人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第五章第1节数列的概念

第五章数列（选择性必修第二册）第1节数列的概念

课程标准要求.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）..了解数列是自变量为正整数的一类函数.必备知识•课前回顾 ®招敖材夯实四条■知识梳理.数列的概念及分类（1）定义数列按照确定的顺序排列的一列数项数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号ai表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用aZ表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用a1,表示.其中第1项也叫做首项表示aba2,a3,a”…，简记为｛aj⑵分类①项数直限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.②从第2项起,每一项都大王它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起,每一项都小壬它的前一项的数列叫做递减数列.特别地,各项都相等的数列叫做常数列.(3)数列与函数数列｛aj是从正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,…,n｝)到实数集R的函数，其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项劣,记为an=f(n).另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(n£N*)有意义那么f⑴，f(2),…，f(n),…构成了一个数列｛f(n)｝.(4)数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法..数列的通项公式如果数列｛4｝的第n项以与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项..数列的递推公式与前n项和公式递川；公式一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做这个数列的递推公式前n项和数列｛aj从第1项起到第二项止的各项之和,称为数列｛aj的前n项和，记作S”即Sn=ai+a2+…+a。

定义刖n项数列｛aj的前n项和♦与它的序号n之间的对应关系可以用一和个式子来表示,这个式子叫做这个数列的前n项和公式公式.数列中须与Sn的关系若数列｛aj的前n项和为Sn,则劣=整二=1">2—3对点自立—.数列⑸｝的前几项为a3,y,8,y,…，则此数列的通项公式可能是（A）A.am5n~4B.anA.am5n~4B.an-3n-2c6n-5「 10n-9C.an= D.an= 2 2解析:数列为J,v-T-T-…，其分母为2,分子是首项为1,公差为5的等差数列，故通项公式为an=^.故选A..在数歹！J｛aJ中，a】=l,an=l+工（n，2）,贝!）a」等于（B）an-lA.-B.-C.-D.-2 3 4 5.已知数列｛aj的前n项和为Sn,若Sn=n：贝ljan=;若Sn=n'+1,则an=解析:若Sn=n2,则当n=l时,ai=Si=l,当n22时，an=Sn-Sn-i=n2-(n-1)2=2n-1.当n=l时满足上式,所以an=2n-l.若Sn=n2+1,当n=l时,ai=Si=2.当n22时，an=Sn-Sn-i-n2+1-[(nT尸+1]=2nT,当n=l时不满足上式，的aJ2,n=1,l2nl,n>2,neN*.答案,2nT(2,n=l,口呆.zni3—I,ziN2.已知an=n2+Xn,且对于任意的n£N：数列｛4｝是递增数列，则实数入的取值范围是解析：因为｛aj是递增数列，所以对任意的n£N*,都有an+1>an,即(n+1)?+入(n+1)>n2+入n,整理,得2n+l+X>0,即X>-(2n+l).(*)因为n21,所以-(2n+l)W-3,要使不等式(*)恒成立，只需人>~3.答案：(-3,+8).在数歹U｛aj中，an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n=.解析：由题可知n£N*,令an=-n2+6n+7^0,得l〈n<7(n£N*),所以该数列的第7项为零,且从第8项开始an<0,则S6=S,且最大.答案：6或7关键能力•课堂突破岐'考点一由4与Sn的关系求通项公式.记Sn为数列｛aj的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.解析：因为Sn=2an+1,所以当n-1时,ai-2ai+l,解得ai--l,当n22时,an=Sn-Sn-F2an+l-(2an-,+l),所以an=2an-b所以数列｛aj是以-1为首项,2为公比的等比数列，所以a=-2自，所以S6--lx(1„26)—63.1-2答案:-63.已知数列｛aj满足a1+2a2+3a3+…+nan=2",贝！]an=.解析：当n=l时，由已知，可得al=2l=2,因为a1+2az+3a3+…+皿=2",①故ai+2a2+3a3+,,,+(n-1)an-i=2n'(n22),②由①-②,得nan=2n-2n1=2n,,7^-1所以a„=——(n22).n显然当n=l时不满足上式，(2)?i=1,所以an=]2nl、°J11”(2,n=1,答案：2%1Hr心2

