2022-2023学年山西省大同市高三上学期11月第二次学情调研数学试题（解析版）

大同市2022-2023学年高三上学期11月第二次学情调研数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则等于（）A． B． C． D．2．已知复数z满足（i为虚数单位），是z的共轭复数，则等于（）A． B． C． D．3．已知空间中的两个不同的平面，，直线m⊥平面，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．记为等比数列的前n项和．若，，则等于（）A．7 B．8 C．9 D．105．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则等于（）A． B． C． D．6．已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（）A． B． C． D．7．若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．若，其中，，则（）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知向量，，则（）A．若与垂直，则 B．若，则C．若，则 D．若，则与的夹角为10．设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（）A．的最小值为3 B．mn的最大值为1C．的最小值为2 D．的最小值为211．设是等差数列，是其前n项的和，且，，则下列结论正确的是（）A． B．与是的最大值 C． D．12．如图，在直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点）则（）A．存在点P，使得B．的最小值为C．的面积最小值为D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．______．14．函数在区间上单调递增，则实数a的取值可以为_____．15．如图，已知的外接圆为元O，AB为直径，PA垂直圆O所在的平面，且，过点A作平面，分别交PB，PC于点M，N，则三棱锥外接球的体积为______．16．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（IssacNewton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“做切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值，．若，取作为r的初始近似值，则的正根的二次近似值为______．若，，设，，数列的前n项积为．若任意，恒成立，则整数的最小值为______．四、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数．（1）求的最小正周期及单调地增区间；（2）求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值．18．（12分）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，，______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）已知等比数列的前n项和为，且，数列满足，，其中．（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列前n项和．20．（12分）房同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x（单位：万元），需再投入流动成本C（x）（单位：万元），当年产量小于9万件时，，当年产量不小于9万件时，．已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完．（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取）21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且平面EBC与平面BCD的夹角为45°，求三棱锥的体积．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处的切线方程为，且对于任意实数，存在正实数，，使得，求的最小正整数值．大同市20233届高三第二次学情调研测试数学答案1．D[由题意得，，故．]2．A[由得，，∴，∴．]3．B[两个不同的平面，，直线m⊥平面，当时，或，充分性不成立；当时，，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件．]4．C[∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列，∴，，∴，∴．]5．B[由题意知，由，可得，所以]．6．C[由得，设切点坐标为，∴切线的斜率，则切线方程为，∵切线过原点，∴，解得，即切点的横坐标为.]7．D[当时，，∵函数在区间上单调递减，∴，即解得，令，则，即，又函数在区间上存在零点，由，可得当且仅当时，存在，使得，解得．综上，的取值范围是．]8．D[由，得，，（*）令，则，令，得，则函数在上单调递增，所以，由于，即，则，由（*）式可得，从而．设函数，则．令，得，则函数在上单调递增，又，，所以，由，可得，则，所以．]9．ABD[因为，，对于A，若与垂直，则，解得，故A正确；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，若，则，解得，故C错误；对于D，若，则，设与的夹角为，则，因为，所以，故D正确．]10．ABD[因为m，n为正实数，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值3，故A正确；因为，当且仅当时取等号，此时mn取得最大值1，故B正确；因为，当且仅当时取等号，此时取得最大值2，故C错误；因为，当且仅当时取等号，此时取得最小值2，故D正确．]11．ABD[对于A，D，由，得，即，由，得，即，因为，所以，故A正确，D正确；对于B，由是等差数列，可设，由A可知，是单调递减的数列，易知当，时，，由，得，当，时，，故和是的最大值，故B正确；对于C，，则，故C错误．]12．ACD[由题意得，，即，又在直三棱柱中，底面ABC，平面ABC，平面ABC，∴，，则以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，所以，，，，，，设，则，，设（），则，解得，，，所以，对于A选项，，，要使，则，解得，当，即P是的中点时，，故A选项正确；对于B选项，将和沿展开，如图所示，连接AB交于点T，可知，当点P与点T重合时取得最小值AB，由题意得，，，，，所以，，，，则，在中，由余弦定理得，则，所以的最小值为，故B选项错误；对于C选项，，，设，则，即，所以，则，因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确；对于D选项，，故D选项正确．]13．1解析．14．（答案不唯一）解析因为正切函数的单调地增区间为，，又函数在区间上单调递增，所以，故可以取（答案不唯一）．15．解析∵平面ABC，AB，平面ABC，∴，；∵PB⊥平面AMN，AM，平面AMN，∴，又，则M为PB的中点，∴；∴AB为圆O的直径，∴，又，PA，平面PAC，∴平面PAC，又平面PAC，∴，∵，PB，平面PBC，∴平面PBC，∵平面PBC，∴，∴外接圆半径，∴三棱锥外接球半径，∴三棱锥外接球体积．16． 2解析，，当时，，．，，则，∴，∴，∵，，∴，即，∵为整数，∴．17．解（1）因为，所以的最小正周期，令，，得，，所以的单调递增区间是，．（2）由（1）知，因为，所以，所以，，所以当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值2．18．解因为，由余弦定理，可得，由，得，又，所以．选①：由正弦定理得，代入得，又，得A是一个小于C的锐角，故，此时三角形存在，所以．选②：由得，代入得，则当时，A是一个大于C的锐角，此时三角形存在，所以，当时，A是一个钝角，此时三角形存在，所以．19．解（1）设等比数列的公比为q，由，得，所以，即，故，当时，，故，故数列的通项公式为；由得，故，，，…，，，以上个式子相乘得，，故，验证也符合上式，所以．（2）由，结合（1）可得，所以，，两式相减得，所以，故．20．解（1）因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．依据题意得，当时，，当时，，所以．（2）当时，，因为（当且仅当，即时取等号），所以，即当时，取得最大值为（万元）当时，，∴，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得最大值为（万元）∵，∴当时，的最大值为7万元．∴当年产量约为20万件时，房同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元．21．（1）证明因为，O是BD的中点，所以，因为平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，且平面平面，所以平面BCD．因为平面BCD，所以．（2）解方法一如图所示以O为坐标原点，OA为z轴，OD为y轴，垂直于OD且过点O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，则，所以，，设为平面EBC的法向量，则由得令，则．易知平面BCD的一个发向量为，设平面EBC与平面BCD的夹角为，则，解得．又点C到平面ABD的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．方法二如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连接EF，则．因为OA⊥平面BCD，所以EG⊥平面BCD，则即为平面EBC与平面BCD的夹角，因为，所以，由已知得，故，所以，由余弦定理得，因为，，所以，则，．所以三棱锥的体积为．22．解（1）函数的定义域为