函数图像二、动脑思考,探索新知想一想问题2:上述结论推广至一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与相应的二次函数y=ax2+bx+c是否成立?二、动脑思考,探索新知想一想问题2:
判别式=b2-4ac>00<0
二次函数y=ax2+bx+c
的图像一元二次方程ax2+bx+c=0
的根二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点有两个不等的实数根x1,x2
有两个相等实数根x1=x2没有实数根xyx1x2xyx1=x2xy一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像有如下关系:(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点判别式>00<0【推广】:
对于一般方程f(x)=0与相应的函数y=f(x)。
(1)若f(x)=0有实数根c,则相应函数y=f(x)图象必经过点(c,0);
(2)若方程f(x)=0没有实数根,则相应函数y=f(x)图象与x轴没有交点.【推广】:(1)若f(x)=0有实数根c,则相应函数y=f(1、函数零点的定义对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点2、结论说一说3、函数零点的求法:代数法几何法1、函数零点的定义对于函数,我们把使问题3:观察函数y=f(x)(x∈R)的图像,判断y=f(x)零点个数。abcdxy0问题4:观察图像并回答①区间[a,b]上
(有/无)零点,
0(<或>)②区间[b,c]上
(有/无)零点,
0(<或>)③区间[c,d]上
(有/无)零点,
0(<或>)有
<有
<有
<问题3:abcdabxy0问题5:如果闭区间[a,b]上的函数y=f(x)端点函数值f(a)·f(b)<0,是否一定有零点?函数f(x)在[a,b]上连续abxy0问题5:函数f(x)在[a,b]上连续
有零点,至少有一个,但不确定个数,即存在零点。结论ab
x
问题6:满足上述两个条件,能否确定零点的个数呢?有零点,至少有一个,但不确定个数,即结论:函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。作用:判断函数在给定区间内是否有零点.结论:函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,例1
已知函数有如下对应值表x-2-1.5012f(x)10932.781-8-107探究1:函数在哪个区间必有零点?为什么?探究2:在该区间上如果有零点,零点是否唯一?函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0,且在区间[a,b]上单调则函数y=f(x)有零点且唯一。结论例1已知函数有如下bx
a问题7:如果闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)端点函数值f(a)·f(b)﹥0,是否一定有零点?bxa问题7:对于函数f(x)在定义域内连续,且f(2007)<0,f(2008)<0,f(2009)>0,则下列叙述正确的是()A.函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点B.函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点C.函数f(x)在(2008,2009)内存在零点,并且仅有一个D.函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点D练习对于函数f(x)在定义域内连续,且f(2007)<0,x0-2-4-6105y241086121487643219表3--1x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972解:用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表(表3--1)和图像。例2:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。几何法x0-2-4-6105y241086121487643219f(e)=lne+2e-6=2e-5>0,且函数f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)单调递增解:f(1)=ln1+2-6=-4<0,∴函数f(x)=lnx+2x-6有一个零点例2:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。函数零点的存在性定理f(e)=lne+2e-6=2e-5>0,且函数f(x)=三、巩固知识,当堂测试1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为(
)A.(0,0),(4,0)
B.0,4
C.(–4,0),(0,0),(4,0)
D.–4,0,42.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点,则f(x)的零点个数为(
)A.3
B.2
C.1
D.不确定DA三、巩固知识,当堂测试1.函数f(x)=x(x2-16)的零3.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:
那么函数在区间[1,6]上的零点至少有(
)个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个x1234567f(x)239-711-5-12-26C3.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:x14.若函数
仅有一个零点,求实数a的取值范围。解:(1)若a=0,则为一次函数,易知函数只有一个零点。(2)若a0,则函数为二次函数,若其只有一个零点,则方程仅有一个实数根,故判别式综上,当a=0或a=时,函数仅有一个零点。4.若函数仅有一个零点,求实
课堂小结:
