三年中考数学模拟题知识点分类汇编之：图形的相似

三年浙江中考数学模拟题分类汇编之图形的相似一.选择题（共22小题）（2022•嘉兴二模）如图，点F,G分别在正方形4BCO的边BC,CQ上，E为AB中点,连结ED,正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为Si,正方形FPQGC.4C.49：10D.49：20（2022•金华模拟）如图，四边形ABC。是边长为2的菱形，且有一个内角为72°,现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'CD,线段AB与线段8C交于点P,连接BB,.当五边形AbBCO为正五边形时，空长为（ ）（2022•松阳县二模）正方形A8CC中，两条对角线交于点。，点E为边8c的中点，过点。作DFLAE,交A8于点F,交04于点M,AE与BD交于点N,记p=电，4=理,OM0N）B.p>q=r C.p〈q=r D.p=q=r（2022•乐清市一模）等积变换法是证明勾股定理的常用方法之一.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,以A8为边向下做正方形AOEB,CN平分NAC8分别交48,于M,N,过点A,B分别作AG〃BC,BF//AC,交CN于点G,F,连结OG,利用此图形可

以证明勾股定理，记△AMG,△QGN的面积分别为Si，S2,若Si+$2=7,FG=2&，则TOC\o"1-5"\h\zAB的长为（ ）A.2V6 B.5 C.V26 D.V34（2022•诸暨市模拟）如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片.根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（ ）且△斗£）£的面积为9,则四边形BCE。的面积为（（2022•鹿城区校级二模）如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,以△ABC的三边为底边分别在AC的上方作三个相似的等腰三角形，/XABDsAACFsABCE,且AFLO8于点G,BE交CF于点H,若理_=3,则E4的值（ ）GB2HE

TOC\o"1-5"\h\zA CA.2 B.A C.屈_] D.恒7 5 10 10（2022•嘉兴二模）如图，在平面直角坐标系中，以P（0,-1）为位似中心，在y轴右侧作△4BP放大2倍后的位似图形若点B的坐标为（-2,-4）,则点B的对（2022•乐清市三模）如图，在直角坐标系中，△ABC与是位似图形，则位似中心为（ ）A.点M B.点N C.点O D.点、P（2021•温州模拟）如图，在4X7的方格中，点A,B,C,。在格点上，线段C。是由线段A8位似放大得到，则它们的位似中心是（

A.点Pi B.点尸2 C.点P3 D.点P4（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（1,0）,点O的坐标为（3,0）,若△ABC与AOEF是位似图形，则2g的值是（ ）DF2 3 3 4（2021•西湖区校级三模）用一把剪刀将一张直角三角形纸片剪成两个三角形，则这两个三角形一定不会是（ ）A.两个相似三角形 B.两个等腰三角形C.两个锐角三角形 D.两个周长相等的三角形（2021•永嘉县模拟）如图，四边形A8CO与四边形E尸GH是位似图形，坐标原点。是位似中心，B（0,2）,点F（0,-6）,边AO在x轴的正半轴上.若CO=2.4,则4G为（）A.6.8 B.7 C.7.2 D.7.4（2021州区模拟）如图，在RtA4BC中，NACB=90°,。是A8上一点，以BD为直径的半圆。与AC相切于点E,交BC于点凡若CF=3,AD=6,则。。的半径为（ ）ADOBTOC\o"1-5"\h\zA.4 B.5 C.6 D.7（2020•拱墅区模拟）如图，点。，E,F分别在△ABC的各边上，S.DE//BC,DF//AC,若4E：EC=1：2,BF=6,则OE的长为（ ）BFCA.1 B.2 C.3 D.4（2020•鹿城区校级二模）著名画家达•芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中NACB=NE/O=90°,CB=EJ,连结“F,CJ,得到4个全等的四边形”尸G/,四边形”尸8A,四边形CJEA,四边形JCBD.CJ分别交A8,ED于点M,N,若MN：£7=5：9,且48=5,则"F的长为（ ）A.6a/3 B.772 C.872 D.3710（2020•乐清市一模）如图，在矩形4BCO中，AB>BC,延长QC至点E使得CE=BC,延长BC交以QE为直径的半圆。于点F,连接0?欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了一个重要的结论.现延长尸O交AB于G,若AG=BG,OF=4,则CF的长为A.273 B.3 C. D.MH.TOC\o"1-5"\h\z5 5（2020•温州三模）两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形4BC£）,其中△ADHsABAE,AADH当ACBF,/XABE^^CDG.