第十二章全等三角形复习期末教程课件

第十二章全等三角形复习期末教程第十二章全等三角形复习期末教程第十二章全等三角形复习期末教程全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全等三角形对应角（对应角的平分线）相等全等三角形的面积相等解决问题角的平分线的性质角平分线上的一点到角的两边距离相等

角的内部到角的两边的距离的点在角的平分线上判定（判定三角形全等必须有一组对应边相等.）一本章知识结构22021/1/4第十二章全等三角形复习期末教程第十二章全等三角形复习期末教程1全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全等三角形对应角（对应角的平分线）相等全等三角形的面积相等解决问题角的平分线的性质角平分线上的一点到角的两边距离相等

角的内部到角的两边的距离的点在角的平分线上判定条件（尺规作图）（判定三角形全等必须有一组对应边相等.）一本章知识结构2021/1/42全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全二、全等三角形识别思路复习如图，已知△和△中，，请补充一个条件，使△≌△。思路1：找夹角找第三边找直角已知两边：∠∠（）（）∠∠90°（）ABCD2021/1/43二、全等三角形识别思路复习如图，已知△和△中，如图，已知∠∠D，要识别△≌△，需要添加的一个条件是。思路2：找任一角已知一边一角（边与角相对）（）∠∠或者∠∠ACBD2021/1/44如图，已知∠∠D，要识别△≌△，需要添加的如图，已知∠1=∠2，要识别△≌△，需要添加的一个条件是思路3：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找边的对角∠∠∠∠B（）（）（）2021/1/45如图，已知∠1=∠2，要识别△≌△，需要添加如图，已知∠∠E，要识别△≌△，需要添加的一个条件是思路4：已知两角：找夹边找一角的对边ABCDE或()()2021/1/46如图，已知∠∠E，要识别△≌△，需要添加的三找全等三角形对应边和对应角的方法：1、从长短大小两个全等三角形的一对最长边（最大角）是对应边（角）；一对最短边（最小角）是对应边（角）2、从对应边与对应角的关系对应角所对的边为对应边；对应边所对的角为对应角；两个对应角所夹的边为对应边；两条对应边所夹的角为对应角。3、从位置公共边为对应边；公共角为对应角；对顶角为对应角2021/1/47三找全等三角形对应边和对应角的方法：1、从长短大小两个全等三四三角形中常见辅助线的作法例1如图1，已知△中，是△的中线，8，6，求的取值范围．提示：延长至A＇，使A＇D＝，连结＇．根据“”易证△A＇≌△，得＝A＇B．这样将转移到△A＇中，根据三角形三边关系定理可解．1.延长中线构造全等三角形2021/1/48四三角形中常见辅助线的作法例1如图1，已知△中，是△的中2、引平行线构造全等三角形例2如图2，已知△中，＝，D在上，E是延长线上一点，且＝，与交于点F．求证：．提示：此题辅助线作法较多，如：①作∥交于G；②作∥交的延长线于H；再通过证三角形全等得＝．2021/1/492、引平行线构造全等三角形例2如图2，已知△中，＝，D在上例3如图3，已知△中，∠90°，，，⊥，垂足为D，交于E．求证：．提示：连结，证△是等腰三角形．3、作连线构造等腰三角形2021/1/410例3如图3，已知△中，∠90°，，，⊥，垂足为D，交于E．4、利用翻折，构造全等三角形．例4如图4，已知△中，∠B＝2∠C，平分∠交于D．求证：＝＋．提示：将△沿翻折，使B点落在上点B＇处，再证＇D＝B＇C，易得△≌△＇，△B＇是等腰三角形，于是结论可证．2021/1/4114、利用翻折，构造全等三角形．提示：将△沿翻折，使B点落在5、作三角形的中位线

