2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题01玩转指对幂比较大小（解析版）

专题01玩转指对塞比较大小【方法技巧与总结】(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定小b,c的大小.(2)指、对、累大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如az和。右，利用指数函数y=a》的单调性；②指数相同，底数不同，如X：和H利用幕函数y=单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如，。9a/和1。%不利用指数函数logaX单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.(3)转化为两函数图象交点的横坐标(4)特殊值法(5)估算法(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【题型归纳目录】题型一：直接利用单调性题型二：引入媒介值题型三：含变量问题题型四：构造函数题型五：数形结合题型六：特殊值法、估算法题型七：放缩法题型八：不定方程【典例例题】题型一：直接利用单调性例1.(2022•江西•二模(文))已知a=,og^2,b=sin^,c=Q)5-则。，b<c的大小关系是()A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>bD.C.a>c>b【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、三角函数、幕函数的单调性比较大小即可.【详解】a=log&2>log^\/3—1,因为y=sinx在xG0,；）是单调递增函数，所以0Vb=sin]<sin*=因为y=/在%6o,+8）是单调递增函数，所以1>c=gy>（iy=i所以Q:>c>b,故选：C.例2.（2022•陕西西安•一模（理））已知Q=bi5b=bi（/g2）,c=/gQn2）则小4c的大小关系是（）A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>c>a【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质比较大小【详解】先比较a,b,易知Ig2Va故山（国2）V加芯即bVQ又eV10,故x>l时m0<》<1时/％〈句》故05>仇5，而m2>5，故，g（m2）>句5>仇1有C>Q故选：A例3.（2022•河南•许昌高中高三开学考试（文））已知6=1。9及+1（3-2夜），c=-2loa*l>则a,b,c的大小关系为（ ）A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<b D.b<a<c【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算可知b=-2,c=一会再利用对数函数y=，。的》的单调性可比较大小，进而得解.【详解】b=log^+1（3-2V2）=log&+i（0-I）?=2,ogo+i（或-1）=2'ogg+i嵩=-2，，c=-2i0fl44=2l0922=2又y=/og3X为定义域上的增函数，；•一2=log3Ka=所以b<a<c.故选：D题型二：引入媒介值例4.（2022・全国•高三专题练习）若a=log23,b=log34,c=，og45,则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<c B.b<c<aC.h<a<c D.c<h<a【答案】D【解析】根据对数函数的性质uj_得a>l,b>1,O1,然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出a,c的大小关系，a,b分别与中间值;比较，得出a>：>b>l,b,c分别与中间值:比较，得出b>J>c,综合即可选出答案.4 4【详解】解：由题意，log23>log22=1,log34>log33=1»log45>log44=1,即q c>1,vc=log45=log»5=-log25=log25z=log2V5*而。=log23>log2石，所以Q>C>1,__ 3 a,：a=log23>log22V2=-,而b=log34<log53V3=-,即q>3>b>1,又・..[=log33^=log3x/?，b=log34=log3 ,而44>35,则log?>log?,即b>：,S 5 同理，v-=log444=log4v45,c=log45=log4v54»而45>53则log,舛>log4后，BP；>c,综上得：a>|>b>|>c>1»所以c<bva.故选：D.例5.（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））已知实数a,b,c满足。=6之，b=log78+log5649,7〃+24b=25。则a,dc的大小关系是（ ）A.b>a>c B.c>b>aC.b>c>a D.c>a>b【答案】C【解析】【分析】分别求出a,b,c的大致范围，即可比较a,b,c的大小.【详解】由题意得，。=63>6。=1，故2>a>l；b=log?8+logS649=log756-1+2log567=log756+—^―-1,lOy-joo2 7因log756>[09749=2,根据对勾函数得，。9756+而汨>2+3=3,因此b>3-1=2；由勾股数可知72+242=252,又因7〃+24b=25,且b>2,故b>c>2；因此b>c>a.故选：C.例6.（2022•广东茂名•模拟预测）已知a=sin2,b=，n2,c=2q，则小b,c的大小关系是（）A.c<b<a B.a<b<cC.b<a<c D.b<c<a【答案】D【解析】【分析】判断sin2和tn?