若EF：FG=l：2,AB：BC=2：3,则矩形EFG”与矩形ABC。的面积之比为（ ）A.型 B.5 C.A D.至85 9 2 51（2020•天台县模拟）如图，在△ABC中，点E是线段AC上一点，AE：CE=1：2,过点C作CD//AB交BE的延长线于点D,若△ABE的面积等于4,则△BCO的面积等于A.8 B.16 C.24 D.32（2020•杭州模拟）如图，已知，M,N分别为锐角NAO8的边OA,08上的点，ON=6,把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点尸，若MN=MP=5,则PN=（）..k0 MAA.2 B.3 C.且 D.改3 3（2020•拱墅区校级模拟）如图，在RtZXABC中，NC=90°,点P是边AC上一点，过点P作PQ〃4B交于点Q,。为线段尸。的中点，8。平分N4BC,以下四个结论①△8QO是等腰三角形；②B0=OP；③附=1QP；®-SaABC.=（1+型）2；其中正确的2S/kpcQCQTOC\o"1-5"\h\z结论的个数是（ ）BA.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2020•拱墅区二模）已知上@_=2,则工的值为（ ）y5ya.§ B.A c.-L d.£4 5 12 5二.填空题（共3小题）（2022•嘉兴二模）如图，在△ABC中，AO为NC4B的平分线，DE//AB,若OE=3,CE=4,则AB的值.（2021•嘉兴一模）如图，四边形AE/7/与四边形A8CO是位似图形，位似比为2,且3四边形A8CO的面积为90%％2,则四边形AEH7的面积为.EBEB(2020•上城区校级三模)如图，在RtZXABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,4c于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P,射线AP交边BC于点D,若4cs/XABC,则NB=度.三.解答题(共5小题)(2021•婺城区模拟)在矩形48co中，AB=4,点P是直线CO上(不与点C重合)的动点，连结8P,过点8作BP的垂线分别交直线A。、直线CO于点E、F,连结PE.(1)如图，当AO=4,点P是CO的中点时，求tan/EBA的值；(2)当AO=2时，①若与△8PE相似，求OP的长.②若尸是等腰三角形，求OE的长.(2021•永嘉县模拟)如图，点C,。在以AB为直径的半圆。上，AD=BC，切线OE交AC的延长线于点E,连接OC.(1)求证：ZACO=ZECD.(2)若NCDE=45：DE=4,求直径A8的长.(2021•拱墅区二模)如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是8C延长线上一点，NF=NB.(1)若A8=10,求FD的长；(2)若AC=BC,求证：ACDEs4DFE.

(2021♦宁波模拟)如图，四边形A8C。内接于。0,对角线4C为。。的直径，过点C作AC的垂线交4。的延长线于点E,点尸为CE的中点，连接。B,DF.(1)求证：。尸是。。的切线；(2)若08平分NAOC,AB=a,AD：DE=4：I,写出求OE长的思路.(2020•衢州模拟)(1)模型探究：如图1,D、E、3分别为△ABC三边BC、AB.AC上的点，且NB=NC=NECF=a.△BCE与相似吗？请说明理由；(2)模型应用：AABC为等边三角形,其边长为8,E为AB边上一点，尸为射线AC上一点，将aAE尸沿E尸翻折，使A点落在射线CB上的点。处，且80=2.①如图2,当点O在线段BC上时，求岖的值；AF②如图3,当点。落在线段CB的延长线上时，求△BOE与△CFQ的周长之比.图1图图1图2图3三年浙江中考数学模拟题分类汇编之图形的相似参考答案与试题解析选择题（共22小题）（2022•嘉兴二模）如图，点F,G分别在正方形A8CO的边8C,8上，E为AB中点,连结ED,正方形FGQP的边PQ恰好在DEL,记正方形ABCD面积为Si,正方形FPQG面积为S2，则Si：S2的值为（ ）【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力.【分析】由相似三角形的性质和锐角三角函数可求0c=24=病0+2近》,即可求解.5【解答】解：•••四边形ABCQ是正方形，：.AB^AD^DC,ZA=ZADG=ZC=90°,•.•四边形尸GQP是正方形，/.ZPQC=ZDQG=90°,Z<2GF=90",：.ZADE+ZQDG=ZQDG+ZDGQ=90°,，ZADE=NDGQ,VZA=ZDQG=90°,.ADQG"AE"qd'设正方形ABCD的边长为2a,则AD=DC=AB=2a,为AB中点，：.AE=a,.QG=2a=2QDa设正方形尸GQP的边长为2江则尸G=QG=2h,QD=h,•,•£)G=VQG 2【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质；正多边形和圆；旋转的性质.【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力.【分析】连接8C', 2【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质；正多边形和圆；旋转的性质.