2023课标版数学高考第二轮复习-综合测试卷（一）

2023课标版数学高考第二轮复习综合测试卷（一）（满分150分，时间120分钟）一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）.（2022山东烟台、德州一模,2）若复数z满足（l+2i）z=4+3i,则2=（）A.-2+i B.-2-iC.2+i D.2-i答案C由（1+2口2=4+31=2=震=能鬻条=27,所以5=2+3故选。（2022河北4月全过程纵向评价,2）设集合A={x|x2+x-6<0},B={0,1,2,3},则ACB=（）A.{0} B.{0,1}C.{1,2} D.{2,3}答案B由x2+x-6<0,可得-3々<2,则人=以|-3«〈2},又6={0,1,2,3},所以人08={0以},故选8.（2022天津部分区一模,3）一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分（如图），只记得样本中数据在［20,60）内的频率为0.8,则估计样本在［40,60）内的数据个数为（）分组[10,20)[20,30)[30,40)/频数345；A.13 B.14 C.15 D.18答案C由题意得,样本数据在［20,60）内的频数为30X0.8=24,.•.样本在［40,60）内的数据个数为24-4-5=15.故选C.（2022河北衡水中学六调,5）在正方体ABCD-ABCD中,过点D作直线1与异面直线AC和BC,所成的角均为9,则0的最小值为（）A.15° B.30° C.45° D.60°

答案B如图,因为AC〃A£，所以NBCA（或其补角）为异面直线AC和BC所成的角.因为AC=B3=AlB,所以△ABC是等边三角形,所以NBCA=60。，过点B作直线1的平行线1',则当1'与NBCA的平分线平行时，9取得最小值,为30°.（2022内蒙古通辽4月模拟,6）若函数f（x）=（k-l）a'-ax（a>0且aW1）在R上既是奇函数,又是减函数,则g（x）=log.|x+k的大致图象是（）

答案B因为函数f(x)=(k-l)a-ax(a>0且aW1)在R上是奇函数,所以f(0)=0,所以k=2,又因为f(x)为减函数，所以0<a<l,则g(x)=log„|x+21(0<a<l).由g(-4-x)=loga|-4-x+2|=log„x+2|=g(x),可知g(x)的图象关于直线x=-2对称,排除C,D;又g(0)=log.|0+2|=log„2<0,排除A.故选B.(2022江西上饶六校二模,5)已知aeg,n),sina=/则cos(n-0=()>fTO nV10 k 3V10 n3710- d. L. D. 10 10 10 10答案A由awe，it),sina=),得cosa= 一sin2a=—Jl一(|)=一3,•.弓<a<兀,二：<(2022安徽鼎尖联盟4月联考,10)如图,四棱锥P-ABCD中,PAL平面ABCD,PA=2,AD〃BC,BC=2AD=2AB=2CD=4,则四棱锥P-ABCD外接球的半径为( )A.V3B.2C.V5A.V3B.2C.V5答案C在等腰梯形ABCD中，易得NABC=NDCB=60°,取BC的中点E,连接EA、ED,••.EA=EB=EC=ED=2,...梯形ABCD内接于以E为圆心,2为半径的圆,二四棱锥P-ABCD外接球半径口也+仔)2=故选C.(20225•3改编题)魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率n约为篙,是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破.若已知1T的近似值还可以表示为4sin52。,则嘿等的值为()B.-JC.8D.-88B.-JC.8D.-88答案B由题意得l-2cos27°nV16—it2 -cosl4°4sin520716-16sin252o：-cos14°_-cosl4°8sinl04°―8sin(900+14cosl4°__1

8cos14°选B.(2022江西萍乡二模,10)已知函数f(x)4卜?了>0则 ⑹-掷所有零点之和为()A.空口 C.2 D.02 2答案Dx20时，由(x-l)《=0得x=l±¥，x<0时，由［x+1舄=0得x=-；或x=-|,所以四个零点之和为1 +1--y——1=0.故选D.(2022湖北黄冈薪春实验高级中学一模,7)已知M为椭圆C：W+y2=l(a>l)上一动点,点N(0,3),F„F2分别为椭圆的左、右焦点,若MN田MF,|的最大值恰好等于椭圆的焦距与长轴长之和,则椭圆的离心率为答案C由题意可知,氏(-30),阵(0,0),由椭圆定义可得用"+加邑|=22,于是|MN|+|MF,|=2a+|MN|-|MF2|.V|MN|-|MF2||NF2|,.，.(|MiV|-|MF2|)max=|NF2|.此时,点M在第四象限，且M,N,F2三点共线,二(|MN|+|MFl|)max=2a+|NF2|,v|NF2|=Vc2+9,:.2a+Vc2+9=2c+2a,二c=百,由a2=b2+c2及b2=1,解得a=2,故椭圆的离心率e=-=v-a2故选c.(2022河北一模,7)将函数f(x)=sin2x+V3cos2x的图象向右平移?个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一个单调递增区间为()