的大小，比较。与:、6与:、c与:的大小可判断。与〃大小关系及b与c01113 4 4 4大小关系，判断a与3、c与它的大小可判断"与c大小关系，从而可判断a、b、c大小关2 2系.【详解】c、 27rV5、3a=sin2>sinT=T>Z,（el）=e3>24=>64>2=>小/=：>|n2»即b<ja>h\•••a>c>fe.故选：D.【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以]和在两个值作为中间值，比较"、4 2b、C与中间值的大小即可判断4、氏C的大小.例7.（2022•全国•高三专题练习）已知a=3吗，b=log2425,c=log2526,则a,b,c的大小关系为A.a>b>c B.a>c>bC,c>b>a D.b>c>a【答案】D【解析】先由题，易知a=3岛<1，而b=]og2425>1,c=]og2526>1,再将b,c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】因为伍（V0,故q=3崎<1b=log2425>1,c=iOg2s26>1；==log2526log2524<（如羊如竽=1^（25+1）.（25-l）]2<1所以c<b,即b>c>a故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.例8.（2022•北京通州•模拟预测）已知a=log3；,b=Inn,c=ba,则a,b,c的大小关系（）A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为-l=log3g<log3；<log31=0，即一1Vq<0,又切乃>Ine=1,即b>1,

所以0V/?QVb。=1,即0VcVI,综上可得b>c>a,故选：A题型三：含变量问题例九(2022・全国•高三专题练习)已知。6(0,〉。=嘿篝畜，b=*#，c=In(si7t6-1)2

In(si7t6-1)2

(sin6-1)2则Q,b,C的大小关系为(B.a<c<bD.c<a<bA.b<cB.a<c<bD.c<a<bC.a<b<c【答案】A【解析】【分析】由已知构造函数，(刈=震率，可得/(X)的图象关于直线X=1对称.再求导，运用导函数的正负研究函数的单调性，最后由角的范围得出三角函数的范围可得选项.【详解】由题可设f(x)=E等，因为/(2-x)=f(x),所以/(x)的图象关于直线x=l对称.因为尸(外=竿署/，当X6(1,2)时，0<(x-l)2<l,所以出(工一1)2<0,1-Zn(x-l)2>0,(x-I)3>0,所以尸(x)>0,所以/(x)在〉,2)上单调递增,由对称性可知f(x)在(0,1)上单调递减.因为。e(05),所以0<Sin。<3<?<cose<1,所以c=/(sin9)>)(cose)=>；又2cos2。>：>1,0<sin6<|<1.由对称性可知/(2cos?9)=f(2—2COS?6),且0<2—2cos20<1,因为2—2cos26—sin0=2sin26—sin0=sin6(2sin0-1)<0,所以。<2—2cos2。<sin。<%又f(x)在(0,1)上单调递减，所以c=f(sine)</(2-2cos20)=/(2cos2e)=a,所以b<c<at故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查比较大小，关键在于构造合适的函数，并运用导函数得出函数的单调性和对称性得以解决.例10.(2022•江西宜春•模拟预测(文))己知实数x,y,zER,且满足与=3=-三，y>1,则x,y,z大小关系为()A.y>x>z B.x>z>yC.y>z>xD.x>y>z【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，可得*>l,z<0,构造函数，借助函数单调性比较大小即得.【详解】因臂=£=—3y>1，则/nx>0,-z>0,即x>l,z<0,1令/(x)=X- >1，Pllj/Z(x)=1-->0,函数/(X)在(1,+°0)上单调递增，W/(x)>/(I)=1>0,Bpinx<x,从而当方>Ly>［时,£=詈V3令g'(t)=?v。，g(t)在(1,+00)上单调递减，则由x>l,y>l,3<.得丫>4>1,所以y>x>z.故选：A【点睛】思路点睛：涉及不同变量结构相似的式子相等，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.例11.(2022•天津•高三专题练习)已知xw(e-i,l),记a=皿X"=@叱，。=e^,则a,b,c的大小关系是()A.a<c<b B.a<b<cC.c<b<a D.b<c<a【答案】A【解析】【分析】根据利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】解：因为xe(eT,l),所以a=In*e(-1,0),b=Q)lne(1,2),c=e\nxe所以a<c<b,故选：A例12.(2022•安徽・合肥一中高三阶段练习(文))若2<m<e,贝Uem,me,如"的大小关系为()A.ent>min>meB.me>em>inmC.me>mm>einD.em>fne>tnm【答案】D【解析】【分析】利用累指函数的单调性可得>m7",me>mm,构造函数g(x)=*—e，nx(x>2),可得em>7ne,从而得到结果.【详解】当2cm<e时，em>mm,me>mm,下面比较e"1与me的大小，即比较m与eInin的大小，考察函数g(x)=x-elnx(x>2), g'(x)=1-：=当2<x<e时，g'(x)<0,.•.g(x)在(2,e)上单调递减，因为2<m<e,二g(m)>g(e)=0,即m—eInm>0=>m>e/nm，所以e，>m%综上：当2cm<e时，em>me>mm.故选：D例13.