例5如图5，已知四边形中，＝，E、F分别是、的中点，、的延长线交的延长线于点M、N．求证：∠＝∠．提示：连结并取中点O，再连结、．则∥，∥，故∠1＝∠，∠2＝∠．、且，故∠1＝∠2，可得证．2021/1/4125、作三角形的中位线提示：连结并取中点O，再连结、．则例1.如图，在△中，两条角平分线和相交于点哦，若∠1200，那么∠A的度数是.ABCDEO6002021/1/413例1.如图，在△中，两条角平分线和相交于点哦，若∠例2、如图，＝，＝，＝，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。在△和△中∵，，∴△≌△（）；∵，，∴△≌△（）∵，，∴△≌△（）；在△和△中在△和△中2021/1/414例2、如图，＝，＝，＝，图中有几组全等的三角解：①∵E、F分别是，的中点（）又∵∴在△与△中==∴△≌△()∴（）1212例3.如图，已知，，E、F分别是，的中点，且，说出下列判断成立的理由.①△≌△②∠∠C线段中点的定义△≌△全等三角形对应角相等已知ADBCFE②∵∴∠∠C()=2021/1/415解：①∵E、F分别是，的中点（）又∵∴例4.如图，E，F在上，，，∥。求证：∥ABCDEF∆≌∆()∴∠∠∴2021/1/416例4.如图，E，F在上，，，∥。求证：∥ABCDEF∵∥，∥（已知）∴∠1＝∠2∠3＝∠4

在△与△中∠1＝∠2（已证）（公共边)∠3＝∠4（已证）∴△≌△（）∴（全等三角形对应边相等）证明:连结.例5.如图，∥，∥，那么吗？为什么？与呢？ABCD23412021/1/417∵∥，∥（已知）∴∠1＝∠2∠3＝∠4在△与△例6.如图，已知，∠∠D，∠1=∠2，求证：ABCDE12证明:∵∠1=∠2∴∠1+∠∠2+∠∴∠∠在∆和∆中∴∆≌∆()∴2021/1/418例6.如图，已知，∠∠D，∠1=∠2，ABCDE12证解∵⊥，⊥（已知）∴∠∠∠∵（已知）即∵∴Δ≌Δ（）∴（全等三角形的对应边相等）ABCDEF例7.如图，已知⊥，⊥，，，则。请说明理由。2021/1/419解∵⊥，⊥（已知）ABCDEF例7.如图，已知例8.已知：∠∠900，，P是上任意一点，求证：

CABDP证明:在∆和∆中∴∆≌∆∴∠∠∴∆≌∆()∴2021/1/420例8.已知：∠∠900，，P是上任意一点，求证：例9.如图⊥，⊥，垂足分别为D、E，与相交于点O，且∠1＝∠2，求证＝。证明：∵∠1＝∠2⊥，⊥

∴＝(角平分线的性质定理)

在△与△中

∠＝∠(对顶角相等)

＝(已证)

∠＝∠(垂直的定义)∴△≌△()

∴＝

2021/1/421例9.如图⊥，⊥，垂足分别为D、E，与相交于点例10.如图A、B、C在一直线上，△，△都是等边三角形，交于F，交于G，求证：＝。

证明：∵△，△是等边三角形。

∴∠＝△＝60°

∵A、B、C共线∴∠＝60°

∴∠＝∠

在△与△中

＝

∠＝∠

＝∴△≌△()

∴∠2＝∠1

在△与△中

∠＝∠

＝

∠2＝∠1∴△≌△()

