一轮复习数学

第四讲正、余弦定理及解三角形【高考帮·理科数学】第四章：三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形【高考帮·理科数学】第四章：考情精解读A考点帮•知识全通关目录CONTENTS命题规律聚焦核心素养考点1正、余弦定理考点2解三角形的实际应用考情精解读A考点帮•知识全通关目录命题规律聚焦核心素养考点1考法1利用正、余弦定理解三角形考法2判断三角形的形状考法3与面积有关的问题考法4解三角形的实际应用B考法帮•题型全突破C方法帮•素养大提升易错代数式化简或三角运算不当致误误理科数学第四章：三角函数、解三角形考法1利用正、余弦定理解三角形考法2判断三角形的形状考法考情精解读命题规律聚焦核心素养理科数学第四章：三角函数、解三角形考情精解读命题规律理科数学第四章：三角函数、解三角形命题规律考点内容考纲要求考题取样对应考法1.正弦定理、余弦定理掌握2018全国Ⅱ,T6考法12017全国Ⅰ,T17考法32.解三角形的实际应用理解2015湖北,T13考法4命题规律考点内容考纲要求考题取样对应考法1.正弦定理、余弦定1.命题分析预测从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和热点,主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也与三角恒等变换等进行综合命题,既有选择题、填空题,也有解答题,分值4~12分.2.学科核心素养本讲通过正、余弦定理及其应用考查考生的数学运算、数学建模素养.聚焦核心素养1.命题分析预测从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和A考点帮•知识全通关考点1正、余弦定理考点2解三角形的实际应用理科数学第四章：三角函数、解三角形A考点帮•知识全通关考点1正、余弦定理理科数学第四章：三1.正、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则考点1正、余弦定理及其应用（重点）定理正弦定理余弦定理内容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.变形1.正、余弦定理考点1正、余弦定理及其应用（重点）定理正弦注意在△ABC中,已知a,b和A,解的情况如下:理科数学第四章：三角函数、解三角形

A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解注意在△ABC中,已知a,b和A,解的情况如下:理科

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形实际测量中的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.说明有关测量中的常用术语如下：考点2解三角形的实际应用术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角.方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角的范围是(0°,360°).实际测量中的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α.

北偏东α

南偏西α坡角坡面与水平面的夹角坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比理科数学第四章：三角函数、解三角形术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所B考法帮•题型全突破考法1利用正、余弦定理解三角形考法2判断三角形的形状考法3与面积有关的问题问题考法4解三角形的实际应用理科数学第四章：三角函数、解三角形B考法帮•题型全突破考法1利用正、余弦定理解三角形理科数学考法1利用正、余弦定理解三角形

思维导引

→根据条件两边和其中一边对角选用正弦定理求解考法1利用正、余弦定理解三角形

思维导引根据条件两边和其中

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形理科数学第四章：三角函数、解三角形方法总结解三角形的基本类型及解法

基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边,如A,B,a.已知两边及其中一边所对的角,如a,b,A.理科数学第四章：三角函数、解三角形方法总结基本类型一般解法已知两边和它们的夹角,如a,b,C.已知三边.可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对的角,再由A+B+C=180°,求出第三个角;由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求较小边所对的角.理科数学第四章：三角函数、解三角形续表基本类型一般解法已知两边和它们的夹角,如a,b,C.已知三边技巧点拨

解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.理科数学第四章：三角函数、解三角形技巧点拨理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形考法2判断三角形的形状示例3

[2018山西一模]在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行,则△ABC一定是

A.锐角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰或直角三角形思维导引两直线平行可得到一个边角关系,即bcosB-acosA=0,然后可化边或化角判断三角形的形状.