(2022•江苏•扬州中学高三阶段练习)已知0<a<S<9,则下列大小关系中正确的是()A-(Sin«)cos£l>(sin«)cos/?B-10gsinaC0Sa>10gsin«C0sPC-(cosa)sina>(COS0)s”D.(cosa)sin'<(sin«)cos/?【答案】C【解析】【分析】A.构造函数y=(Sina)*,利用其单调性比较大小；B.构造函数y=logsinax,利用其单调性比较大小；C.构造函数y=(cosa尸及函数y=xsin^,利用其单调性比较大小；D•将(85办“<(sin。)“转化为>logQosa^na,判断tan。，的―sin。的大小关系即可.【详解】<0<a<夕<?,则0<sina<cosa<1,且cosa>cos夕，sina<sin/7A.因为函数y=(sina尸在尺上单调递减，故Sinais11<sina^s6,A错误；B.因为函数y=logsinaX在(。，+8)上单调递减，故logSinaCOSa<logsinaCOS。，B错误；C.因为函数y=(cosay{\,R上单调递减，函数y=、而，在(0,+8)上单调递增,

(cos«)sin£l>(cosa)sin/?>(cos0)sm0，c正确:D.(a)sin^<(Sjn«)cos^<=>sinp/n(cosa)<cosftZn(sjna).sin0、.sin0、/n(sina)<=> > cosp/n(cosa)=tan£>logcosasinav0<v0</?<Tt4:.0<tan6Vl又lo&osasina>lo9cosaCOsa=1,•tanp<logco&asina,D错误;故选：c.例14.(2022・全国•高三专题练习)己知q>b>0,ab=1,若久=晟,y=logzS+b),z=q+/则，og*(3x),/og，3y),1o&(3z)的大小关系为()A.logx(3x')>logy(3y')>logz(3z) B.logy{3y)>logx(3x)>logz(3z)C.logx(3x)>logz(3z)>logy(3y) D.logy(3y')>logz(3z)>logx(_3x)【答案】D【解析】【分析】先化简陶由）=第=1+表/呜出）=1+甚7bg<3z）=l+表再根据x,y,z的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系.【详解】—,logv(3y)=l+--5—,log.(3z)=l+——log3x log3y log3z函数'=')——在(0,1)和(1,y)上均单调递减，lOgaX又a>b>0,ab=1,所以q>1,0VbV1.而x=/,y=，og2(a+b),z=a+1,所以0vxV>Lz>2,即y>x,z>x,可知log#(3x)最小.由于y=log2(a+b)=log?(a+：)z=2a=log222a=log24"，所以比较真数1 一 . 1a+1与4a的大小关系.当a>1时，a+：<4。，所以z>y>l,即1+J—>l+-r^一.综上Jog、.(3y)>log.(3z)>logr(3x).log,ylog,z故选：D.(多选题)例15.(2022•山东威海•三模)若a>b>1,0<m<1,则( )A.am<bm B.ma<mbC.log„aC.log„a<logmb【答案】BCD.log,,in<log*m【解析】【分析】根据幕函数、指数函数、对数函数的单调性分别可判断A、B、C,结合C和对数换底公式即可判断D.【详解】对于A,,幕函数产》巾(0<m<1)在(0,+8)单调递增，,根据a>b>1可知a"1>/jm,故A错误；对于B,•.•指数函数产m«0<m<l)在R上单调递减，根据a>b>l可知ma<mb,故B正确；对于C,..•对数函数尸logmX(0<m<1)在(0,+8)上单调递减，，根据a>b>1可知log,/<log,,/,故C正确；1对于D,由C可知log„,a<log,“6<0, >- 即log“机>log〃/n,故D错误.log,”alog,,,b故选：BC.(多选题)例16.(2022•广东佛山•三模)已知则下列不等式成立的是A.log,,b<logfca B.logab>1C.alnb<blnaD.alna>blnb【答案】BC【解析】【分析】作差法判断选项A：利用对数函数单调性判断选项B；利用罄函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C；举反例排除选项D.【详解】、出r否八1人1IgbIgalg2/?-lg2a(lg/>-lga)(lg/>+lga)选项A：log,,b-logha=--=- 2-= - -IgaIgbIgalgb Igalgbft]0<b<a<l,可得/gb</ga<0,则lgblga>0,Igb—Iga<0,Igb+Iga<0川agbTga)agb+lga川agbTga)agb+lga)>_Igalgb则Io%b>logba.判断错误;选项B：由0<a<l,可得y=，oga%为(。，+8)上减函数,又0<b<a,则log,*>log,,a=1.判断正确:选项C：由可知y=a*为R上减函数，又b<a,则戒>a。由a>0,可知y=X。为(0,+8)上增函数，又b<a,则b。<a。，则>b。又丫=/nx为(0,+8)上增函数，则历心>行〃，则a/nb<b/a.判断正确:选项D：令a=Lb=j则0<6<a<l,ealna=-ln-=~-9bInb= =W则aIna-blnb=--+-^= <0,即aIna<blnb.判断错误.故选：BC题型四：构造函数例17.(2022・辽宁实验中学模拟预测)若。=sin1+tan1,b=2,c=In4+^,则a,6,c的大小关系为()A.c<h<a B.c<a<h C.a<b<cD.b<c<a【答案】A【解析】【分析】构造函数/■(x)=2lnx+：-x,利用导数说明函数的单调性，即可判断b>c,再构造函数5(x)=sinx+tanx—2x,xe(0《)，利用导数说明函数的单调性，即可判断a>〃，即可得解：【详解】解：令/(幻=2/nx+:-x,则/，(x)=?