∴＝(全等三角形对应边相等)2021/1/422例10.如图A、B、C在一直线上，△，例11.如图,∠90º是的中点平分∠,求证平分∠CDBAEF证明:作⊥,垂足为F∵平分∠,∴∠∠B又∵∠90º∴∠90º又∵⊥∴又∵E是的中点∴∴∵∠90º∴⊥∴平分∠∴⊥2021/1/423例11.如图,∠90º是的中点平分CDBAEF证明:作⊥,垂例12.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。∵（已知）（公共边）∴△≌△()∴解：∵∠∠90°2021/1/424例12.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆做一做1、如图，要识别△≌△，除公共角∠A外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。ABCED（1），（）（2），（）（3），（）（4），（）（5），（）（6），（）（7），（）2021/1/425做一做1、如图，要识别△≌△，除公共角∠A外，把还需要的两2、如图，D为中点，⊥，且，∠B与∠C相等吗？为什么？ADCBFE2021/1/4262、如图，D为中点，⊥，且，∠B与∠C相等吗？为什么？3、如图，，、是△的角平分线，△≌△吗？为什么？BACDE2021/1/4273、如图，，、是△的角平分线，△≌△吗？为什么？BACDE24、如图，，，∠∠，△与△全等吗？BACDE2021/1/4284、如图，，，∠∠，△与△全等吗？BACDE2021/1/考考你，学得怎样？5、如图1，已知，∠1=∠2，那么△≌，其判定根据是。6、如图2，△中，⊥于D，要使△≌△，若根据“”判定，还需加条件=，7、如右图，已知，∠A=∠D，请你添一个直接条件，，使△≌△2021/1/429考考你，学得怎样？5、如图1，已知，∠1=∠2，那么△≌8、如图，已知＝，＝，延长交于D，则图中全等三角形共有（）（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对9、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）（A）一锐角和斜边对应相等（B）两条直角边对应相等（C）斜边和一直角边对应相等（D）两个锐角对应相等10、下列四组中一定是全等三角形的为（）A．三内角分别对应相等的两三角形B、斜边相等的两直角三角形C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形D、三边对应相等的两个三角形2021/1/4308、如图，已知＝，＝，延长交于D，则图中全等三角形共有（答：证法错误。定理应用错误。11.【99江西】已知，如图，ＢＣ＝ＢＤ，∠Ｃ＝∠Ｄ，求证：ＡＣ＝ＡＤ．有一同学证法如下：

证：连结AB在⊿ABC和⊿ABD中

BC=BD∠C=∠D

AB=AB∴⊿ABC≌⊿ABD(SAS)∴AC=AD你认为这位同学的证法对吗？如果错误，错在哪里，应怎样证明？

2021/1/431答：证法错误。定理应用错误。11.【99江西】已知，如图，12.如图，∠90°，，⊥，⊥于D，2.51.7。求：的长。ABCDE2021/1/43212.如图，∠90°，，⊥，⊥于D，2.51.7。求：的长。13.如图,在△中,∠90°是角平分线,点D在的延长线上过点O且⊥,垂足为E.(1)请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;ACDOBE解：∵∠90°∴⊥∵平分∠又⊥⊥∴（角平分线上的点到角两边的距离相等（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，并说明理由2021/1/43313.如图,在△中,∠90°是角平分线,点D在的延长线上过14、如图，∠∠90度，M是的中点，平分∠，求证：平分∠ADCBME2021/1/43414、如图，∠∠90度，M是的中点，平分∠，ADCBME四、小结：找夹角（SAS）找第三边（SSS）找直角（HL）已知两边找任一角（AAS）已知一边一角（边与角相邻）找夹这个角的另一边（SAS）找夹这条边的另一角（ASA）找边的对角（AAS）已知两角找夹边（ASA）找一角的对边（AAS）1、全等三角形识别思路：3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。（边与角相对）2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。注意：１、“分别对应相等”是关键；２、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。2021/1/435四、小结：找夹角（SAS）找第三边（SSS）找直角（HL）已谢谢谢谢36第十二章全等三角形复习期末教程第十二章全等三角形复习期末教程第十二章全等三角形复习期末教程全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全等三角形对应角（对应角的平分线）相等全等三角形的面积相等解决问题角的平分线的性质角平分线上的一点到角的两边距离相等

角的内部到角的两边的距离的点在角的平分线上判定（判定三角形全等必须有一组对应边相等.）一本章知识结构22021/1/4第十二章全等三角形复习期末教程第十二章全等三角形复习期末教程37全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全等三角形对应角（对应角的平分线）相等全等三角形的面积相等解决问题角的平分线的性质角平分线上的一点到角的两边距离相等

