微积分-18、第五次习题课答案

第五次习题课：不定积分的计内容：原函数基本概念、凑微分法、变量替换法、分部积分f

C

x F(x)xC,1x 3C3

x其中，C1、C2、C3是任意一组使得函数连续的常数。 其中一个，其它两个就可以取定了。按题意应该取C21这时C13,C33用凑微分法求不定积（1）sin sinxcos

3sinxcosxdx

sin4xcos4（1）想sinxA(sinxcosx)B(sinxcosA(sinxcosx)B(cosxsin比较系数得到A12B12.进而sin 1sinxcosxdx1sinxcosxdxsinxcos sinxcos sinxcos1xln|sinxcosx|2 与（1）类似，可以将3sinxcosx3sinxcosxa(sinx2cosx)b(sinx2cosa(sinx2cosx)b(cosx2sin比较系数可得，a1,b 进3sinxcosxsinx2cos

dx sinx2cossinx2cos

dx cosx2sinxsinx2cosxln|sinx2cosx|sin4xcos4 11sin4xcos4

12sin2xcos212arctantan2212arctantan22 d 1cos2

dtan(2x)2tan2

tan212

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则下列结论正确的有( A．当f(x)是奇函数时，F(x)是偶函数；B．当f(x)F(xC.f(x)F(x)D.f(x)F(x)是单调函数。答案:A1x(1xex1

d(xex 解x(1xex)dxxex(1xex

xex(1xex

（

t

(1tt)dt

( )dtln 1t 1t

ln1xex6．

ex1ex

解：

ex1ex1dx

exdx

e2xe2xe2x

de

ln(ex

e2x1)arcsinex1e21e2

解

sinxcos2

tan1lntanxd(lntanx)1(lntanx)2 1 解：法 令xtant,dx1 cos3t11 1sin2 sin

sin4tdtd(sint)

11t31t

1 1 1t法 令xt,则dxt1t11t11t

t

1 t2d(t2)

(令ut22

u

(1)11

du1u1u112

1udu

11111x (1t2)2(1t2)2C11

x111(2)1

1udu

(1u)2C31设f(sin2x)x，求 xf(x)1u xu x1解：令usin2x1

x

,f(x) 11xx

xf(x)dx xdx

xd

1xsinn

1x

sinnxdxsinn1xdcosxsinn1xcosx(n1)sinn2xcos2sinn1xcosx(n1sinn2x(1sin2sinn1xcosx(n1)sinn2xdx(n1)sinn

nsinnxdxsinn1xcosxn1)sinn2xdxsinnxdx1sinn1xcosx(n1)sinn2 1sinn1xcosx(n1)sinn3xcosx(n1)(n3)sinn4n

n(n

n(n1sinn1xcosx(n1)64sin2xcosx(n1)!!cosx

(n奇 1sinn1xcosx(n1)!!sinxcosx(n1)!!x

(n偶nx3x（1）(x1)2(x2x

x3x(2)(x1)(x2x1)2dx（留作课后练习（1）3 3

A

CxD,(x1)2(x2x

x (x

x2x令x

A(x1)(x2x1)B(x2x1)(CxD)(x1)2得B1.令x0AD 比较x3的系数,得AC B=-1,2AC2D 由(ab),(c)得到A2CD

1 x1

(x1)(x2x1)2dx2ln|x1|x1x2x3d2x3x d(x2x 3d2x3x2x

(xx1) ln(xx1)

x

2x13 3 2x31ln(x2x1) 3 2x3 (x1)(x2x 3x3x2

lx

xtanxdx,cos4

xdx(P.256

xtanxdx

xdcosxcos4

cos5 4cos4

4cos4

1(tanx

4cos4xx

dxxx

xx2xxx

x1xxxxxx

xx xx1计算不定积分x(x1011解：用倒代换 dx x(x10

t1(t 1t10dt1011ln(1x10)1设xf(x)dxarcsinxC,求f(x11 解：由题意xf(x) 所 1 11

f

sinf(x)dx

dxxcostcostsin1x (1cos2t)dtsintln|secttant1xcos1 ln|x11111

|x2|ln|xx2F(x)是f(x)x0如果F(01F(x0,求F

f(x)F(x)

(x2)2f(x)F(x)F