答案Af(x)=sin2x+V3cos2x=2sin(2%+1)，将f(x)的图象向右平舵个单位长度后，得到f(x-2)=2sin[2(吟)+翡2sin2x的图象，.*.g(x)=2sin2x.令-1+2kn<2x<”2kn,k^Z,得-；4-kn<x<7+kn,k^Z,4 4.•・函数g(x)的一个单调递增区间为[-：,胃故选a.(2022湖北九师联盟3月质检，12)已知a-l=lna,b-e=ln-,c-n=In£，其中a,b,cG(0,+8)且e irbWe,cWn$(j()A.a<c<b B.c<a<bC.a<b<c D.c<b<a答案D由题意可知,aT=lna-ln1,b-e=lnb-lne,c-n=lnc-ln兀，所以a-lna=l-ln1,b-lnb=e-lne,c-lnc=n-Inn.令f(x)=x-lnx(x>0),则f(a)=f(l),f(b)=f(e),f(c)=f(n).又f'(x)=K=4,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，画出f(x)的大致图象,如图所示.因为1<e〈n,所以f(1)<f(e)<f(n),所以f(a)<f(b)<f(c),又bWe,cWn,所以结合图象可知c<b<a.故选I).二、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分.)(2022丰台一模，12)已知向量a=(-2,3),b=(x,-6).若a〃b,则x=.答案4解析Va=(-2,3),b=(x,-6),fia/7b,/.-2X(-6)=3x,解得x=4.解析(2022北京市陈经纶中学开学考试,12)抛掷红、黄两颗骰子,当红色骰子的点数为4或6时,两颗骰子的点数之积大于20的概率是.林室1口木3解析抛掷红、黄两颗骰子,当红色骰子的点数为4或6时有(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)(第一个数字代表红色骰子的点数,第二个数字代表黄色骰子的点数)，共12种等可能的情况,两颗骰子的点数之积大于20的有(4,6),(6,4),(6,5),(6,6),共4种，根据概率公式得，两颗骰子的点数之积大于20的概率P*=g,故答案为(2022哈尔滨九中二模,15)双曲线-9(a>0,b>0),P为双曲线C上的一点,若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1,则双曲线的半焦距c的取值范围是.答案［2,+8)解析 由题意,双曲线C:2-番1,可得其渐近线方程为bx±ay=0,设P(x,y)，可得点P到两条渐近线的距离分别为d.=J^M,d2=粤1yja2+b2^a2+b2因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1.所以@&=等当.野=吟阴=1,y/a2+b2Va2+^2 a2+b2又由马-4=1，可得b2x2-a2y2=a2b2,所以零二1，即£+1)2=前《至誓，即c2<所以c22,当且仅当a=b时等号成立，所以双曲线的半焦距c的取值范围是［2,+8).(2022湖北九师联盟3月质检,15)在4ABC中,D为BC的中点,若AB=4,AC=2,AD=2/,则BC=.答案2注解析 解法一:设BD=x，因为NADB+NADC=180°,所以cosZADB+cosZADC-O,由余弦定理的推论,得嚼等+与然；丁的8-16,x2+8-4即Fr+FT°，所以x=V2,所以BC=2V2.解法二:由D为BC的中点得前=\(AB+AC),所以而2=；(荏2+2而,就+公2),即8=；(16+2x4x2xcoszBAC+4),4 4Q所以coszBAC=所以BC2=AB2+AC-2AB•ACcosZBAC=16+4-2X4X2X9=8,4所以BC=2V2.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，第22、23题为选考题.)(一)必考题:共60分.(12分)(2022四川达州二模，17)已知数列⑸｝满足5=1,4+产4+2,$“为瓜｝的前n项和.⑴求区｝的通项公式；⑵设b„=(-l)nS„,求数列｛②的前100项和Tm解析 (1)因为Hn+1=Hn+2,所以a”「m=2,又a,=l,所以数列a｝是首项为1,公差为2的等差数列,所以a„=l+(n-l)X2=2n-1.⑵由⑴知S“凶罗工n；因为b„=(-l)nSn=(-l)nn2,所以T1oo=-12+22-32+42+--992+1002=(2-1)(1+2)+(4-3)(3+4)+-+(100-99)(99+100)=l+2+3+4+-+100-100x(^00+1)=5050.（12分）（2022天津市实验中学统练,17）如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中AD/7BC,AD=3,AB=BC=2,PA_L平面ABCD,且PA=3,点M在PD上，点N为BC中点.⑴证明:DM-2MP时,直线MN//平面PAB;（2）求二面角C-PD-N的正弦值；⑶是否存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为*?若存在,求出器的值;若不存在,说明理由.HNC解析 （1）证明:在线段AD上取一点Q,使AQ=gAD=1,连接MQ,NQ,VDM-2MP,/.QM/ZAP,又N为BC中点,AB=BC=2,AAQ=BN,又AQ〃BN,二四边形ABNQ为平行四边形，/.NQ/7AB,又NQCMQ=Q,ABnAP=A,二平面MNQ//平面PAB,VMNc平面MNQ,；.MN〃平面PAB.⑵如图所示,以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B⑵0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),P(0,0,3),N(2,1,0),.,.丽=(0,3,-3),CD=(-2,1,0),~DN=(2,-2,0),设平面PCD的法向量为m=(xi,yi,zj,