+U—1=上尹=各止W0，则/(x)在定X X%" X4 X*", 0.3 0.9 0.37T-0.9 0.3X3-0.9eg” 弘,T7乙、Q-b= = ：—> ；—=0,所以Q—。>0,故a>力，X/(%)=nsinx—n ttz 7iz '3%,则/'(x)=ttcosx—3在％€(0,9上单调递减，又/'(0)=7T—3>0,/'(£)=手一3<0,所以存在&W(05),使得/'(无())=0,且在％W(O/o)时，/X%)>0,在时'/'(X)V0,即/(%)=7rsi〃x—3x在工€(0,%)上单调递增，在工£国,?)单调递减，且/偌)=咛在加一3>0,所以出>/又因为f(0)=0,所以当(O/o)时，/(x)=nsinx-3x>0,其中因为《〈台所以5W(O*o)，所以/(3=Trsin0.1—nQ0.3>0,故sin0.1>=，B|Jc>a>b.JT故选：B例19.(2022•河南洛阳•三模(理))已知a=8i°,b=99,c=108,则a,b,c的大小关系为()A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】【分析】构造函数/'(x)=(18-x)mx>8,求其单调性，从而判断a,b,c的大小关系.【详解】构造/(x)=(18-x)Inx,r>8,/(x)=—Inx+y-1,f'[x}=-Inx+--1在8,+8)时为减函数，且/''(8)=-/n8+--l=--/n8<--X 4 4 4Inea所以/'(x)=—Inxa所以/'(x)=—Inx+——1<。在8,+ao)恒成立，故/'(x)=(18-x)Inx在8,+8)上单调递减，所以/(8)>/(9)>/(10),B|J10/n8>9/n9>8ZnlO,所以810>99>i()8,即。>/,>c.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.例20.(2022•河南•模拟预测(理))若a=e°2,b=V12,c=ln3.2,则a,b,c的大小关系为()a>b>ca>c>bb>a>b>ca>c>bb>a>cc>b>a【答案】B【解析】【分析】构造函数/(x)=eX-x-l(x>0),利用导数可得a=e0・2>1.2>b,进而可得e3>3.2,可得a>c,再利用函数=詈,可得加3.2>1.1,即得.【详解】令/(x)=e*—x—l(x>0)，则/(%)=ex—1>0,・・・/(x)在(0,+8)上单调递增,Aa=e02>0.24-1=1.2>V12=b,a=e02>1.2=Ine12,c=/n3.2,V(e12)5=e6>(2.7)6«387.4,(3.2)5«335.5,Ae1,2>3.2»故q>c»设g(x)=/x_幺善，则g'(x)=--2(：:；丁=先•>0,。 X+1 2X(4+l)N x(x+l)2所以函数在(0,+8)上单调递增,由9(1)=0，所以%>1时，。(无)>0,B|J/nx>2(xr\In3.2=In3.2=Zn24-Zn1.6>2(2-1) 2(1.6-1)2+1 1.6+11—>1—=1.1,39 50又1V1.2<1.21,1<b=V12<1.1，：.c>1.1>b,故a>c>b.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式e*>x+l(x>0)与Inx>^(x>1)进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累22例21.(2022•新疆•模拟预测(理))实数x,y,z分别满足log^x=,21y=22,20J20z=21,则x,y,z的大小关系为( )A.x>y>zB.x>z>yC.z>x>y D.y>x>z【答案】B【解析】【分析】22由题意得X= 五，y=log2122,z=log2021,然后y与z作差结合基本不等式比较大小，构造函数f(x)=詈，可判断其在(e,+8)上单调递减，则/(21)</(20),化简可得21<20则为>lo92o21=z,则可比较出z与y的大小即可【详解】22由题意得x=(a)”，y=log2122,z=/og2()21,则z-y=log2021-log2i2z-y=log2021-log2i22=Ig20Ig21-Ig20Ig21因为lg20"g22< 20+，g22)『=g/5440)2.所以，g22Ig20lg22>"zi-gIg44。)_(ig21+]g440)(lg21Tg44。)>0Ig20Ig21 lg2Qlg21- lg2Q4g21所以Z>y,设f(X)=乎，则f'(%)=i［厂,当为E(e,+8)时，/r(x)<0,所以f(x)在(e,+8)上单调递减，所以/(21)V/(20),即若<鬻，所以20，n21V21/20,所以也2了。〈仇2021,所以2120<2。21,所以21V20泵所以葛>/og?。21=z,22因为x=ei)五>乙，所以x>z,\20/ 20所以％>z>y,故选：B例22.(2022•四川雅安•二模)设q=Mb=2bi(sin总+cos磊),c= 则q,b9c的大小关系正确的是()A.a<b<c B.a<c<bD.b<a<cC.D.b<a<c【答案】D【解析】【分析】由于a=m战=/ne°，°2,/)=/［加焉+cos击),c=bi(|^］，所以只要比较x=0。。2,、=卜加磊+cos焉)=1+sin/=1+sin0.02,z=偌)5的大小即可,然后分别构造函数f(x)=e*-(1+sinx)(x>0),g(x)=(1+x)L2-ex,判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可【详解】2 6因为Q=切丽=,ne°02'b=ln(^sin^^cos-^j>c=In所以只要比较%=e0Q2,y=(sin击+cos*)=1+sin亲=1+sin0.02,z=偌=(1+0.02尸2的大小即可，令f(x)=ex—(1+sinx)(x>0),则f'(x)=ex-cosx>0,所以/(x)在(0,+oo)上递增，所以f(x)>f(0)，所以e*>l+sinx,所以e°，°2>1+sin0.02,即x>y>1,令g(x)=(1+x)lz—ex,则g'(x)=1.2(1+x)0,2—ex,g(x)=0.24(1+x)-0-8—ex因为g"(x)在(0.