角的内部到角的两边的距离的点在角的平分线上判定条件（尺规作图）（判定三角形全等必须有一组对应边相等.）一本章知识结构2021/1/438全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全二、全等三角形识别思路复习如图，已知△和△中，，请补充一个条件，使△≌△。思路1：找夹角找第三边找直角已知两边：∠∠（）（）∠∠90°（）ABCD2021/1/439二、全等三角形识别思路复习如图，已知△和△中，如图，已知∠∠D，要识别△≌△，需要添加的一个条件是。思路2：找任一角已知一边一角（边与角相对）（）∠∠或者∠∠ACBD2021/1/440如图，已知∠∠D，要识别△≌△，需要添加的如图，已知∠1=∠2，要识别△≌△，需要添加的一个条件是思路3：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找边的对角∠∠∠∠B（）（）（）2021/1/441如图，已知∠1=∠2，要识别△≌△，需要添加如图，已知∠∠E，要识别△≌△，需要添加的一个条件是思路4：已知两角：找夹边找一角的对边ABCDE或()()2021/1/442如图，已知∠∠E，要识别△≌△，需要添加的三找全等三角形对应边和对应角的方法：1、从长短大小两个全等三角形的一对最长边（最大角）是对应边（角）；一对最短边（最小角）是对应边（角）2、从对应边与对应角的关系对应角所对的边为对应边；对应边所对的角为对应角；两个对应角所夹的边为对应边；两条对应边所夹的角为对应角。3、从位置公共边为对应边；公共角为对应角；对顶角为对应角2021/1/443三找全等三角形对应边和对应角的方法：1、从长短大小两个全等三四三角形中常见辅助线的作法例1如图1，已知△中，是△的中线，8，6，求的取值范围．提示：延长至A＇，使A＇D＝，连结＇．根据“”易证△A＇≌△，得＝A＇B．这样将转移到△A＇中，根据三角形三边关系定理可解．1.延长中线构造全等三角形2021/1/444四三角形中常见辅助线的作法例1如图1，已知△中，是△的中2、引平行线构造全等三角形例2如图2，已知△中，＝，D在上，E是延长线上一点，且＝，与交于点F．求证：．提示：此题辅助线作法较多，如：①作∥交于G；②作∥交的延长线于H；再通过证三角形全等得＝．2021/1/4452、引平行线构造全等三角形例2如图2，已知△中，＝，D在上例3如图3，已知△中，∠90°，，，⊥，垂足为D，交于E．求证：．提示：连结，证△是等腰三角形．3、作连线构造等腰三角形2021/1/446例3如图3，已知△中，∠90°，，，⊥，垂足为D，交于E．4、利用翻折，构造全等三角形．例4如图4，已知△中，∠B＝2∠C，平分∠交于D．求证：＝＋．提示：将△沿翻折，使B点落在上点B＇处，再证＇D＝B＇C，易得△≌△＇，△B＇是等腰三角形，于是结论可证．2021/1/4474、利用翻折，构造全等三角形．提示：将△沿翻折，使B点落在5、作三角形的中位线

例5如图5，已知四边形中，＝，E、F分别是、的中点，、的延长线交的延长线于点M、N．求证：∠＝∠．提示：连结并取中点O，再连结、．则∥，∥，故∠1＝∠，∠2＝∠．、且，故∠1＝∠2，可得证．2021/1/4485、作三角形的中位线提示：连结并取中点O，再连结、．则例1.如图，在△中，两条角平分线和相交于点哦，若∠1200，那么∠A的度数是.ABCDEO6002021/1/449例1.如图，在△中，两条角平分线和相交于点哦，若∠例2、如图，＝，＝，＝，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。在△和△中∵，，∴△≌△（）；∵，，∴△≌△（）∵，，∴△≌△（）；在△和△中在△和△中2021/1/450例2、如图，＝，＝，＝，图中有几组全等的三角解：①∵E、F分别是，的中点（）又∵∴在△与△中==∴△≌△()∴（）1212例3.如图，已知，，E、F分别是，的中点，且，说出下列判断成立的理由.①△≌△②∠∠C线段中点的定义△≌△全等三角形对应角相等已知ADBCFE②∵∴∠∠C()=2021/1/451解：①∵E、F分别是，的中点（）又∵∴例4.如图，E，F在上，，，∥。求证：∥ABCDEF∆≌∆()∴∠∠∴2021/1/452例4.如图，E，F在上，，，∥。求证：∥ABCDEF∵∥，∥（已知）∴∠1＝∠2∠3＝∠4