PD.ni=3yi-3Z1=0,令xf则—2),CD,%=-2xi+y1=0,设平面PND的法向量为n2=(xz,y2,z2),cos<ni,rh>=«i,n2cos<ni,rh>=«i,n2则二面角C-PD-N的正弦值为在V,⑶存在意=!或黑1.理由如下:假设存在点M,设黑:入，即PM二入PD,入£[0,1],则丽=(0,3X,-3X),可得M(0,3入，3-3人)，.♦.MN=(2,1-3X,3X-3),设NM与平面PCD所成角为9,24-2(1-32)4-2(3/1-3)V2T:24-2(1-32)4-2(3/1-3)V2T:Vl2+22+22•V22+(l-3A)2+(3A-3)2解得人胃或入二1,故存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为,，此时黑=:或霁=L6PD3PD(12分)(2022顺义一模,18)某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、B两种农产品供选择,每人只购其中一种.大家约定:每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2,购买农产品A,若掷出点数大于2,则购买农产品B.(1)求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率;(2)用自,Q分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数,记X=&n,求随机变量X的分布列与数学期望E(X).解析 (1)由题可知购买农产品A的概率为g，购买农产品B的概率为设事件C为4人中恰有1人购买农产品A,依题可知,4人购买哪种农产品相互独立,互不影响，所以p(c)=&G)鼠目=春(2)由题意知，&可取0,1,2,3,4,n可取0,1,2,3,4,当&=0时，n=4,表示4个人全部购买农产品B,概率F(9°X(1)4喑当g=1时，n=3,表示4个人中恰有1人购买农产品A,由⑴知概率P产需.O12 2当&=2时,n=2,表示4个人中恰有2人购买农产品A,概率x(|)=g.当g=3时，n=1,表示4个人中恰有3人购买农产品A,概率P..=C1(/X(|7=卷当g=4时，n=0,表示4个人全部购买农产品A,概率p5=c：g)4xg)°=所以由x=&n可知,X的可能取值为0,3,4,当x=0时,对应的概率P=Pi+Ps=S，ol当X=3时,对应的概率P=Pz+P,嗡O1当X=4时,对应的概率P=Pf^,ol所以随机变量X的分布列为X034P174024818181所以数学期望E(X)=0X^+3X,+4x1=*Ol Ol OlO(12分)(2022长沙长郡中学一模,21)已知抛物线「：y?=2px(p>0)和圆C:a-2尸+/=4,点P是「上的动点,当直线0P的斜率为1时,AP0C的面积为4.(1)求抛物线r的方程；⑵若M、N是y轴上的动点,且圆C是APNIN的内切圆,求△PMN面积的最小值.解析⑴当直线0P的斜率为1时,直线0P的方程为y=x,联立得P(2p，2p)，由S△POC=等4,解得p=2,，抛物线r的方程为yMx.⑵设P(x0,y。)，M(0,m),N(0,n),由题意知x0>4,贝！J直线PM:y^x+m,即(y0-m)x-xoy+mxo=O....直线PM与圆C相切，..I2(yo-m)+mz0|V(yo-m)2+(-xo)2:.4(y(rm)2+m2XQ+4mxo(yo-m)=4(yo-m)2+4%q,即(xo-4)m2+4yom-4xo=0,同理得(x0-4)n2+4yon-4xo=O.，mxn是方程(xo-4)x2+4yox-4xo=O的两个根，/.m+n=^7,mn=^7,且△=16yo+16x0(x0-4)=16xq>0恒成立,a|m—n|=J(m+n)2-4mn=-^7,Xq-4 Xq-4 " Xq-4:.SAPMN=1|m-n|-xO=头=2(x()-4+言+8)232,当且仅当xo=8时取等号,则△PMN面积的最小值为32.(12分)(2022通州一模,19)已知函数f(x)=lnx+paGR.⑴当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f⑴)处的切线方程；⑵若函数f(x)的最小值是2,求a的值；⑶设t为常数,求函数g(x)型芈的单调区间.解析(1)当a=0时，f(x)=lnx,f(l)=ln1=0.所以f'(x)1,f'(1)=1.所以曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为y=x-l.X(2)函数f(x)=Inx+?的定义域为(0,+8),f，(外二_《=写.①当aWO时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,+8)上单调递增,无最小值.②当a>0时，令f'(x)<0,得0<x<a;令f'(x)>0,得x>a.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+8)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(a)=l+lna.

所以1+lna=2,解得a=e.⑶函数g（x）的定义域为（0,t）U（t,+8）,,,、l-lnx+lntg（x）一宣•由⑵②知，当t〉o时，若xWt,则Inx+,l+lnt.,、1---lnx4-lnt所以g（X）「；x0〈0,所以g（x）=与产的减区间为（0,t）,（t,+8）,无增区间.（二）选考题:共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）（2022江西上饶六校二模,22）在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的