初中数学北师大八年级上册勾股定理-§利用图形面积关系探索验证勾股定理PPT

1、体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的是直角三角形的三边之间的数量关系；2、理解勾股定理及其验证方法；3、能应用勾股定理解决一些实际问题.学习目标如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长钢索？第一环节：情景激趣导入

你们能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？aABCbc∟第二环节：提出问题1、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.根据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们已经知道：如果勾是三，股是四，弦就是五，我国称此结论为勾股定理.第三环节：指导学法2、分别以3cm、4cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证直角三角形三边长度的平方存在什么关系？3、分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证直角三角形三边长度的平方存在什么关系？4、利用图形面积关系探索验证勾股定理。第三环节：指导学法1、以3cm、4cm为直角边作直角三角形结论：第四环节：自主学习（探索勾股定理）2、以5cm、12cm为直角边作直角三角形

结论：归纳结论：通过画直角三角形和度量三边长度发现：直角三角形两直角边的

等于斜边的

平方和平方观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.

A的面积B的面积C的面积左图右图16？怎样计算正方形C的面积呢？9

1

9

第五环节：合作交流（一）（探索勾股定理）“割”“补”方法一：方法二：分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.怎样计算正方形C的面积呢？A的面积B的面积C的面积左图右图16

9

1

9

观察上边两图并填写下表(每个小正方形的面积为单位1)25

10

第五环节：合作交流（一）（探索勾股定理）分析表中数据，你发现了什么？A的面积B的面积C的面积左图16925右图1910结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的

，等于以斜边为边长的正方形的

.第五环节：合作交流（一）（探索勾股定理）和面积

你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示图中正方形的面积关系吗？

abcabcSA+SB=SCa2+b2=c2第五环节：合作交流（一）（探索勾股定理）▼几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.或a2=c2－b2，b2=c2－a2aABCbc∟定理揭示了直角三角形三边之间的关系.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．勾股定理在西方，又称毕达哥拉斯定理！aaaabbbbcccc方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．

（二）验证勾股定理：验证方法一：毕达哥拉斯证法大正方形的面积可以表示为

;也可以表示为.(a+b)2c2+4•

ab∵(a+b)2=

c2+4•

ab

a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2bcabcaABCD如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得化简,得

验证方法二：美国总统证法cabcab

验证方法三：赵爽弦图cabc大正方形的面积可以表示为

;也可以表示为.∵

c2=4•

ab+(b-a)2

=2ab+b2-2ab+a2

=a2+b2∴a2+b2=c2c24•

ab+(b-a)21、如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长钢索？

（三）运用勾股定理：1、解决课前问题：2.如图，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.3cm本节课你学到了什么知识？第六环节：（一）总结评价1、勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c

，那么

2、勾股定理的验证。3、勾股定理的应用。

第六环节：（二）【课后检测评价】3、

如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.4、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是________________cm2．5．如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离为__________m．6.已知∠

ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.ADBC34解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC+BC=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.7.

在北京召开的第24届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a＋b)2的值为

解析提示：根据图形面积的和差关系，4个直角三角形的面积＝大正方形面积－小正方形面积＝

，可知

×

ab＝

，即2ab＝

，由勾股定理得a2＋b2＝

，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