+8)上为减函数，且g"(0)=0.24-1<0,所以当x>0时，g"(x)<0,所以g'(x)在(0.+8)上为减函数，因为g'(0)=1.2-1>0,5(0.2)=1.2x1.202-e02=1.21-2-e02,要比较1.212与6。2的大小，只要比较，nl.212=1.2/1.2与］116°2=0.2的大小，令九(x)=(1+x)in(1+x)—x(x>0),则(x)=in(1+x)+1—1=Zn(1+x)>0»所以〃(x)在上递增，所以(x)>(0)=0,所以当xW(0,+8)时，(l+x)/n(l+x)>x,所以1.2bl1.2>0.2,所以I??>e02,所以g'(0.2)=1.2x1,202-e02=1.212-e02>0,所以当xe(0,0.2)时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,0.2)上递增，所以g(x)>g(0)=0,所以(1+X尸2>e”,所以(1+0.02尸2>e°02,所以z>x,所以z>x>y,所以c>a>b,故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题例23.(2022•浙江•高三专题练习)。=当等/=二.=",则a,b,c的大小顺序为e， e3()A.a<c<b B.c<a<bC.a<b<c D.b<a<c【答案】A【解析】【分析】构造函数f(x)=W，应用导数研究其单调性，进而比较a=/"(?),b=f(e),c=/(3)的大小，若t=警有两个解Xi，X2，WJl<x[<e<x2,t6(0,i),构造g(x)=，nx-3£孑(》〉1),利用导数确定g(x)>0,进而得到>/,即可判断。、c的大小，即可知正确选项.【详解】令/(*)=器则a=/《)=等,。=«)=誓，c=/(3)=等,3而/'(%)=三笄且%>0，即0vxve时/(x)单调增，x>e时f0)单调减，Xl<y<e<3,J.b>c,b>a.若t=W有两个解卬如则Ivxvev.，tW(03)，X2-X1 1zt令g(x)=，nx-幺等(x>1),则g'(x)=匕％>0,即g(x)在(1，+°°)上递增,：.g(x)>g(l)=0,即在(1,2)上，Ex>4等，若万二翼即粤等1>等，故t>x+l X1x2~~xl高？有x/2>e2...当M=3时，e>Xi>Y，故/(?)</(Xi)=f(3),综上：b>c>a.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,b,c的大小.题型五：数形结合(交点问题)(多选题)例24.(2022•河北邯郸•一模)下列大小关系正确的是( )A.1.92<21-9 B.229<2.92C，D-Iog74<logi27【答案】ABD【解析】【分析】A、B选项画出y=2”和y=的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数/'(x)=借助单调性进行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.【详解】

作出y=2乂和y=/的图象，如图所示，由图象可得，当(0,2)时，2x>/,当x6(2,4)时，x2>2X,j92<219,22-9<2.92,故A,B正确.令则八行=1+品，f(x)在(0,+8)上单调递减，所以蔡怒，故C错误.pog74+log712Yt「呜48丫1log74-log127=log74--^―log712唾74.嗨12-1<I2J=Ilog74-log127=log74--^―log712,所以1呜4<*7,故D正确.故选：ABD.例25.(2022•广东茂名•一模)已知x,y,z均为大于。的实数，K2*=3y=logsz,则x,y,z大小关系正确的是()A.x>y>z B.x>z>yC.z>x>y D.z>y>x【答案】C【解析】【分析】根据题意，将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=，。毒丫与直线丫=t>1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.【详解】解：因为x,y,z均为大于0的实数，所以2苫=3y=log5z=t>1,进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=，。禽％与直线y=t>1的交点的横坐标的关系,故作出函数图像，如图，山图可知z>x>y故选：C例26.(2022•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=2*+x-1,g(x)=log2x+x-l,/z(x)=d+x-l的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小为( )A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b【答案】B【解析】【分析】函数/(x),g(x)的零点直接求解即可，函数〃(x)的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案【详解】解：令/(x)=o,Wij2x+x-l=0,得x=0,即a=0,令g(x)=0,则，0。2工+x-1=0，得x=l,即b=L因为函数Mx)=V+x-l在R上为增函数，且/1(0)=-1<0,八(1)=1>0,所以Mx)在区间(0,1)存在唯一零点c,且c6(0,1),综上，b>c>a,故选：B例27.(2022•全国冻北师大附中模拟预测(理))已知a为函数f(x)=logzX—：的零点，b=y/e>c=则a、b、c的大小关系正确的是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a【答案】B【解析】

