人教版《相似三角形的判定》精美课件

第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第一课时平行线分线段成比例第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第一、情景导入1．相似多边形的对应角______，对应边________，对应边的比叫做__________．2．如图，△ABC和△A′B′C′相似需要满足什么条件？相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”．ABCA′B′C′相等成比例相似比一、情景导入1．相似多边形的对应角______，对应边___二、探究新知1．平行线分线段成比例(基本事实)如图①，小方格的边长都是1，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3．A1A2A3B1B2B3mnabc图①二、探究新知1．平行线分线段成比例(基本事实)A1A2A3B二、探究新知(1)计算你有什么发现？A1A2A3B1B2B3mnabc图①二、探究新知(1)计算有一个锐角相等的两个直角三角形相似．∵AB∶BC＝BD∶AB＝AD∶AC，2．证明三角形全等有哪些方法？(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:CD＝AB∶AC，即∶＝AB∶，解得AB＝4．如图，△ABC的高AD，BE交于点F．同理∠C＝_______，∴∠EDA＝90°．4．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为_______时，△ADP和△ABC相似．∴∠CAE＝20°．想一想：1．如何理解“对应线段”？∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD＝90°．∴解得x＝∴菱形的边长为cm．问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？即∠BAD＝∠CAE．改变k和∠A的值的大小，是否有同样的结论？同理∠C＝_______，5．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝21cm．∵AB∶CD＝BC∶DE＝AC∶AE，例3如图，在△ABC和△ADE中，∴△ABC∽△A′B′C′．二、探究新知(2)将b向下平移到如图②的位置，直线m，n与直线b的交点分别为A2，B2．你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将b平移到其他位置呢？A1A2A3B1B2B3mnabc图②有一个锐角相等的两个直角三角形相似．二、探究新知(2)将b二、探究新知(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？A1A2A3B1B2B3mnabc图②二、探究新知(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线二、探究新知归纳：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．符号语言：若a∥b∥c

，则A1A2A3B1B2B3bc二、探究新知归纳：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实二、探究新知想一想：

1．如何理解“对应线段”？2．“对应线段”成比例都有哪些表达形式？二、探究新知想一想：1．如何理解“对应线段”？二、探究新知2．平行线分线段成比例定理的推论如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线n向左或向右任意平移，这些线段依然成比例．A1A2A3B1B2B3bcmna二、探究新知2．平行线分线段成比例定理的推论A1A2A3B1二、探究新知直线n向左平移到B1与A1重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A1A2A3bcmB1B2B3naA1(B1)A2A3B2B3(B1)二、探究新知A1A2A3bcmB1B2B3naA1(B1)A二、探究新知归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3二、探究新知A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3二、探究新知例1如图，在△ABC中，EF∥BC．(1)如果E、F分别是AB和AC上的点，AE＝BE＝7，FC＝4，那么AF的长是多少？(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？ABCEF二、探究新知例1如图，在△ABC中，EF∥BC．AB二、探究新知解：(1)∵∴解得AF＝4．二、探究新知解：(1)∵二、探究新知(2)∵∴解得AC＝∴FC＝AC－AF＝二、探究新知(2)∵二、探究新知3．相似三角形的引理

如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E．问题1△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2

分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？BCADE二、探究新知3．相似三角形的引理BCADE二、探究新知问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立．BCADE二、探究新知问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么二、探究新知想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？

由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？BCADE二、探究新知想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽二、探究新知由前面的结论可得需要证明的是

而除DE外，其他的线段都在△ABC的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？可以将DE平移到BC边上去．BCADE二、探究新知由前面的结论可得二、探究新知用相似的定义证明△ADE∽△ABC．证明：在△ADE与△ABC中∠A＝∠A．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．如图，过点D作DF∥AC，交BC于点F．∵DE∥BC，DF∥AC，CABDEF二、探究新知用相似的定义证明△ADE∽△ABC．CABDE二、探究新知∴∵四边形DFCE为平行四边形，∴DE=FC，∴∴△ADE∽△ABC．二、探究新知∴二、探究新知由此我们得到判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．二、探究新知由此我们得到判定三角形相似的定理：二、探究新知三角形相似的两种常见类型：“A”型

