向量的直角坐标运算课件

2.2.2向量的正交分解与

向量的直角坐标运算2.2.2向量的正交分解与

向量的直角坐标运算11.向量的直角坐标1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直;2.如果两个基向量e1、e2互相垂直，则称{e1，e2}为正交基底3.若向量e1、e2为单位正交基底,且则称(x，y)为向量a的坐标.1.向量的直角坐标1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个2在坐标平面xOy内，任做一向量a，由平面向量基本定理可知，存在唯一有序实数对(a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2，(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐标，即a=(a1,a2).在坐标平面xOy内，任做一向量a，由平面向量基本定理30=(0,0)，e1=(1,0)，e2=(0,1).设向量a=(a1,a2)，a的方向相对于x轴正方向的转角为θ，由三角函数定义知a1=|a|cosθ,a2=|a|sinθ0=(0,0)，e1=(1,0)，e2=(0,1).4例1.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标。例1.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图52.向量的直角坐标运算设a=(a1,a2),b=(b1,b2),求a+b的值。a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2，即a+b=(a1+b1，a2+b2).用同样的方法可以证明a－b=(a1－b1，a2－b2),λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2）

2.向量的直角坐标运算设a=(a1,a2),b=(b1,6说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。说明：7例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量的坐标.解：=(x2,y2)－(x1,y1)=(x2－x1，y2－y1)。说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量8例3.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求线段AB中点的坐标。解：设M(x,y)是线段AB的中点，则例3得到的公式，叫做线段中点的坐标公式，简称中点公式。例3.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1),B(9例4.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2),B(－2，4)，求向量的方向和长度.解：=(3,2)+(－2，4)=(1,6).α=arctan6例4.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2),B(－2，10例5.已知□ABCD的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3,4)，求顶点D的坐标。解：=(－2,1)+(3,4)－(－1,3)=(2,2)所以D点的坐标是(2,2).例5.已知□ABCD的三个顶点A(－2,1)、B(－1,11例6.已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中点M和三等分点坐标P，Q的坐标.解：(1)求中点M的坐标，利用例3得到的公式可知M(－，2)(2)因为=(1，3)－(－2，1)=(3，2)例6.已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中点M和12向量的直角坐标运算课件13练习1.设向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c=(－1,－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为

.解：4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0,所以d=－6a－4b+4c=(－2,－6).练习1.设向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c142.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量,设起始P(－10,10),则5秒钟后点P的坐标为().解：5秒种后，P点坐标为(－10,10)+5(4,－3)=(10,－5).2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量解：5秒种后，P点153.设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足(1)λ为何值时,点P在直线y=x上?(2)设点P在第三象限,求λ的范围.解:(1)设P(x,y)，则(x－2,y－3)=(3,1)+λ(5,7),所以x=5λ+5，y=7λ+4.解得λ=(2)由已知5λ+5<0,7λ+4<0,所以λ<－1.3.设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足16向量的直角坐标运算课件172.2.2向量的正交分解与

向量的直角坐标运算2.2.2向量的正交分解与

向量的直角坐标运算181.向量的直角坐标1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直;2.如果两个基向量e1、e2互相垂直，则称{e1，e2}为正交基底3.若向量e1、e2为单位正交基底,且则称(x，y)为向量a的坐标.1.向量的直角坐标1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个19在坐标平面xOy内，任做一向量a，由平面向量基本定理可知，存在唯一有序实数对(a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2，(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐标，即a=(a1,a2).在坐标平面xOy内，任做一向量a，由平面向量基本定理200=(0,0)，e1=(1,0)，e2=(0,1).设向量a=(a1,a2)，a的方向相对于x轴正方向的转角为θ，由三角函数定义知a1=|a|cosθ,a2=|a|sinθ0=(0,0)，e1=(1,0)，e2=(0,1).21例1.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标。例1.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图222.向量的直角坐标运算设a=(a1,a2),b=(b1,b2),求a+b的值。a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2，即a+b=(a1+b1，a2+b2).用同样的方法可以证明a－b=(a1－b1，a2－b2),λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2）

2.向量的直角坐标运算设a=(a1,a2),b=(b1,23说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。说明：24例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量的坐标.解：=(x2,y2)－(x1,y1)=(x2－x1，y2－y1)。说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量25例3.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求线段AB中点的坐标。解：设M(x,y)是线段AB的中点，则例3得到的公式，叫做线段中点的坐标公式，简称中点公式。例3.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1),B(26例4.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2),B(－2，4)，求向量的方向和长度.解：=(3,2)+(－2，4)=(1,6).α=arctan6例4.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2),B(－2，27例5.已知□ABCD的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3,4)，求顶点D的坐标。解：=(－2,1)+(3,4)－(－1,3)=(2,2)所以D点的坐标是(2,2).例5.已知□ABCD的三个顶点A(－2,1)、B(－1,28例6.已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中点M和三等分点坐标P，Q的坐标.解：(1)求中点M的坐标，利用例3得到的公式可知M(－，2)(2)因为=(1，3)－(－2，1)=(3，2)例6.已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中点M和29向量的直角坐标运算课件30练习1.设向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c=(－1,－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为

.解：4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0,所以d=－6a－4b+4c=(－2,－6).练习1.设向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c312.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量,设起始P(－10,10),则5秒钟后点P的坐标为().解：5秒种后，P点坐标为(－10,10)+5(4,－3)=(10,－5).2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量解：5秒种后，P点3