1.函数零点的定义;3.函数零点存在性定理;2.三个等价关系;课堂小结:1.函数零点的定义;3.函数零点存在性定理;21、必做题:P88练习第二题作业:2、选做题:已知a∈R,讨论函数f(x)=∣x2-6x+8∣-a的零点的个数。1、必做题:P88练习第二题作业:2、选做题:谢谢大家!谢谢大家!3.1.1方程的根与函数的零点3.1.1方程的根与函数的零点问题1:求出表中一元二次方程的根,并画出相应的二次函数图像的草图。判断函数图像与x轴是否有交点。若有,请写出交点坐标。方程
x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0函数函数图像方程的实数根函数的图像与x轴交点y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3x1=-1,x2=3xy0-132112-1-2-3-4.....(-1,0)、(3,0)x1=x2=1.....yx0-12112(1,0)无实数根.....xy0-132112543无交点思考:方程的根与函数图像与x轴交点的横坐标的关系是什么?一、问题引入问题1:求出表中一元二次方程的根,并画出相应的二次函数图像二、动脑思考,探索新知想一想问题2:上述结论推广至一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与相应的二次函数y=ax2+bx+c是否成立?二、动脑思考,探索新知想一想问题2:
判别式=b2-4ac>00<0
二次函数y=ax2+bx+c
的图像一元二次方程ax2+bx+c=0
的根二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点有两个不等的实数根x1,x2
有两个相等实数根x1=x2没有实数根xyx1x2xyx1=x2xy一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像有如下关系:(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点判别式>00<0【推广】:
对于一般方程f(x)=0与相应的函数y=f(x)。
(1)若f(x)=0有实数根c,则相应函数y=f(x)图象必经过点(c,0);
(2)若方程f(x)=0没有实数根,则相应函数y=f(x)图象与x轴没有交点.【推广】:(1)若f(x)=0有实数根c,则相应函数y=f(1、函数零点的定义对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点2、结论说一说3、函数零点的求法:代数法几何法1、函数零点的定义对于函数,我们把使问题3:观察函数y=f(x)(x∈R)的图像,判断y=f(x)零点个数。abcdxy0问题4:观察图像并回答①区间[a,b]上
(有/无)零点,
0(<或>)②区间[b,c]上
(有/无)零点,
0(<或>)③区间[c,d]上
(有/无)零点,
0(<或>)有
<有
<有
<问题3:abcdabxy0问题5:如果闭区间[a,b]上的函数y=f(x)端点函数值f(a)·f(b)<0,是否一定有零点?函数f(x)在[a,b]上连续abxy0问题5:函数f(x)在[a,b]上连续
有零点,至少有一个,但不确定个数,即存在零点。结论ab
x
问题6:满足上述两个条件,能否确定零点的个数呢?有零点,至少有一个,但不确定个数,即结论:函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。作用:判断函数在给定区间内是否有零点.结论:函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,例1
已知函数有如下对应值表x-2-1.5012f(x)10932.781-8-107探究1:函数在哪个区间必有零点?为什么?探究2:在该区间上如果有零点,零点是否唯一?函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0,且在区间[a,b]上单调则函数y=f(x)有零点且唯一。结论例1已知函数有如下bx
a问题7:如果闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)端点函数值f(a)·f(b)﹥0,是否一定有零点?bxa问题7:对于函数f(x)在定义域内连续,且f(2007)<0,f(2008)<0,f(2009)>0,则下列叙述正确的是()A.函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点B.函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点C.函数f(x)在(2008,2009)内存在零点,并且仅有一个D.函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点D练习对于函数f(x)在定义域内连续,且f(2007)<0,x0-2-4-6105y241086121487643219表3--1x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972解:用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表(表3--1)和图像。例2:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。几何法x0-2-4-6105y241086121487643219f(e)=lne+2e-6=2e-5>0,且函数f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)单调递增解:f(1)=ln1+2-6=-4<0,∴函数f(x)=lnx+2x-6有一个零点例2:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。函数零点的存在性定理f(e)=lne+2e-6=2e-5>0,且函数f(x)=三、巩固知识,当堂测试1.函数f(x)=x(x2-16
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