“X”型DEABCABCDE二、探究新知三角形相似的两种常见类型：“A”型“X”型D三、课堂小结推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例．相似三角形判定的引理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．平行线分线段成比例三、课堂小结推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延四、课堂训练1．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()．

A．B．C.D.ACEBDFl2l1l3D四、课堂训练1．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中四、课堂训练2．如图，DE∥BC，则_______

；FG∥BC，则_______

．ABCEDFG四、课堂训练2．如图，DE∥BC，四、课堂训练3．已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有_______

对相似三角形．CDABEFO3四、课堂训练3．已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___四、课堂训练4．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝3cm，A′B′＝4cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是_____．4︰3四、课堂训练4．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应四、课堂训练5．如图，在△ABC中，DE∥BC，则△____∽△

____，对应边的比例式为＝

____＝

____．BCADEADEABC四、课堂训练5．如图，在△ABC中，DE∥BC，则△__四、课堂训练6．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是1∶4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1∶5，则△ABC与△A2B2C2的相似比为_______．1∶20四、课堂训练6．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是1∶四、课堂训练7．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求CD的长．解：∵EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，∴△DEF∽△DAB．∴即解得AB＝10．又∵四边形ABCD为□，∴CD＝AB＝10．DACBEF四、课堂训练7．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE∶E四、课堂训练8．如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE＝5cm，AF＝4cm，求菱形的边长．解：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB，∴设菱形的边长为xcm，则CD＝AD＝xcm，DF＝(4－x)cm，∴解得x＝∴菱形的边长为cm．四、课堂训练8．如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，A五、作业教科书第42页习题27.2第4，5题．

五、作业教科书第42页习题27.2第4，5题．第二十七章相似

相似三角形的判定

第二课时三边成比例的两个三角形相似第二十七章相似

相似三角形的判定

第二课时三边成一、情景导入1．什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？2．证明三角形全等有哪些方法？3．类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？ABCDE一、情景导入1．什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪一、情景导入

画△ABC和△A′B′C′，使

动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？ABCC′B′A′一、情景导入画△ABC和△A′B′C′，使二、探究新知通过测量不难发现∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC∽△A′B′C′．下面我们用前面所学得定理证明该结论．ABCC′B′A′二、探究新知通过测量不难发现∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C二、探究新知证明：在线段AB(或延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．

∴又AD＝A′B′，∴C′B′A′BCADE二、探究新知证明：在线段AB(或延长线)上截取AD＝A二、探究新知∴DE＝B′C′，EA＝C′A′．∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC．二、探究新知∴DE＝B′C′，EA＝C′A′．二、探究新知归纳：由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．符号语言：∵∴△ABC∽△A′B′C′．二、探究新知归纳：二、探究新知例1

判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4二、探究新知例1判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由二、探究新知解：在△ABC

中，AB＞BC＞CA，在△DEF中，DE＞

EF＞FD．∵∴∴△ABC∽△DEF．二、探究新知解：在△ABC中，AB＞BC＞CA，在△DEF二、探究新知方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等．注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．二、探究新知方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出二、探究新知例2

如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90º，且求证：△A′B′C′∽△ABC．二、探究新知例2如图，在Rt△ABC与Rt△A′B二、探究新知证明：由已知条件得AB＝2A′B′，AC＝2A′C′，∴BC2＝AB2－AC2＝(2A′B′)2－(2A′C′)2＝4A′B′2－4A′C′2＝4(A′B′2－A′C′2)＝4B′C′2＝(2B′C′)2．∴BC＝2B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC．(三边对应成比例的两个三角形相似)二、探究新知证明：由已知条件得AB＝2A′B′，AC＝2A二、探究新知例3