【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力.【分析】连接8C',AC',根据正五边形的内角和先求出NCD4'=108°,再根据菱形和旋转的性质可得C£>=AO=£）C'=AB=2,AB//CD,A'D//B'C',ZADC=ZA'DC=72°,ZCDC'=ZADA',从而可得NCDC'=ZADC'=36°,进而可,:NDGQ+NFGC=90°=ZDGQ+ZGDQ,:.NGDQ=NFGC,：.cosZGDQ=cosNFGC=旦旦，DGFG*b—GCV5b2b：.GC=?^-b,549X52~~b故选：D.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键.（2022•金华模拟）如图，四边形A8CD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°,现将其绕点。顺时针旋转得到菱形线段AB与线段后。交于点P,连接8乩当五边得点O,C',B在同一条直线上，然后求出NA8C'=ZBAC'=36",从而可设AC'=BC'=x,再证明△BAC'sXBDA,利用相似三角形的性质求出BC的长，最后再证明△BPC'是等腰三角形,从而可得BC'=BP=y/5-1.进而求出4P的长，进行计算即可解答.【解答】解：连接BC',AC',,：五边形A'B,BCD为正五边形，；.NCDA'=（5-2）X180°=[08。,5•菱形ABCD绕点O顺时针旋转得到菱形A'B'CD,：.CD=AD=DC'=A8=2,AB//CD,A1D//B1C',NAOC=NA'DC'=72°,NCDC'=ZADA',：.ZCDC'=ZADA'=ZCDA'-ZADC=36°,/.AADC=NADC-NCDC'=36°,:.NCDC'=ZADC=36°,：.DC/平分NAQC,；.点D,C',8在同一条直线上，'：AD=AB,，NAOB=NA8£>=36°,'：AD=DC',：.ZDAC'=NDC'A=72°,,:AB〃CD,，N£）AB=180°-ZADC=108°,ZBAC'=ZDAB-NDAC'=36°,AABC'=ZBAC=36°,：.AC'=BC,设AC'—BC'=x,VAABC=NABD,ZBACf=ZADB=36°,・BA_BCZ••-…，— ,BDBA.2-x••商一万，：.x=y/5-1或x=-麻-1（舍去）,：.AC'=BC=V5-1>VA,D//B'C,.♦.NA'DC=NBC'B'=72°,:.NBPC'=180°-NBC'P-ZABD=12°,.♦.NBC'P=NBPC'=72",：.BC=BP=y/5-1,：.AP=AB-BP=3-疾,-BP^V5-1^V5+1."AP3^5―2~故选：B.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.（2022•松阳县二模）正方形ABCO中，两条对角线交于点O,点E为边8c的中点，过点D作DF±AE,交AB于点F,交04于点M,AE与BD交于点N,记p=电，q=典,OMONA.p=q>r B.p>q=r C.p<q=r D.p=q=r【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.【专题】图形的全等：矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力.【分析】证明△ABE丝△D4F,得4F=BE,设正方形ABCO的边长为a,用。表示BF,连接OF,得OF是△48。的中位线，证明△OFMs/viom,用a表示0M,进而求得p的值，再证明△BENs/XZMN,根据相似比求得r与q,最后比较得出结论.【解答】解：,••四边形ABCQ是正方形，：.ZBAD=ZABC=9Q°,AB=AD,：.ZDAE+ZBAE=90°,'：DFLAE,：.ZADF+ZDAE=90°,，NBAE=NDAF,mXDAF(ASA),:.BE=AF,设正方形ABC。的边长为a,•.•点E是BC的中点，;.af=be=L,2BF=^a=AF,2连接。凡BEC•.•四边形ABC£)是正方形，OA=OC=OB=。。=/AC a，二。尸是△A83的中位线，AOF^lAD,OF//AD,2：.XOFMsXADM,.OMOF1• 二~>AMAD2J_.RF_7a_3V2,,POMV2~26a■:BE//AD,:ABENsADAN,.EN=BNBE1''andn'da.-.r=M=2,BN=_Lrd，EN3ON=OB-BN=LbD-•〃一BN••(J:・p>q=r，故选：B.【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，关键是证明三角形的全等与相似.4.（2022•乐清市一模）等积变换法是证明勾股定理的常用方法之一.如图，在中，ZACB=90",以AB为边向下做正方形AOEB,CN平分NACB分别交48,于M,N,过点A,B分别作AG〃BC,BF//AC,交CN于点G,F,连结OG,利用此图形可以证明勾股定理，记△AMG,△QGN的面积分别为Si,S2,若Si+S2=7,FG=2&，则AB的长为（A.276 B.5 C.V26 D.V34【考点】相似三角形的判定与性质：角平分线的性质：勾股定理的证明.【专题】图形的相似；推理能力.