3.设Sn是数列｛aj的刖n项和，且31——1,an+l—SnSn+l,贝！JSn二.解析：因为an+i=Sn+i-Sn,an+i=SnSn+i,所以Si所以SiSn二SS+1.因为SnWO,所以工—二一=l,gp——-1.，/，“，c*c1 1c*c»n+l »n+l3n又■^T,Si所以数列｛白｝是首项为-1,公差为T的等差数列.所以9=T+(nT)X(-l)=-n,所以Sn二-二.n答案:二n入题后悟通已知S0求a”的常用方法是利用an=，n：士？一定要检验an=n°nT，n占4，啜考点二由递推关系求通项公式口角度一累加法——形如an+1-an=f(n),求an(例1T)设数列｛aj满足ai=l,且a9i-an=n+l(n£N*),则数列｛aj的通项公式为解析：由题意得32—ai=2,a，3—a2=3,,,,,所以an-an-i=n(n22).以上各式相加,得/冏=2+3+•,•+n=.（-1）^2-n）-n2+n-22因为a1=l,所以a〕n；n(n22).因为当n=l时也满足此式，所以aE呼.答案:暗?解题策略当出现a“+尸adf(n)时，用累加法求解.即利用an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+,•,+(a2-ai)+a)=f(n-l)+f(n-2)+…+f⑴+ai求解.幅度二累乘法 形如皿=f(n),求anan(例1-2)设数列｛aj中，ai=2,an+i=-^an,则an=解析：因为a1=2,n+1所以an#O,所以外+1-n.ann+1所以当n22时，TOC\o"1-5"\h\za ,至2 £2. .a,an1an2an3 a2aln~ln~2n_3 1n__• ••••••_)nn-ln-2 22——nai=2也符合上式，则al.n答案3n解题策略当出现%l=f(n)时，用累乘法求解.即利用ana4.吧・— 也•也.a1求解.an-lan-2an-3 a2al口角度三构造等差法一一形如ae=^(A,B,C为常数)，求anBan+CCWH3)已知数列｛aj中，a尸2,an+尸驾(n£N*),则数列｛%｝的通项公式

%i+2an=.解析：因为a„H-2ctn.ai=2,On+2所以an^0,又a=2,则24，2所以数列｛工｝是以;为首项,;为公差的等差数列.所以三工+(nT)anat 22所以an—.n答案2n解题策略形如a—W/A,B,C为常数)，将其变形为」：--+^Ban+C an+1AanA(1)若A=C,则｛工｝是等差数列,且公差为可直接用公式求通项公式.an A(2)若A#C,则采用待定系数法,构造新数列求解.口角度四构造等比法 形如an+i=Aan+B(A#O且Arl,B#0),求an(例1-©已知数列｛aj满足a〕=l,an+i=3an+2(n6N*),则数列｛aj的通项公式为.解析：因为an+1=3an+2,所以an+i+l-3(an+1),所以&±193,an+l所以数列区+1｝为等比数列，公比q=3,又ai+l=2,所以4+1=2・37所以a=2・31-1.答案:a=2・3nl-l解题策略对于形如an+i=Aan+B(A#:O且A#4,B/0),通常采用待定系数法将其转化为an+i+x=A(an+x),先求出x,再借助等比数列｛a0+x｝求解.［针对训练］根据下列条件,求数列｛4｝的通项公式.1(1)ai—2,an+i~3n+In(1+—);(3)a]磊an+i=^an+(^)nH;(4)ai=l,an=—(n^2).3ani+l解：⑴因为a*an+ln(l+3,n所以an+「an=]n匕n所以an-an-i=ln-^-(n^2),71-1TOC\o"1-5"\h\z几―1 2an-i-an-2=ln—,…，a2-ai=ln-(n^2).n-2 1所以an-ai=ln—+ln—+,,,+ln-=lnn(n22),n-1 n-2 1即an=lnn+2(n22).又a1=2,所以an=lnn+2.(2)因为a产三ae(n，2),n+1所以当n22时，马二M，On1n+1

所以工三,…On-|Zl+1Q，24即3以上n-1个式子相乘得上«趾1 包・—dji-1€ln-2 a2 zi+1n即&=J_.1x2X1,n+1n所以a所以an-n(n+l)当n=l时,a尸一,也与已知aL；相符，I.X4/ 乙所以数列｛aj的通项公式为an--i-.n(n+l)⑶在2”某呜严两边分别乘以2叱得2*an+1=1(2n・an)+l.令bn=2n•an,则bn+1=|bn+l,根据待定系数法，得bn+1-3^(b-3).所以数列瓜-3｝是首项为b「3=2X，3=-；,公比为;的等比数列.所以b:3=—•吟尸，即bn=3-2(1)n.于是,届上3(312(31(4)取倒数,得上=玛口口3+」-(n22).anan-lan-l所以数列｛工｝是等差数列,J+3(n-1)=1+3(nT)=为小.an an% 3n-2族考点三数列的性质及其应用口角度一数列的周期性(例2T)数列｛aj满足an+i=-^—,as=2,则a尸1a„ 解析：由a*--,得an=l--,1an an+l因为a8=2,所以37=1_1=1,ao=l--=-1,a5=l--2,•••,a7 a6