考法2判断三角形的形状示例3[2018山西一模]在△AB

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形方法总结判断三角形形状的方法注意

注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.理科数学第四章：三角函数、解三角形方法总结理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

考法3与面积有关的问题

考法3与面积有关的问题

思维导引(1)→→(2)→→理科数学第四章：三角函数、解三角形已知“两边一对角”根据两边及夹角的面积公式求解利用余弦定理求出第三边条件分散在两个三角形中找出两个三角形的公共边AC设∠CAD=θ,列方程组求解

思维导引理科数学第四章：三角函数、解三角形已知“两边一对角

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形思维导引

(1)→→(2)→→利用三角形内角和定理及诱导公式可得sin(A+C)=sinB利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系将已知等式转化解方程求出cosB的值利用第(1)问的结论求出sinB利用三角形的面积公式求出ac利用余弦定理求出b

理科数学第四章：三角函数、解三角形思维导引利用三角形内角

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形感悟升华与面积有关的常见问题类型和解题技巧理科数学第四章：三角函数、解三角形类型解题技巧求面积已知面积求其他量应用面积公式及正、余弦定理综合求解.感悟升华理科数学第四章：三角函数、解三角形类型解题技巧求面注意

(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,b-c<a<b+c,三角形中大边对大角等.理科数学第四章：三角函数、解三角形注意(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形考法4解三角形的实际应用示例6某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.思维导引

本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间为th,找出等量关系,然后解三角形.考法4解三角形的实际应用示例6某渔轮在航行中不幸遇险,发

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形感悟升华解三角形的实际应用问题的类型及解题策略理科数学第四章：三角函数、解三角形感悟升华理科数学第四章：三角函数、解三角形答题模板求解解三角形实际应用问题的步骤理科数学第四章：三角函数、解三角形答题模板理科数学第四章：三角函数、解三角形拓展变式4如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).记∠AMN=θ.(1)将AN,AM用含θ的关系式表示出来;(2)如何设计(即AN,AM为多长时),使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?理科数学第四章：三角函数、解三角形拓展变式4如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路A

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形C方法帮•素养大提升易错代数式化简或三角运算不当致误理科数学第四章：三角函数、解三角形C方法帮•素养大提升易错代数式化简或三角运算不当致误理科数示例7在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),试判断△ABC的形状.易错代数式化简或三角运算不当致误易错分析

(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形;(2)代数运算中两边同除以一个可能为0的式子,导致漏解;(3)结论表述不规范.示例7在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形易错提示1.判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子然后判断.注意不要轻易两边同除以一个式子.2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.理科数学第四章：三角函数、解三角形易错提示理科数学第四章：三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形【高考帮·理科数学】第四章：三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形【高考帮·理科数学】第四章：考情精解读A考点帮•知识全通关目录CONTENTS命题规律聚焦核心素养考点1正、余弦定理考点2解三角形的实际应用考情精解读A考点帮•知识全通关目录命题规律聚焦核心素养考点1考法1利用正、余弦定理解三角形考法2判断三角形的形状考法3与面积有关的问题考法4解三角形的实际应用B考法帮•题型全突破C方法帮•素养大提升易错代数式化简或三角运算不当致误误理科数学第四章：三角函数、解三角形考法1利用正、余弦定理解三角形考法2判断三角形的形状考法考情精解读命题规律聚焦核心素养理科数学第四章：三角函数、解三角形考情精解读命题规律理科数学第四章：三角函数、解三角形命题规律考点内容考纲要求考题取样对应考法1.正弦定理、余弦定理掌握2018全国Ⅱ,T6考法12017全国Ⅰ,T17考法32.解三角形的实际应用理解2015湖北,T13考法4命题规律考点内容考纲要求考题取样对应考法1.正弦定理、余弦定1.命题分析预测从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和热点,主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也与三角恒等变换等进行综合命题,既有选择题、填空题,也有解答题,分值4~12分.2.学科核心素养本讲通过正、余弦定理及其应用考查考生的数学运算、数学建模素养.聚焦核心素养1.命题分析预测从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和A考点帮•知识全通关考点1正、余弦定理考点2解三角形的实际应用理科数学第四章：三角函数、解三角形A考点帮•知识全通关考点1正、余弦定理理科数学第四章：三1.正、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则考点1正、余弦定理及其应用（重点）定理正弦定理余弦定理内容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.变形1.正、余弦定理考点1正、余弦定理及其应用（重点）定理正弦注意在△ABC中,已知a,b和A,解的情况如下:理科数学第四章：三角函数、解三角形

A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解注意在△ABC中,已知a,b和A,解的情况如下:理科

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形实际测量中的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.说明有关测量中的常用术语如下：考点2解三角形的实际应用术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角.方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角的范围是(0°,360°).实际测量中的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α.