【分析】通过分析题目，结合勾股定理以及相似三角形的判定和性质进行合理推理即可求解.【解答】解：设AC=x,BC=y,'：ZMAC=ZDAG,AD=AB,AG=AC,.♦.△AGOgzMCB(SAS),ZAGD=ZACB=90a,:.△DNGs/\AMC,$2寸SAAMCX ,2得：( ,2得：("+X)X-Z—=7y2x2(x+y),:FC=®,CG=®x,FG=2&，.,•亚-扬=2&,即x=y+2f：.AB=“+丫2=2a，故选：A.SABMCy2■:CN平分4ACB,・AMxMBy.【点评】本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定和性质，解题关键在于通过分析题【点评】本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定和性质，解题关键在于通过分析题意进行合理的推理.5.（2022•诸暨市模拟）如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片.根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（ ）SABMC丫2 2.".51+52=(J+工)Sabmc，Sabmc=—— y2X 2(x5

6【考点】相似三角形的判定与性质：矩形的性质.【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力.【分析】过点A作A，，8c于点，，交OE于点由△ABC的面积为50,求出A”=10,由矩形的性质得出DF=MH=EG,DE//BC,证明△4QEs/\ABC,得出幽幽,AHBC求出MH=4,即可求出矩形的面积.【解答】解：如图所示，过点A作于点4,交OE于点M,：.AH=\0,•••四边形OFGE是矩形，：.DF=MH=EG,DE//BC,：.NADE=ZABC,NAED=ZACB,【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握三角形面积公式,矩形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.（2022•富阳区二模）如图，在△ABC中，点O,E分别在AB,AC上，若坦乱=1,ABAC3且△AQE的面积为9,则四边形8CE。的面积为（ ）【考点】相似三角形的判定与性质.【专题】图形的相似；运算能力.【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△AOEs/viBC,然后利用相似三角形的性质求出AABC的面积=81,最后进行计算即可解答.【解答】解：•.•坦望.」，NA=NA,ABAC3二△ADEs/UBC,.SAADE（AD）2=（工）2=』，^AABC前3 9「△AOE的面积为9,.•.△ABC的面积=81,四边形BCED的面积=ZV1BC的面积-△AQE的面积=81-9=72,故选：C.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键.（2022•鹿城区校级二模）如图，在RtZ\ABC中，NABC=90°,以△ABC的三边为底边分别在AC的上方作三个相似的等腰三角形，/XABDs/\ACFs4BCE,且AFLOB于点G,BE交CF于点H,若幽=3,则里的值（ ）GB2HEA CA.2 B.A C.屈_]D.恒7 5 10 10【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.【专题】三角形；图形的相似；推理能力.【分析】根据相似三角形的性质列比例式分析求解.【解答】解：在中，AB2+BC2=AC2,XVAF1DB,/\ABDsAACFs4BCE,且均为等腰三角形，HBBG••■'一~»HE2BD•DG=3,GB~2BG=2"DG-KJB"3^2,即地=2,BD5.HB_1、，BG_1,•———X——1HE2BD5故选：B.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质进行求解是解决本题的关键.（2022•嘉兴二模）如图，在平面直角坐标系中，以P（0,-1）为位似中心，在y轴右侧作△4BP放大2倍后的位似图形△OCP,若点B的坐标为（-2,-4）,则点B的对

【专题】图形的相似；推理能力.【分析】建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可.【解答】解：以点P为坐标原点，原y轴为y轴建立新的平面直角坐标系，则点8在新坐标系中的坐标为（-2,-3）,；/\ABP与ADCP的位似比为1：2,...点C在新坐标系中的坐标为（4,6）,则点C在原坐标系中的坐标为（4,5）,故选：A.【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于A或-北（2022•乐清市三模）如图，在直角坐标系中，AABC与△AbC是位似图形，则位似中心为（ ）D.点尸A.点M B.点N C.D.点尸【考点】位似变换；坐标与图形性质.【专题】图形的相似；推理能力.【分析】连接8夕，交A4'于点P,根据位似中心的概念解答即可.【解答】解：连接8夕，交AA'于点P,则点P为位似中心,故选：D.