【分析】对反c,同时进行6次方运算，利用y=/的单调性比较大小；先利用零点存在定理判断出：,<a<*对a、c,同时进行3次方运算，利用y=/的单调性比较大小；对a、b,同时进行平方运算，利用y=/的单调性比较大小.【详解】因为b=Ve,c=所以—(五)6=e3>0=151»c6=(Vtt)6=7r2<(3.2)2=10.24»所以9>c6.因为y=/在(o,+8)上单增，所以b>c.因为a为函数f(x)=，。外》一?的零点，所以/⑷=1叼2。-；=0因为y=log2%为增函数，y=-』为增函数，所以/(幻=/。外》一上为增函数，所以x x/(x)=log2X-5有且仅有一个零点a.又/(5=，。92 因为；［('/=(给彳2久/所以*2：,所以fG)=1。&G)-|=log2g)-1<0.fG)=l°92(I)-J=l°92(I)-81因为合©8a43：2久32%所以g>2=，所以所以住)<=(Vtt)3=7T>所以M=3.375>7T=C3.8>0；由零点存在定理，可得：8>0；由零点存在定理，可得：<a<因为y=/在(0,+8)上单调递增，所以a>c.因为g<a<1,所以a?< =2,56.而产=e«2.71828,所以块>a2.因为y=/在(0,+8)上单调递增，所以b>a.所以b>a>c.故选：B例28.(2022・全国•高三专题练习)已知a+2Q=2,b+3b=2,则»gQ与a】gb的大小关系是()A.b]gQVQ]gb B.b]gQ=Q]gbC.b|ga>Q[gb D.不确定【答案】C【解析】【分析】令/（x）=x+2”,g（x）=x+3，，结合题意可知Ovbvavl,进而有0。>心>力。，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令/（%）=x+2xtg（x）=%4-3X,则当x>0时，g（x）>/（》），当xvO时,5（x）<f（x）；由q+2。=2,b+3,=2,得f（Q）=2,g（b）=2考虑至IJf（Q）=g（b）=2得Ovbvavl,・•・ab>bb>ba由a。>ba9得lg（Q。）>lg（b。）,即bq>algb故选：C题型六：特殊值法、估算法例29.（2022・全国•高三专题练习）已知旧…一… 则a,b,c,d的大小关系为（）A.b>a>d>cB.b>c>a>dC.b>a>c>dD.a>b>d>c【答案】C【解析】【分析】对给定的基或对数变形，借助幕函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.【详解】依题意，a=29=（2&）1函数y=H在［0,+8）上单调递增，而:<2夜<3,于是得|<11 3（2>/2）2<31»即b>Q>i函数y=，。94%在（。，+8）单调递增，并且有1o°43>0,log45>0,则2=log416>log415=log43+log45=S- ,于是得1叩43Xlog45<1,即1。945<高元=‘0934,则c>d,又函数y=，。%%在（。，+8）单调递增，且4<3百，则有1。934<，。。33V5=|,所以b>a>->c>d.故选：C例30.（2022・全国•高三专题练习）已知q=遮，b=2<»c=log?e,则a,b,c的大小关系为（）B.a>c>bA.B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a【答案】B【解析】【分析】结合已知条件，比较不和公的大小，进而可得到a和b的大小，然后利用介值比较a与c的大小，利用介值F和对数函数性质可得b和c的大小，进而得出答案.【详解】由a，=9,b4=2»可知q>b>1,又由e2<8,从而271=2，可得c=/og2e<|<因为公一（）4=2-桨<o所以1<h<p因为e5-26>2.75-64>0,从而资>26,即e>2：，由对数函数单调性可知，c=log2e>log225=I，综上所述，a>c>b.故选：B.例31.（2022.全国•高三专题练习（理））三个数。=捻，b=竽©=等的大小顺序为（）A.b<c<a B.b<a<cC.c<a<b D.a<b<c【答案】D【解析】【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明a<（<b<c,由此得出三者的大小关系.【详解】a=^<|=^=Zne3>由于=e2f（4，）=4z=23=8»所以e§<41，所以］=bie：<，n4：=竽即a<g<b,而=23=8,（3，，=32=9，所以司"：；所以/n4<i/n3=Zn35.即b<c,所以a<b<c.3故选：D例32.（2022•黑龙江•双鸭山一中高三期末（理））若a=log43,b=log54,c=2-。。3,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<a B.a<c<bC.b<a<c D.a<b<c【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式和时数的运算法则得到a<b,再利用指数函数单调性结合放缩法得到b<c即可求解.【详解】[xlv11 ,a=log43>0,b=log54>0,・•・a<b,TOC\o"1-5"\h\z9 Q•••41°=1048576<59=9765625,.4〈碗，."=logs4<—=0.9,- 10C=2-003>2~8==—5-t>-^-T=7->0.9, b<c,(V2)4 (1.44)4 (1.2)2 (1.21)2 11••a<b<c,故选：D.例33.