如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．ABCDE二、探究新知例3如图，在△ABC和△ADE中，二、探究新知解：∵∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC＝∠DAE，∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°．二、探究新知解：∵两角分别相等的两个三角形相似(1)计算你有什么发现？同理∠C＝_______，由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？两边成比例且夹角相等的两个三角形相似2第4，5题．∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E．(1)AB＝3，BC＝4，AC＝6，又AD＝A′B′，解：∵四边形ABCD为菱形，1．回忆我们学习过的判定三角形相似的方法．∴△ABC∽△ADE．∵AB∶BC＝BD∶AB＝AD∶AC，1．什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例．A．1对B．2对∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∴△ABC∽△ADE．∠AFE＝∠BFD(对顶角相等)．∴DE＝B′C′，EA＝C′A′．证明：∵△ABC的高AD，BE交于点F，6．如图，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，求证△ABC∽△AED．二、探究新知例4如图，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由．ABCDE两角分别相等的两个三角形相似二、探究新知例4如图，已知二、探究新知解：在△ABC和△ADE中，∵

AB∶CD＝BC∶DE＝AC∶AE，∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E．∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD．∴∠BAD＝∠CAE．故图中相等的角有∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．二、探究新知解：在△ABC和△ADE中，三、课堂小结三边成比例的两个三角形相似

利用三边判定两个三角形相似相似三角形的判定定理的运用三、课堂小结三边成比例的两个三角形相似利用三边判定两个三角四、课堂训练1．已知△ABC和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似．(1)AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝9；(2)AB＝4，BC＝8，AC＝10，DE＝20，EF＝16，DF＝8；(3)AB＝12，BC＝15，AC＝24，DE＝16，EF＝20，DF＝30．是否否四、课堂训练1．已知△ABC和△DEF，根据下列条件判四、课堂训练2．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是()．

A．①和②

B．②和③C．①和③

D．②和④①②③④C四、课堂训练2．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相四、课堂训练3．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，下列结论正确的是()．A．△PAB∽△PCAB．△PAB∽△PDA

C．△ABC∽△DBAD．△ABC∽△DCA

ACBPDC四、课堂训练3．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝C四、课堂训练解析：设AP＝PB＝BC＝CD＝1，∵∠APD＝90°，∴AB＝

AC＝

AD＝

∵

AB∶BC＝BD∶AB＝AD∶AC，∴△ABC∽△DBA，故选C．四、课堂训练解析：设AP＝PB＝BC＝CD＝1，4．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为_______时，△ADP和△ABC相似．由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：教科书第57页复习题27第1，2，3题．又∵∠DAB＝∠CAE，第二十七章相似

27.6．如图，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，求证△ABC∽△AED．∴△PAC∽△PDB．∴∵AB∶BC＝BD∶AB＝AD∶AC，∴△AED∽△ABC．思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′∶AB＝A′C′∶AC．∠B＝∠B′，这两个三角形一定会相似吗？∴∠ABD＝∠BDC，5．如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？两角分别相等的两个三角形相似．例3如图，在△ABC和△ADE中，用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，量出BC及B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC与△A′B′C′有何关系？相似三角形的判定定理的运用∵∠A＝∠A′，∴想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝21cm．四、课堂训练4．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝21cm．答案：不相似．4．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边四、课堂训练5．如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．四、课堂训练5．如图，△ABC中，点D，E，F分别是四、课堂训练证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴∴∴△ABC∽△EFD．四、课堂训练证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是A四、课堂训练6．如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，DC＝31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由．ACBD2814214231.5四、课堂训练6．如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有四、课堂训练解：公路AB与CD平行．∴∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC．四、课堂训练解：公路AB与CD平行．五、作业教科书第34页练习第2，3题．教科书第42页习题27.2第1，2题．五、作业教科书第34页练习第2，3题．第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第三课时两边成比例且夹角相等的

两个三角形相似第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第一、情景导入1．回忆我们学习过的判定三角形相似的方法．类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？2．类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？一、情景导入1．回忆我们学习过的判定三角形相似的方法．类比证二、探究新知用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，量出BC及B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC与△A′B′C′有何关系？改变k和∠A的值的大小，是否有同样的结论？二、探究新知用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′二、探究新知如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′．证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D＝AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点