y八【点评】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.（2021•温州模拟）如图，在4X7的方格中，点A,B,C,。在格点上，线段CO是由线段A8位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）A.点Pi B.点P2 C.点尸3 D.点心【考点】位似变换.【专题】图形的相似；推理能力.【分析】延长。、DB交于点Pi，根据位似中心的概念得到答案.【解答】解：延长。、DB交于点Pi，则点Pi为位似中心，故选：A.【点评】本题考查的是位似变换的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么位的连线相交于一点，对应边互相平行，那么位似中心.11.（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐板为（3,0）,若△4BC与是位似图形,£样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做系中，点4的坐标为（1,0）,点。的坐标则星的值是（ ）DFC，3 D，4【考点】位似变换；坐标与图形性质.【专题】图形的相似；推理能力.的坐标为（3,0）,【分析】的坐标为（3,0）,【解答】解：\,点A的坐标为（1,0）,点。：.OA=\,00=3,即处=工，0D3/XABC与△QEF是位似图形，：.AC//DF,.,.△OAC^AODF,.AC=OA=1**DFOD3"故选：B.【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键.（2021•西湖区校级三模）用一把剪刀将一张直角三角形纸片剪成两个三角形，则这两个三角形一定不会是（ ）A.两个相似三角形 B.两个等腰三角形C.两个锐角三角形 D.两个周长相等的三角形【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力.【分析】根据相似三角形的判定和等腰三角形的判定与性质，利用排除法进行解答.【解答】解：当该直角三角形是等腰直角三角形时，沿斜边的中线剪成的两个三角形都是等腰直角三角形，且它们既相似，又全等，且两个三角形的周长相等.观察选项，只有选项C符合题意.故选：C.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和等腰三角形的判定与性质，解题时，需要掌握等腰直角三角形的性质.（2021•永嘉县模拟）如图，四边形A8CO与四边形EFG”是位似图形，坐标原点。是位似中心，B（0,2）,点F（0,-6）,边40在x轴的正半轴上.若8=2.4,则HG为（ ）A.6.8 B.7 C.7.2 D.7.4【考点】位似变换；坐标与图形性质.【专题】图形的相似；推理能力.【分析】根据题意求出位似比，根据位似图形的性质解答即可.【解答】解：•••四边形ABCO与四边形EPG”是位似图形，B（0,2）,点尸（0,6）,四边形ABCO与四边形EPGH的位似比为1：3,VCD=2.4,故选：c.【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键.（2021•郸州区模拟）如图，在RtA4BC中，NACB=90°,。是4B上一点，以BD为直径的半圆O与AC相切于点E,交BC于点F.若CF=3,AD=6,则的半径为（ ）【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质.【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力.【分析】连接OE,OF,过点。作OG_LBC,垂足为G,从而可得/OGC=90°,BF=2FG,根据切线的性质可得/AEO=NCEO=90°,从而证明四边形EOGC是矩形，进而可得OE=CG=r,BC=2r-3,然后证明△AEOs/\ACB,利用相似三角形的性质，进行计算即可解答.【解答】解：连接OE,OF,过点。作OGJ_BC,垂足为G,ADOB：.ZOGC=90a,BF=2FG,设。。的半径为r,与半。0相切于点E,•,.ZAEO=ZCEO=90°,VZACB=90°,四边形EOGC是矩形，.".OE=CG=r,"：CF=3,：.BF=2FG=2(r-3),.\BC=CF+BF=2r-3,・・/A=NA,ZAEO=ZC=90°,:.AAEO^AACB,.AO-OE.. - ——i,ABCB6+r_r6+2r2r-3解得：r=6,经检验：r=6是原方程的根，二。。的半径为6,故选：C.【点评】本题考查了垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关犍.（2020•拱壁区模拟）如图，点O,E,尸分别在△ABC的各边上，且。E〃BC,DF//AC,若4E：EC=1：2,BF=6,则。E的长为（ ）BFCA.1 B.2 C.3 D.4【考点】平行线分线段成比例.【专题】图形的相似；几何直观.【分析】先判断四边形OEC尸为平行四边形得到OE=CF,再利用平行线分线段成比例,由。E〃BC得到迈=鲤，然后利用比例性质得到从而可得到OE的长.BCAC DE+63【解答】解：■:DE//BC,DF//AC,二四边形DECF为平行四边形，：.DE=CF,,JDE//BC,.DE=AE"'BCAC"VAE：EC=\：2,：.AE：AC=\：3,