所以｛aj是以3为周期的数列，所以ai-a?-^.答案§解题策略解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.幅度二数列的单调性霞D已知数列｛aj的通项公式为a.=*,若数列｛aj为递减数歹！J,则实数k的取值范围为()A.(3,+8)B.(2,+8)C.(1,+°°)D.(0,+8)解析：因为an+-an^3zi+3+k解析：因为an+-an^3zi+3+k2n+1誓:嘿U，由数列｛4｝为递减数列知,对任意nRN*,a/「an二3~3nk

2n+1<0,所以k>3-3n对任意n£N*恒成立,所以kG(0,+8).故选D.解题策略

解决数列单调性问题的三种方法(1)用作差比较法,根据的符号判断数列｛aj是递增数列、递减数列还是常数列.(2)用作商比较法，根据皿(a)0或aWO)与1的大小关系进行判断.an(3)结合相应函数的图象直观判断.口角度三求数列中的最大(小)项已知数列｛aj的通项公式为an=n(|)n,则数列｛aj中的最大项为()A.-B.-C.-D.—9 3 81 243解析：(n+1)(1)n+1-n(§三号.(1)",当n<2时,an+i-an>0,即an+i>an;当n=2时，an+i-an=O,即an+i=an;当n>2时,an+i-an<0,即an+1<an.所以ai〈a2=a3>£u>a5>c・〉an,所以数列｛aj中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2X(1)2=|.故选A.解题策略求数列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组［］“一6/1"'(n22)找到数列的最大项.(2)利用不等式组If(n22)找到数列的最小项.(an£«n+l［针对训练］(1)若数列｛aj满足aE,加尸警,贝Ua2侬的值为()lOnA.2B.-3C.--D.-2 3(2)已知数列｛aj的通项公式为an=^—,则数列｛4｝中的最大项为nz+90()A.3V10B.19C.—D.—19 60⑶已知等差数列｛aj的前n项和为Sn(neN*),且%=2n+X,若数列｛SJ(n27,n£N*)为递增数歹U,则实数人的取值范围为解析：⑴因为a:2,a*瞿，所以22乎=-3,‘，…，可得an+4=an,同理可得a3=-1,a3,‘，…，可得an+4=an,则3.2022二@505X4+2=a2=-3.故选B.(2)由题意得an=Ao.运用基本不等式得4〈篇=占,当且仅当n+—— n+——2V906V10n n5=90时,等号成立,结合n£N*,可知a9=au)*最大.故选C.(3)当n，7时，数列｛S„｝为递增数列，设Sn+i>Sn,即Sn+1-Sn=an+i>0,所以am=2(n+l)+入>0,则入>-2n-2.又因为n27,所以-2n-2WT6,即入>-16.答案：(DB(2)C(3)(-16,+8)息备选例题CffiD已知n£N*,给出4个表达式:①a4°'”为奇数，②4=独斗③(1,n为偶数, 2a0=i+c；snn,④a=sin学，其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④解析:选A.CM）已知数歹U｛aJ满足ai=l,an=an-i+2n（n22）,贝!Ja?等于（）A.53B.54C.55D.109解析：由题意知,a2=a,+2X2,a3=a2+2X3,…,a7=a6+2X7,各式相加得a7=ai+2X（2+3+4+…+7）=55.故选C.CTO在数列｛aj中，ai=l,an+i=2an-2n,则等于（）A.-15X216 B.15X2“C.-16X2'6 D.16X2"解析：因为an+i=2an-2n,所以辨偿冶,所以数列既｝是等差数列,公差为3,首项为詈=1,所以第WW(n-1)=等，所以4=(2-n)-2二所以a17=T5X2?故选A.CSK)若数列｛aj的前n项和Sn=n2TOn(n£N*),则数列｛naj中数值最小的项是()A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项解析：因为Sn=n2-10n,所以当n22时,a„=Sn-Sn-i=2n-ll;当n=l时,ai=Si=-9也适合上式.所以a»=2n-ll(n£N*).记f(n)=nan=n(2nT1)=2*1111,此函数图象的对称轴为直线n=:,但n£N*,所以当n=3时,f(n)取最小值.所以数列｛naj中数值最小的项是第3项.故选B.课时作业