E．∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴BACDEB'A'C'二、探究新知如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知二、探究新知∵A′D＝AB，∴∴A′E＝AC．

又∠A′＝∠A．∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC．二、探究新知∵A′D＝AB，二、探究新知归纳：由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′．BACB'A'C'二、探究新知归纳：BACB'A'C'二、探究新知思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′∶AB＝A′C′∶AC．∠B＝∠B′，这两个三角形一定会相似吗？

不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等．

A

B

C

A′

B′

B″

C′二、探究新知思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果二、探究新知结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角．二、探究新知结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不二、探究新知例1根据下列条件，判断△ABC

和△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A＝120°

，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm．解：∵∴又∠A′＝∠A，∴△ABC∽△A′B′C′．二、探究新知例1根据下列条件，判断△ABC和△A′B′二、探究新知例2

如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠DAB＝∠CAE．求证：△ABC∽△ADE．证明：∵△ABC与△ADE是等腰三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∴又∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE．ABCDE二、探究新知例2如图，△ABC与△ADE都是等腰三角二、探究新知例3如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE＝，AC＝2，BC＝3，且求DE的长．ACBED二、探究新知例3如图，D，E分别是△ABC的边AC二、探究新知解：∵AE＝，AC＝2，

∴又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴二、探究新知解：∵AE＝，AC＝2，二、探究新知例4如图，在△ABC

中，CD是边AB上的高，且求证∠ACB＝90°．ABCD二、探究新知例4如图，在△ABC中，CD是边AB二、探究新知证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°．∵∴△ADC∽△CDB．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD＝90°．方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等．二、探究新知证明：∵CD是边AB上的高，三、课堂小结两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似相似三角形的判定定理的运用三、课堂小结两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹四、课堂训练1．判断．(1)两个等边三角形相似．

()(2)两个直角三角形相似．

()(3)两个等腰直角三角形相似．

()(4)有一个角是50°的两个等腰三角形相似．

()×√√×四、课堂训练1．判断．×√√×四、课堂训练2．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是()．

A．AC∶BC＝AD∶BDB．AC∶BC＝AB∶

ADC．AB2＝CD·BCD．AB2＝BD·

BCABCDD四、课堂训练2．如图，D是△ABC一边BC上一点，连四、课堂训练3．如图△AEB和△FEC_______

(填“相似”或“不相似”)．54303645EAFCB相似四、课堂训练3．如图△AEB和△FEC_______(填四、课堂训练4．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为

_______

时，△ADP和△ABC相似．ABCD4或9四、课堂训练4．如图，已知△ABC中，D为边AC上一四、课堂训练解：当△ADP∽△ACB时，AP∶AB＝AD∶AC，∴AP∶12＝6∶8.解得AP＝9；当△ADP∽△ABC时，AD∶AB＝AP∶AC，∴6∶12＝AP∶8，解得AP＝4．∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．ABCDPP四、课堂训练解：当△ADP∽△ACB时，ABCDPP四、课堂训练5．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝，求AD的长．ABCD四、课堂训练5．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝∠四、课堂训练解：∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝

，

∴又∵∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴

∴四、课堂训练解：∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝四、课堂训练6．如图，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，求证△ABC∽△AED．

证明：∵

AB·AD＝AE·AC，∴又∵

∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，∴

△ABC∽△AED．

ABCDE四、课堂训练6．如图，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝A五、作业教科书第42页习题27.2第3题．五、作业教科书第42页习题27.2第3题．第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第四课时两角分别相等的两个三角形相似

第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第四一、情景导入学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同，大小不同的三角纸板若干．小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？？？？一、情景导入学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°二、探究新知与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，探究下列问题：问题一度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？CABA'B'C'二、探究新知与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C二、探究新知问题二试证明△A′B′C′∽△ABC．证明：在△ABC的边AB(或AB的延长线)上，截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC，∠ADE＝∠B．∵∠B＝∠B′，∴∠ADE＝∠B′．又∵