(2022・全国•高三专题练习)若a=log2V3，b=2,°说，c=2总则小b，c的大小关系为().A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a【答案】B【解析】【分析】利用对数运算的性质将b=21°。（化简为苧，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数塞的大小结合对数的运算性质可比较a力大小，即可得答案.【详解】由题意:b=2IOfl4=2l°92^=c=2~i=y»故b>c.又2及<2£=2注<3，即2日<3，所以，。。42元<，孙？，即当<，孙3，因为q=log2V3=，。①3，所以c<a.因为28=256>243=35,故1og23V：vVI,即2百>3，所以，0。42G>log43,所以苧>log3>所以Z?>q,所以b>a>c,故选：B.题型七：放缩法例34.(2022•江西•模拟预测(理))设。="匕臀，b=~,c=竽，则a,b,c的大小顺e， e 4序为()A.a<c<b B.c<a<bC.a<b<c D.b<a<c【答案】A【解析】【分析】根据m6、c的结构，构造函数f(x)=W，利用导数判断单调性，即可比较出。、氏c的大小，得到正确答案.【详解】因为/=号，b=：=詈，。=竽构造函数/(%)=咛，4则/笄,a=/(9，b=f(e),c=y(4),/(x)在(0,e)上递增，在(e,+8)上递减.则有b=/'(e)最大，即qVb,c<b.若t=有两个解，则1VVeV%21tW(。*)，所以m=txltInx2=比2,所以In芭一Inx2=txx-tx2,lnx1+Inx2=txr+tx2>即£=’；二：』心二2)=「Qi+%2)，令g(x)=mx-彳?(x>1)，则g'(x)=W^>。，故g(x)在(l,+8)上单增，所以g(%)>g⑴=0,即在(1,+8)上，Inx>2佟一1]若％=?，则有ln^>人即誓竺>高.v r x2~~xlx2+xl再9+1苦故八氤自？所以x】M>e2.当必=4时，有?<xi<e,故/(?)</(%)=/(4)所以a<c.综上所述：QVCVb.故选：A

例35.（2022•全国•高三专题练习）己知”?=log4或，〃=log4ee,p=e~3>贝!J，〃，n,p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（ ）D.n<p<mA.p<n<m B.m<n<pD.n<p<m【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较"?，"，（的大小关系,再由指数的性质有P=e4>］即知a，n,p的大小关系.【详解】山题意得,1 _Lgn_Ign_彳lg4山题意得,m=log4视=—=正诉=1-g获t IgeIge1lg4n=toqAPe= = ；—=1- lg4elg4+lge lg4+lge*/lg4>lgjr>lge>0,则Ig4+lg4>lg4+lg人>lg4+lge,;] @4>] >1_ ,**Ig4+lg4 lg4+lgn Lg4+lge9J 而〃=?-孑='>3故选：C.例36.（2022•全国•高三专题练习）已知a=0.75,b=2log32,c=1log23,则a、b、c的大小关系是（）A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<c D.c<b<a【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质比较b,c与a的大小，利用作商法比较b,c的大小.【详解】由。=0.75=4因为（5句4=125<44=256>故舄<4>所以a=logs5,<log54=b，因为（234=8<（代）4=%故2久机,所以a=log22J<log2V3=c因为165>58,故16>5*因为3$<28,故3<2，8所以2_2logs2_42_100516>1。05 1C”。。23 1。%3log23log22|所以b>c,故Q<c<b,故选：A【点睛】关键点点睛：根据时数的运算性质将。写成对数/。毒5九log22t利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得b,c的大小，属于较难题目.例37.(2022・全国•高三专题练习)已知q=」-匕=e一赤,c=仇四'，则。，b,c的大小关101 100系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<b D.b<a<c【答案】B【解析】首先设f(x)=e"-x-1,利用导数得到e*>x+l(xH0),从而得到b=e一盖>一言+1=击>高=。，设g(x)=/nx-x+l,利用导数得到bixVx-1(%H1),从而得到人>(:和(:>。，即可得到答案.【详解】设/(%)=靖—%—1，/'(k)=婚—1,令/'(无)=0,解得％=0.x6(-oo,0),frM<0,八幻为减函数，xe(0,4-00),/r(x)>0,f(x)为增函数.所以f(x)N/(0)=0,BPex-x-l>0,当且仅当％=0时取等号.所以e">x4-l(xW0).故b=e-ioo>——+1=—>-^―=q,即b>a.100 100 101设g(x)=bix—x+1,g'(x)=(—1= 令g'(x)=0,解得无=1.x6(0,1),grM>0,g(x)为增函数，xe(l,4-oo),5z(x)<0,g(x)为减函数.所以g(x)4g(l)=0，Bp/nx-x4-1<0,当且仅当x=l时取等号.所以/nx<%—1(%*1).所以,=伍瑞<强一1=翡又因为b>击，所以b>c又因为一/n%>-x+l(x工1),所以赤=一"赤>一而'+1=赤=。，即c>q,综上b>c>a.故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性来解决比较大小问题，解决本题的关键为构造函数f(x)=ex—x—1,和g(x)=Inx—x+1,属于难题.例38.