选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练由数列的前几项归纳通项公式1,74与Sn的关系4,8,916数列的递推关系2,312数列的性质5,614综合问题10,11,13,1517,18A级基础巩固练.若数列的前4项分别是占则此数列的一个通项公式为

2 34 5a.^22n+1a.^22n+1r(-l)nnB.比

n+1

(-1严D.——n.若数列｛aj满足ai=l,a『「an-l=2n,则a。等于（A）A.2n+n-2B.2nl+n-lC.2n+1+n-4D.2n+1+2n-2解析：因为an+-an=2n+l,所以a21al=241,&3-32—22+l,&4—as=23+1,,,,,an-an-i-2n'+1(n^2),以上各式相力口得an-ai=2I+*-*+2n(n-1)=2^2—-+n-l=2n+n-3.l-2所以an=2n+n-2.故选A..已知数列｛aj满足ai=l,am=W-2an+l(n£N*),贝(Ja2()22等于(B)A.1A.12022D.-2022解析：因为ai=l,所以a2=(a-l)2=0,a3=(a2-l)2=l,a4=(a3-l)2=0,…，可知数列｛aj是以2为周期的数列，所以a2022=a2=0.故选B.4.已知数列｛aj的前n项和为50,2尸2,5田=2511-1(11£1<),则a］。等于(B)A.128B.256C.512D.1024解析：因为S*2S「l(n£N*),n22时,SESzT,所以an+i~2an.n=1时，ai+a2=2a「1,q,i—2,q，2~1•所以数列｛aj从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10=a2X28-lX28=256.故选B..(多选题)在数列｛aj中,an=(n+l)(，n,则数列｛aj中的最大项可以是(AB)A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项解析:假设编最大,则有伊金：…