AD＝A′B′，∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′．∴△A′B′C′∽△ABC．CAA'BB'C'DE二、探究新知问题二试证明△A′B′C′∽△ABC．CAA'二、探究新知归纳：由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似．符号语言：∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'．CABA'B'C'二、探究新知归纳：CABA'B'C'二、探究新知例1

如图，△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°．求证：△ABC∽△DEF．证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝60°．∵在△DEF中，∠E＝80°，∠F＝60°．∴∠B＝∠E，∠C＝∠F．∴△ABC∽△DEF．ACBFED二、探究新知例1如图，△ABC和△DEF中，∠A＝4二、探究新知例2如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB＝PC·PD．证明：连接AC，DB．∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，∴∠A＝_______．同理∠C＝_______，∴△PAC∽△PDB．∴__________即PA·PB＝PC·PD．∠D∠BODCBAP二、探究新知例2如图，弦AB和CD相交于⊙O三、课堂小结

两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似相似三角形的判定定理的运用三、课堂小结两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形四、课堂训练1．如图，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠A'＝60°，当∠C'＝_____时，△ABC∽△A'B'C'．80°CABB'C'A'四、课堂训练1．如图，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A四、课堂训练2．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于()．

A．B．

C．

D．ACABDE四、课堂训练2．如图，△ABC中，AE交BC于点D四、课堂训练3．如图，点D在AB上，当∠_______

＝∠_______

(或∠_______

＝∠_______

)时，△ACD∽△ABC．ACD

B

ACBADBABDC四、课堂训练3．如图，点D在AB上，当∠______四、课堂训练4．如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，若PA＝3，PB＝8，PC＝4，则PD＝____．

6ODCBAP四、课堂训练4．如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，四、课堂训练5．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．证明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∵∠A＝∠FEC．∴△ADE∽△EFC．AEFBCD四、课堂训练5．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，五、作业教科书第36页练习第1题．教科书第57页复习题27第1，2，3题．五、作业教科书第36页练习第1题．第二十七章形似

27.2.1相似三角形的判定

第五课时直角三角形相似的判定第二十七章形似

27.2.1相似三角形的判定

第五一、情景导入1．

回忆我们学习过的判定三角形相似的方法．2．类似于判定三角形全等的方法，能不能通过直角边与斜边来判定两个三角形相似呢？一、情景导入1．回忆我们学习过的判定三角形相似的方法．1．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()．(3)AB＝10，AC＝8，A′B′＝25，B′C′＝15：_______．∴∠BAC＝∠DAE．∴△ABC∽△ADE．又AD＝A′B′，∴△ABC∽△DCA，想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，B″要使这两个直角三角形相似，有两种情况：∴∠CAE＝20°．如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′．∴∠ABD＝∠BDC，证明：∵△ABC与△ADE是等腰三角形，∵∠APD＝90°，直线n向左平移到B1与A1重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？6．如图，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，求证△ABC∽△AED．2第4，5题．2．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是()．∴△ABC∽△ADE．解：∵四边形ABCD为菱形，A．B．二、探究新知利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似．符号语言：∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'．CABA'B'C'1．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(二、探究新知归纳：由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．二、探究新知归纳：由此得到一个判定直角三角形相似的方法：二、探究新知思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？二、探究新知思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”二、探究新知证明：设______________＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′B′．由__________

，得∴

∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．CAA'BB'C'勾股定理二、探究新知证明：设______________＝k，则A二、探究新知归纳：由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似．二、探究新知归纳：由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：二、探究新知例1

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长．解：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°．又∠C＝90°，∠A＝∠A，DABCE二、探究新知例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°二、探究新知∴△AED∽△ABC．∴∴二、探究新知∴△AED∽△ABC．二、探究新知例2如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝

，当AB的长为____________时，△ACB与△ADC相似．CABD二、探究新知例2如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，二、探究新知解析：∵∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝

，∴要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC

:AD＝AB∶AC，即∶2＝AB∶

，解得AB＝3；(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC

:CD＝AB∶AC，即∶

＝AB∶

，解得AB＝

∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．二、探究新知解析：∵∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝三、课堂小结