(2022・全国•高三专题练习)已知a= =c=：cos三，则a,b,c的大小关5 3 4 3 4系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.h<a<c【答案】A【解析】根据sin：<sin：=cos彳<cos；比较6,c的大小关系，构造函数/'(x)=?,sinx,x€：,1)比较a,〃的大小关系，即可得解.【详解】TOC\o"1-5"\h\z-=sin-<sin-<sin-=cos-<cos-,所以b<c,2 6 4 4 4 4构造函数/(%)=—,sinx,x/，,、 1.,1-x -sinx+(x-x2)cosxf(%)=—r-sinxHcosx= ； »7 X2 X X2sinx>sin->所以一sinx<4 2 2XG1),必有0<%一％2工工COSX<1,所以(X-%2)cosxVj\4 / 16 16所以一sinx+(x—x2)cosx<0»日nc，/、 1.,l-x -sinx+(x-x2)cosx_即f(x)=-Q3nx+「cosx= <0所以/(x)=—^―,sinx,x 单调递减，所以/(§</(*NW<：s*BPsin-<-sin-,5 3 4所以a<b<c故选：A【点睛】此题考查比较三角函数值的大小，常利用中间值比较，或构造函数利用函数单调性比较大小.例39.(2022•河南开封•三模(理))已知a,b均为正实数，且e。=b,ab=e(e为自然对数的底数)，则下列大小关系不成立的是()A.a<e<bB.a>1 C.b<ee D.ebInb<ee【答案】D【解析】【分析】对所给条件反复代换，利用正数的指数大于0等条件，将所得的结论继续应用到等式中去，可判断选项中的结论正误.【详解】由题可知：ablna=1,.,.bIna=eaIna=1>0. a>1,B选项正确；'•eaIna=1,ea>1..,.Ina<1,.'.a<e,.*.a=Inb<e,.".b<ee,C选项正确;Va>1».'.a=Inb>1,..b>e,A选项正确；eblnb<ee^b+ln(lnb)<e^b+^<e,而b>e,矛盾，D选项错误.故选：D.例40.(2022・四川•乐山市教育科学研究所二模(文))设Q=5，h=/n(l+sin0.02),c=2-£n|^»则a,b,c的大小关系正确的是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】D【解析】【分析】分别构造函数f(x)=sinx—x,xE(0,1}5(x)=Inx—x+l,xE(0,1),(%)=ex-(1+x)2,利用其单调性判断.【详解】解：设f(x)=sinx-x,xE(。()，则f(x)=cosx—1<0,所以/'(无)在xG(0,5上递减，所以f(x)</(0)=0,ElPsinx<x,设g(x)=①"一无+L%e(0,1)，则g'(x)= 1>o，g(x)递增，则g(x)<g(i)=o,即in无<%-1,所以力=/n(l+sin0.02)<sin0.02<0.02=q,令h(x)=ex—(14-x)2,则”(x)=ex-2(1+x),□(x)=ex—2»当KV，n2时，h,fM<0,则〃(x)递减，又口'(m2)=—2/2<0,口'(0)=—1<0,所以当NW(0，n2)时，h!(x)<0,口(口递减，则h(x)<九(0)=0,即e"<(1+x)2,因为0.02€(0,In2),则0(0.02)<0,所以e°・°2<1.022=e2lnw.即a=2<c=2ln|^,故〃<avc,故选：D例41.(2022•全国•高三专题练习(理))设实数a,b满足5。+1曾=18。，7a+9。=15b,则a,b的大小关系为( )A.a<b B.a=b C.a>b D.无法比较【答案】A【解析】【分析】从选项A或C出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设aNb,则IV*211",7a>7b,由5a+llft=18a得5a+lla>18a=>舄尸+给。>1,因函数/(幻=舄尸+右尸在r上单调递减，又f(l)=,+*,<l，则/⑷Nl>/(l),所以a<1：由7a+9b=15a得7b+9b<15b= +(±)6<1,因函数g(x)=(£尸+(卷尸在R上单调递减，又g(l)=(+《=£>1,则g(b)wi<g(l),所以b>l；即有q<1<b与假设a>b矛盾，所以q<b,故选：A题型八：不定方程例42.(2022・宁夏・银川一中一模(文))已知实数小b,c,满足仇b=eQ=c,则小b,c的大小关系为()A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.a>c>b【答案】c【解析】【分析】构造函数f(x)=e*-X,利用导数求重函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案.【详解】解：设f(x)=e，-x,则f'(x)=ex-l,当x<0时，f'M<0,当x>0时，/"(X)>0,所以f(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以故婚>为，所以c=ea>a,又Inb=c,所以b=ec>c,所以b>c>a.故选：C.例43.（2022•全国•高三专题练习（文））已知108"=1。8尸=1。852>1,贝1]工，三的大小Xyz排序为（）5.3c3,2/5B.一V—V—yxz5.3c3,2/5B.一V—V—yxz【答案】D【解析】【分析】方法一：首先设logzX=log3y=logsZ=々>l,利用指对互化，发示：，再利用对数函数的图象判断大小；方法;：由条件可知lTog2*=lTog3y=lTogsZV0,再利用对彝运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小.【详解】方法一：设log2X=log3y=log5Z=%>L则：=21f,：=3一"，：=5iT,CQ7又”&<0,所以21f>3]-k>5i-k