北偏东α

南偏西α坡角坡面与水平面的夹角坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比理科数学第四章：三角函数、解三角形术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所B考法帮•题型全突破考法1利用正、余弦定理解三角形考法2判断三角形的形状考法3与面积有关的问题问题考法4解三角形的实际应用理科数学第四章：三角函数、解三角形B考法帮•题型全突破考法1利用正、余弦定理解三角形理科数学考法1利用正、余弦定理解三角形

思维导引

→根据条件两边和其中一边对角选用正弦定理求解考法1利用正、余弦定理解三角形

思维导引根据条件两边和其中

理科数学第四章：三角函数、解三角形

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理科数学第四章：三角函数、解三角形

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理科数学第四章：三角函数、解三角形理科数学第四章：三角函数、解三角形方法总结解三角形的基本类型及解法

基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边,如A,B,a.已知两边及其中一边所对的角,如a,b,A.理科数学第四章：三角函数、解三角形方法总结基本类型一般解法已知两边和它们的夹角,如a,b,C.已知三边.可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对的角,再由A+B+C=180°,求出第三个角;由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求较小边所对的角.理科数学第四章：三角函数、解三角形续表基本类型一般解法已知两边和它们的夹角,如a,b,C.已知三边技巧点拨

解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.理科数学第四章：三角函数、解三角形技巧点拨理科数学第四章：三角函数、解三角形

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理科数学第四章：三角函数、解三角形考法2判断三角形的形状示例3

[2018山西一模]在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行,则△ABC一定是

A.锐角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰或直角三角形思维导引两直线平行可得到一个边角关系,即bcosB-acosA=0,然后可化边或化角判断三角形的形状.

考法2判断三角形的形状示例3[2018山西一模]在△AB

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理科数学第四章：三角函数、解三角形方法总结判断三角形形状的方法注意

注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.理科数学第四章：三角函数、解三角形方法总结理科数学第四章：三角函数、解三角形

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考法3与面积有关的问题

考法3与面积有关的问题

思维导引(1)→→(2)→→理科数学第四章：三角函数、解三角形已知“两边一对角”根据两边及夹角的面积公式求解利用余弦定理求出第三边条件分散在两个三角形中找出两个三角形的公共边AC设∠CAD=θ,列方程组求解

思维导引理科数学第四章：三角函数、解三角形已知“两边一对角

理科数学第四章：三角函数、解三角形

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理科数学第四章：三角函数、解三角形思维导引

(1)→→(2)→→利用三角形内角和定理及诱导公式可得sin(A+C)=sinB利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系将已知等式转化解方程求出cosB的值利用第(1)问的结论求出sinB利用三角形的面积公式求出ac利用余弦定理求出b

理科数学第四章：三角函数、解三角形思维导引利用三角形内角

理科数学第四章：三角函数、解三角形

理科数学第四章：三角函数、解三角形感悟升华与面积有关的常见问题类型和解题技巧理科数学第四章：三角函数、解三角形类型解题技巧求面积已知面积求其他量应用面积公式及正、余弦定理综合求解.感悟升华理科数学第四章：三角函数、解三角形类型解题技巧求面注意

(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,b-c<a<b+c,三角形中大边对大角等.理科数学第四章：三角函数、解三角形注意(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的

理科数学第四章：三角函数、解三角形

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理科数学第四章：三角函数、解三角形考法4解三角形的实际应用示例6某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.思维导引

本题中所涉及的路