在△与△中∠1＝∠2（已证）（公共边)∠3＝∠4（已证）∴△≌△（）∴（全等三角形对应边相等）证明:连结.例5.如图，∥，∥，那么吗？为什么？与呢？ABCD23412021/1/453∵∥，∥（已知）∴∠1＝∠2∠3＝∠4在△与△例6.如图，已知，∠∠D，∠1=∠2，求证：ABCDE12证明:∵∠1=∠2∴∠1+∠∠2+∠∴∠∠在∆和∆中∴∆≌∆()∴2021/1/454例6.如图，已知，∠∠D，∠1=∠2，ABCDE12证解∵⊥，⊥（已知）∴∠∠∠∵（已知）即∵∴Δ≌Δ（）∴（全等三角形的对应边相等）ABCDEF例7.如图，已知⊥，⊥，，，则。请说明理由。2021/1/455解∵⊥，⊥（已知）ABCDEF例7.如图，已知例8.已知：∠∠900，，P是上任意一点，求证：

CABDP证明:在∆和∆中∴∆≌∆∴∠∠∴∆≌∆()∴2021/1/456例8.已知：∠∠900，，P是上任意一点，求证：例9.如图⊥，⊥，垂足分别为D、E，与相交于点O，且∠1＝∠2，求证＝。证明：∵∠1＝∠2⊥，⊥

∴＝(角平分线的性质定理)

在△与△中

∠＝∠(对顶角相等)

＝(已证)

∠＝∠(垂直的定义)∴△≌△()

∴＝

2021/1/457例9.如图⊥，⊥，垂足分别为D、E，与相交于点例10.如图A、B、C在一直线上，△，△都是等边三角形，交于F，交于G，求证：＝。

证明：∵△，△是等边三角形。

∴∠＝△＝60°

∵A、B、C共线∴∠＝60°

∴∠＝∠

在△与△中

＝

∠＝∠

＝∴△≌△()

∴∠2＝∠1

在△与△中

∠＝∠

＝

∠2＝∠1∴△≌△()

∴＝(全等三角形对应边相等)2021/1/458例10.如图A、B、C在一直线上，△，例11.如图,∠90º是的中点平分∠,求证平分∠CDBAEF证明:作⊥,垂足为F∵平分∠,∴∠∠B又∵∠90º∴∠90º又∵⊥∴又∵E是的中点∴∴∵∠90º∴⊥∴平分∠∴⊥2021/1/459例11.如图,∠90º是的中点平分CDBAEF证明:作⊥,垂例12.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。∵（已知）（公共边）∴△≌△()∴解：∵∠∠90°2021/1/460例12.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆做一做1、如图，要识别△≌△，除公共角∠A外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。ABCED（1），（）（2），（）（3），（）（4），（）（5），（）（6），（）（7），（）2021/1/461做一做1、如图，要识别△≌△，除公共角∠A外，把还需要的两2、如图，D为中点，⊥，且，∠B与∠C相等吗？为什么？ADCBFE2021/1/4622、如图，D为中点，⊥，且，∠B与∠C相等吗？为什么？3、如图，，、是△的角平分线，△≌△吗？为什么？BACDE2021/1/4633、如图，，、是△的角平分线，△≌△吗？为什么？BACDE24、如图，，，∠∠，△与△全等吗？BACDE2021/1/4644、如图，，，∠∠，△与△全等吗？BACDE2021/1/考考你，学得怎样？5、如图1，已知，∠1=∠2，那么△≌，其判定根据是。6、如图2，△中，⊥于D，要使△≌△，若根据“”判定，还需加条件=，7、如右图，已知，∠A=∠D，请你添一个直接条件，，使△≌△2021/1/465考考你，学得怎样？5、如图1，已知，∠1=∠2，那么△≌8、如图，已知＝，＝，延长交于D，则图中全等三角形共有（）（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对9、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）（A）一锐角和斜边对应相等（B）两条直角边对应相等