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复变函数复习资料一、单项选择题1．解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的导函数为（ B ；（A）（C）

f(z)u iu；（B）f(z)u iu；x x x f(z)u iv；（D）f(z)u ivx y x2C是正向圆周z3，如果函数f(z)（ D，则 f(z)dz0．C（A）

3 ；（B）3(z；

3(z

；（D） 3 .z2

z2 (z2)2

(z2)2如果级数n1

czn

在z2点收敛，则级数在( C )（A）（C）z

点条件收敛； （B）z点绝对收敛；1i点绝对收敛； （D）z12i点一定发散．下列结论正确的是( )f(zz0

f(zz0

点一定解析；f(zCC

f(z)dz0如果C

f(z)dz0，则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析；函

f(z)u(x,yiv(x,y在区域内解析的充分必要条件是u(x,yv(x,y在该区域内均为调和函数．下列结论不正确的是（ D ．(A)

为sin 的可去奇点；1z1

(B)为sinz的本性奇点；(C)

为1sin1z

的孤立奇点;

(D)

为1 的孤立奇点sinz二．填空题．1i 3的幅角是（ ；2Ln(1i)

1ln2i2. 的主值是（ 2 4 ；f ()f 3.

11z

，f(5)(0)（ 0 ；4z0

zsinz4

的（一级 ）极点；5．f(z)

1，Res[f(z),]（-1 z三.按要求完成下列各题f(z)x

axyby

i(cx

dxyy2abcd.fzC-Ruv uvx y y x2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,计算解：

z15 dzz3z2)2(2z4)31 dz（3）．利用留数计算

C(z1)(z2)2

C

3；f(zz3内，由留数定理 z15z3z2)2(2z4)3

dziRef(z),]2

iRes[f(1)1] 1z1 1 ( )15 1zf() z z2 1 1 z2 )2(2)4)3z2 zf(1 1 1) 有唯一的孤立奇点zf(1 1 1z z2 z2)2(2z411

1 1lim 1 1Ref) ,0] zf) z z2

z15

z z2z0 z0dz2i

z2)2(2z

1)3z3z2)2(2z4)3z(z21)(z2)3(z3)24）函数f(z) 在扩充复平面上有什么类型的奇点？如果有(sinz)3极点，请指出它的级.解： （1）z(z21)(z2)3(z解： （1）f(z) 的奇点为zk,k(sinz)3zk,k0,,2,3,为（sinz3

0的三级零点，z为f(z)z是f(z)的可去奇点，

3为f(z)的一级极点，2,3,4，为f(z)的三级极点；为f(z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。四.将函数f(z) 1 在以下区域内展开成罗朗级数；z2(z（1）0z11（2）0z1（3）1z1）当0z11f(z) 1 1 [ 1 z2(z(z(z1而 [ 而 (z1

[n0

(1)n(z (1)nn(zn0f(z) (1)n

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