两角分别相等的两个三角形相似相似三角形的判定定理的运用直角三角形相似的判定三、课堂小结两角分别相等的两个三角形相似相似三角形的判定定四、课堂训练1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似．(1)∠A＝35°，∠B′＝55°：_______

；(2)AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8：_______

；(3)AB＝10，AC＝8，A′B′＝25，B′C′＝15：_______

．相似相似相似四、课堂训练1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′四、课堂训练2．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有()．

A．1对B．2对C．3对D．4对C四、课堂训练2．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图四、课堂训练3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D．若AB＝6，AD＝2，则AC＝_______

，BD＝_______

，BC＝_______

．DBCA18四、课堂训练3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°四、课堂训练4．如图，△ABC

的高AD，BE交于点F．求证：DCABEF四、课堂训练4．如图，△ABC的高AD，BE交于点F四、课堂训练证明：∵△ABC的高AD，BE交于点F，∴∠FEA＝∠FDB＝90°，∠AFE＝∠BFD(对顶角相等)．∴△FEA

∽△FDB，∴四、课堂训练证明：∵△ABC的高AD，BE交于点四、课堂训练5．如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE．证明：∵∠BAC＝∠1＋∠DAC，∠DAE＝∠3＋∠DAC，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE．∵∠C＝180°－∠2－∠DOC

，∠E＝180°－∠3－∠AOE，∠DOC

＝∠AOE(对顶角相等)，∴∠C＝∠E．∴△ABC∽△ADE．ABCDE132O四、课堂训练5．如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△四、课堂训练6．如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高，求证：AC·BC＝BE·CD．证明：连接CE，则∠A＝∠E．又∵BE是△ABC的外接圆O的直径，∴∠BCE＝90º＝∠ADC．∵∠A＝∠E，∠BCE＝∠ADC，∴△ACD∽△EBC．∴

∴AC·BC＝BE·CD．ODCBAE四、课堂训练6．如图，BE是△ABC的外接圆O的直五、作业教科书第36页练习第2，3题．五、作业教科书第36页练习第2，3题．第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第一课时平行线分线段成比例第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第一、情景导入1．相似多边形的对应角______，对应边________，对应边的比叫做__________．2．如图，△ABC和△A′B′C′相似需要满足什么条件？相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”．ABCA′B′C′相等成比例相似比一、情景导入1．相似多边形的对应角______，对应边___二、探究新知1．平行线分线段成比例(基本事实)如图①，小方格的边长都是1，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3．A1A2A3B1B2B3mnabc图①二、探究新知1．平行线分线段成比例(基本事实)A1A2A3B二、探究新知(1)计算你有什么发现？A1A2A3B1B2B3mnabc图①二、探究新知(1)计算有一个锐角相等的两个直角三角形相似．∵AB∶BC＝BD∶AB＝AD∶AC，2．证明三角形全等有哪些方法？(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:CD＝AB∶AC，即∶＝AB∶，解得AB＝4．如图，△ABC的高AD，BE交于点F．同理∠C＝_______，∴∠EDA＝90°．4．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为_______时，△ADP和△ABC相似．∴∠CAE＝20°．想一想：1．如何理解“对应线段”？∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD＝90°．∴解得x＝∴菱形的边长为cm．问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？即∠BAD＝∠CAE．改变k和∠A的值的大小，是否有同样的结论？同理∠C＝_______，5．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝21cm．∵AB∶CD＝BC∶DE＝AC∶AE，例3如图，在△ABC和△ADE中，∴△ABC∽△A′B′C′．二、探究新知(2)将b向下平移到如图②的位置，直线m，n与直线b的交点分别为A2，B2．你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将b平移到其他位置呢？A1A2A3B1B2B3mnabc图②有一个锐角相等的两个直角三角形相似．二、探究新知(2)将b二、探究新知(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？A1A2A3B1B2B3mnabc图②二、探究新知(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线二、探究新知归纳：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．符号语言：若a∥b∥c

，则A1A2A3B1B2B3bc二、探究新知归纳：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实二、探究新知想一想：