(九+1)。

(n+l)(|)n3(九+2)(九+1)。

(n+l)(|)所以n+1>-(n+2),8所以；(ri+1)>n,o即6WnW7,所以最大项为第6项和第7项.故选AB..设数列｛aj的通项公式为an-n2-bn,若数列｛aj是单调递增数列，则实数b的取值范围是(C)A.(-°°,-1]B.(-8,2]C.(-8,3)D.(-8,0解析：因为数列｛aj是单调递增数列，所以an+1-an=2n+l-b>0(n£N*),所以b〈2n+l(n£N*),所以b<(2n+l]s=3,即b<3.故选C..已知数列鼻fg2斐，…,根据前3项给出的规律,实数对2 4 6m-n10(m,n)为.解析：由数列的前3项的规律可知(19m=—,32”5，故实数对(m,n)为号,|).答案:号,|).若数列｛an｝的前n项和Sn=3n2-2n+l,则数列｛an｝的通项公式解析：当n=l时,a】=Si=3X12-2X1+1=2.当n22时，4=5„/-2/1-[3(厂IF-2(n-l)+l]=6n-5,显然当n=l时，不满足上式.故数列｛aj的通项公式为4=6'1'、9(6九一5,n>2.牲空.(2,n=1,n^l6n-5,n>2.已知数列｛aj中，ai=l,前n项和Sn=^an.(1)求0.2,3,3；(2)求｛aj的通项公式.解：⑴由$2=孑2得3(ai+a2)-4a2,解得3a)—3.由S31a3得3(ai+az+a?)=5a3,解得a3=|(a]+a2)=6.(2)由题设知,当n22时,有a产Sn-Si昔&告a,,整理得•飞•-nH,QtiT九一1TOC\o"1-5"\h\z因此而・丘一] 幺.a2n+l._n_ -X-,1a?i—2 。2Q]九-1Ti--2 21/izg/日 (n+l)n n(n+l)化简得an=———•ak一--,NX1 2当n=l时,ai=l满足上式，所以｛aj的通项公式为9(n£N*).B级综合运用练.数列｛xj满足xn+,=|Xn-xn-i|(n^2,n£N),xfI,x2=a(aeR,a#0),Xn+T—X”当T取最小值时，该数列的前2021项和是(D)A.673B.674C.1347D.1348解析:若T=l,则｛xj为常数列,故X2=Xi=l,此时X3=0Wxi,故T=1舍去.若T=2,则X3-X1-I,故|aT|=1,故a=2或a=0(舍去).故X4=11-21=1,但X5=IIT|=0Wx3,故T=2舍去.若T=3,贝(Jx3=Ia-11,x4=|a-|a-l||二Xi=l,x5=|1-|l-a|\=x2=a,若a，l,则|a-(aT)|=1,且|l-(aT)\-a,整理得到|2-a|=a,解得a=l.若0<a<l,则|a-(1-a)|=1,且11-(1-a)\=a,整理得到|2aT=1,无解.又当a-1时，有X2=Xi=l,X3=0,x4=l,x5=l,X6=0,此时｛x“｝为周期为3的周期数列.该数列的前2021项和为号竺X2+l+l=l348.故选D..设数列｛aj中31—&2~1>且满足a2n+i=3a2n-i与a2n+2-a2n+i=a2n,则数列｛aj的前12项的和为(C)A.364B.728C.907D.1635解析:数列｛aj中31—32—1,且病足a2n”=3a2nT,贝Ua3=3ai=3,as=3a3=9,a7=3a5=27,a9=3a7=81,a“=3a9=243.a2n+2-二a2n,所以a2n+2=@2|1+1+22”故=己3+82=4,%二己5+@4二13,38=37-*-36=40,310=39^38~121,@12=411+340=364,所以数列｛aj的前12项的和为1+1+3+4+9+13+27+40+81+121+243+364=907.故选C.12.已知数列区｝满足皿*2,aN0,则幺的最小值为(C)n nA.4V5B.4V5-1C.8D.9解析：由3n+i—3n~2n知&-ai=2X1,a31a2=2X2,•••,an—3n-i~2(n—1),nN2,以上各式相加得an—ai~n2—n,nN2,所以an=r?-n+20,n22,当n=l时,ai=20符合上式，所以£n+型-l,n£N*,nn所以当n<4时,出单调递减，当n25时,回单调递增，n n因为手？，45所以&的最小值为？=?=8.故选C.n 45.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图),其中0A尸AiAz=A2A3=c=A7A8=1■，记OAi,OA2,OA3,•,,,OAs的长度构成的数列为｛an｝(n£N*,n<8),则｛aj的通项公式an=.(n£N*,n<8)解析：根据题意OAi-AiA2-A2A3-,•,-AzAs-1,所以W=W-1+1(n22),且忧=1,所以｛a豺是以1为首项，1为公差的等差数列，所以咸=n,an=Vn.答案:小.已知数列区｝的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,a”有最小值?并求出最小值；(2)若对于n£N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.解：(1)由n-5n+4<0,解得Kn<4.因为nGN*,所以n—2,3,所以数列中有两项是负数，即为a2,a3.因为an=r?-5n+4=(n-|)2-3,由二次函数的性质，得当n=2或n=3时,a有最小值，其最小值为&2=8,3=~2.(2)由an+i>anKTW(n+1)2+k(n+1)+4>n?+kn+4,整理得k>-2n-l,且对任意的n£N*恒成立，所以ke(-3,+8),所以实数k的取值范围为(-3,+8).

.已知数列｛aj中，a,-l,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+l)an(n£N*).(1)求数列｛aj的通项公式;⑵记＞=3"-入W，若数列瓜｝为递增数列,求实数人的取值范围.解：⑴因为2Sn=(n+l)an,所以2Sn+j—(n+2)an+i,所以2an+i=(n+2)an+i-(n+1)an,即nan+F(n+l)an,所以an+l_所以an+l_ann+1n所以£咄=..二生=1,nn-l1所以an=n(nG所.(2)由(1)得，bn=3"-入n~.bn+i-bn—3n'一人(n+1)2_(3n-An2)-2,3”-入(2n+l).因为数列｛bj为递增数列,所以2•3n-X(2n+l)>0,即入＜令C即入＜令Cn:2•3n2n+l2•3n'2n+lcn2n+3 2•3n2n+3cn+12-3cn2n+3 2•3n2n+3所以数列｛cj为递增数歹I所以入3=2,即实数人的取值范围为(-8,2).c级应用创新练.在数列｛xj中,Xn+W四奢,nel,设其前n项和为Sn,则下列命题正确的是(D)Xio-Xi210(x2-xi)9xi+xio〈Sio〈Xi+9xio2D.若Xn*「X尸g贝!|Sn〉