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文档简介

1.说题目2.说背景3.说方法4.说变式5.说总结6.说拓展·C

本题系人教版八年级上册轴对称单元的“课题学习”中将军饮马问题抽象出来的一道关于最短路径的问题，本题所运用到的“两点之间线段最短”的公理及对称变换都是在初中数学中占有重要位置的知识点，其题型变化多样，多与人们的生活紧密联系，在每年各地的中考中都占有一席之地。·C原题再现点A、B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？在解决这个问题之前，我们先从学生所熟知的“两点之间线段最短”这一知识点出发。mA●B●P●P1●P2由“两点之间，线段最短”可知，图中路径APB才是从点A到点B的所有路径中最短的。●P●mA●B●A1（同时到达）▲再通过下图的演示进一步让学生感知，关于直线m对称的点A1与点A经过直线上任意点P后到达B地的距离是相同的，为解决原题铺平道路。

作法：（1）作点A关于直线l的对称点A′；（2）连接A′B，与直线l相交于点C．则点C即为所求．如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，A′C′．∴

AC+BC=A′C+BC=A′

B

，

AC′+BC′=A′C′+BC′．由轴对称的性质知，

AC=A′C，AC′=A′C′．

由“两点之间线段最短”可知：

A′

B＜A′C′+BC′

，

l·A′B··CA·证明：·C′∴

AC+BC＜AC′+BC′．

即AC+BC最短．这样很自然的联想到了原题的作法：BCPQ

[变式1]如图，一艘旅游船从大桥AB附近的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．山河岸大桥●MP1MABCPQ●●P1MMQ+MP=QP1两点之间线段最短问题

OMN[变式2]

已知如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上分别取一点B和C，使组成的三角形ABC的周长最小.作法：分别作点A关于OM，ON的对称点A1，A2；连接A1，A2

，分别交OM，ON于点B、点C，顺次连接点A、B、C，则三角形ABC即为所求A1●A2●B

●C

●AB+BC+CA=A1A2

两点之间线段最短问题●AB1A2A1ABQPM

[变式3]利用“两点之间，线段最短”解决物理光路图问题。L1L2L3如图，从点光源A发出的一束光经过平面镜L1、L2、L3反射后到达光屏B上，请画出这束光经过的路线。AM+MP+PQ+QB=A2B1

两点之间线段最短问题方法小结利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．最短路径问题A●●A●B●B知识拓展造桥选址问题河流A●●BA●A1PQ知识拓展造桥选址问题AQ+PB=A1B两点之间线段最短问题●●●河流1河流2●●BAA1A2PQMN知识拓展河流1造桥选址问题AN+MQ+PB=A2B两点之间线段最短问题河流2造桥问题中的路径最短，就是要通过平移变换，使除桥长以外的其

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