1．如何理解“对应线段”？2．“对应线段”成比例都有哪些表达形式？二、探究新知想一想：1．如何理解“对应线段”？二、探究新知2．平行线分线段成比例定理的推论如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线n向左或向右任意平移，这些线段依然成比例．A1A2A3B1B2B3bcmna二、探究新知2．平行线分线段成比例定理的推论A1A2A3B1二、探究新知直线n向左平移到B1与A1重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A1A2A3bcmB1B2B3naA1(B1)A2A3B2B3(B1)二、探究新知A1A2A3bcmB1B2B3naA1(B1)A二、探究新知归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3二、探究新知A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3二、探究新知例1如图，在△ABC中，EF∥BC．(1)如果E、F分别是AB和AC上的点，AE＝BE＝7，FC＝4，那么AF的长是多少？(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？ABCEF二、探究新知例1如图，在△ABC中，EF∥BC．AB二、探究新知解：(1)∵∴解得AF＝4．二、探究新知解：(1)∵二、探究新知(2)∵∴解得AC＝∴FC＝AC－AF＝二、探究新知(2)∵二、探究新知3．相似三角形的引理

如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E．问题1△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2

分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？BCADE二、探究新知3．相似三角形的引理BCADE二、探究新知问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立．BCADE二、探究新知问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么二、探究新知想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？

由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？BCADE二、探究新知想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽二、探究新知由前面的结论可得需要证明的是

而除DE外，其他的线段都在△ABC的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？可以将DE平移到BC边上去．BCADE二、探究新知由前面的结论可得二、探究新知用相似的定义证明△ADE∽△ABC．证明：在△ADE与△ABC中∠A＝∠A．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．如图，过点D作DF∥AC，交BC于点F．∵DE∥BC，DF∥AC，CABDEF二、探究新知用相似的定义证明△ADE∽△ABC．CABDE二、探究新知∴∵四边形DFCE为平行四边形，∴DE=FC，∴∴△ADE∽△ABC．二、探究新知∴二、探究新知由此我们得到判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．二、探究新知由此我们得到判定三角形相似的定理：二、探究新知三角形相似的两种常见类型：“A”型

“X”型DEABCABCDE二、探究新知三角形相似的两种常见类型：“A”型“X”型D三、课堂小结推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例．相似三角形判定的引理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．平行线分线段成比例三、课堂小结推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延四、课堂训练1．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()．

A．B．C.D.ACEBDFl2l1l3D四、课堂训练1．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中四、课堂训练2．如图，DE∥BC，则_______

；FG∥BC，则_______

．ABCEDFG四、课堂训练2．如图，DE∥BC，四、课堂训练3．已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有_______

对相似三角形．CDABEFO3四、课堂训练3．已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___四、课堂训练4．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝3cm，A′B′＝4cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是_____．4︰3四、课堂训练4．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应四、课堂训练5．如图，在△ABC中，DE∥BC，则△____∽△

____，对应边的比例式为＝

____＝

____．BCADEADEABC四、课堂训练5．如图，在△ABC中，DE∥BC，则△__四、课堂训练6．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是1∶4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1∶5，则△ABC与△A2B2C2的相似比为_______．1∶20四、课堂训练6．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是1∶四、课堂训练7．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求CD的长．解：∵EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，∴△DEF∽△DAB．∴即解得AB＝10．又∵四边形ABCD为□，∴CD＝AB＝10．DACBEF四、课堂训练7．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE∶E四、课堂训练8．如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE＝5cm，AF＝4cm，求菱形的边长．解：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB，∴设菱形的边长为xcm，则CD＝AD＝xcm，DF＝(4－x)cm，∴解得x＝∴菱形的边长为cm．四、课堂训练8．如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，A五、作业教科书第42页习题27.2第4，5题．

五、作业教科书第42页习题27.2第4，5题．第二十七章相似

相似三角形的判定

第二课时三边成比例的两个三角形相似第二十七章相似

相似三角形的判定

第二课时三边成一、情景导入1．什么是相似三角形？在前面的课程中，我