.DE=11*DE+6~3：.DE=3.故选：C.BFC【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.也考查了比例性质.（2020•鹿城区校级二模）著名画家达•芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中NACB=/E/O=90°,CB=EJ,连结CJ,得至U4个全等的四边形”尸G/,四边形//F8A,四边形CJE4,四边形JCBD.CJ分别交A8,ED于点M,N,若MN：0=5：9,且48=5,则”尸的长为（ ）A./ B.7& c.8V2 D.3V10【考点】相似三角形的判定与性质；全等图形；全等三角形的判定；勾股定理的证明.【专题】图形的全等：推理能力.（分析]过点C作CP1.DE于点P,交AB于点K,设BC=a,AC=b,进而可得CF=®a,CH=y[2b,则有 然后由CM：MN=2：5,得CK=2,最后可得ab=10fa2+b2=25,则问题可求解.【解答】解：过点C作CPLOE于点P,交AB于点K,如图所示：・•四边形"FG/,四边形”F84,四边形C/EA,四边形JCBO都是全等的，：.HF=CJ,ZACB=ZE/D=90°,CB=EJ,AB=ED:./\DEJ（SAS）,易得CM=NJ,:MN：CJ=5：9,：.CM：MN=2：5,:AB〃ED,：.CK：KP=2：5,；AB=5,：.KP=BD=AB=5,・・CK=2,设8C=mAC=b,则 CH=®b,：・CJ=HF=Ma+Mb,由等积法可得，A3・CK=AC・3C,ab=10»由勾股定理可得，（?+扇=25,：.HF^=（近a+近b）2=2（J+2"+户）=90,：.HF=3yflQi故选：。.【点评】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及线段的比，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及线段的比是解题的关键.17.（2020•乐清市一模）如图，在矩形A8CO中，AB>BC,延长0c至点E使得CE=BC,延长BC交以为直径的半圆。于点凡连接。凡欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了一个重要的结论.现延长FO交48于G,若AG=8G,OF=4,则CF的长为()A.273 B.3 C.S立 D.5 5【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；圆周角定理.【专题】图形的相似；推理能力.【分析】根据矩形的性质得到CO=AB,得到。E=4B+BC=2X4=8,OE=OF=4,设BC=CE=x,根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论.【解答】解：•.•四边形ABC。是矩形，：.CD^AB,•；CE=BC,：.DE=AB+BC,•/。尸=4,：.DE=AB+BC=2X4=S,OE=OF=4,设BC=CE=x,：.AB=S-x,•；AG=BG,.•.BG=Xa8=4-L,2 2,JOC//BG,:ACFOs^bFG,.OC=CF"bgW.4-x_CF49xCF+x,,.CF=8-lx,VZOCF=90°,：.OC1+CF1=OF2,：.（4-x）2+（8-2x）2=42,解得：X=40+8泥（不合题意舍去）或工=处空近10 10:.cf=3^.,5故选：C.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键.TOC\o"1-5"\h\z（2020•温州三模）两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCC,其中△ADH^ABAE,△ADg^CBF,AABE^ACDG.若EF：FG=\：2,AB：BC=2：3,则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（ ）A.堂 B.5 C.A D.至85 9 2 51【考点】相似三角形的性质；全等三角形的性质；勾股定理；矩形的性质.【专题】图形的全等；图形的相似；应用意识.【分析】由题意可以假设EH=FG=2a,DH=BF=x,AE=CG=y.利用相似三角形的性质构建方程组，求出x,y（用。表示），再利用勾股定理求出AO,CO（用。表示）即可解决问题.【解答】解：由题意可以假设EF=G”=a,EH=FG=2a,DH=BF=x,AE=CG=y.'.AH=y+2a,BE=x+a,•:△A。/7s△baE,.AD=AH=DH*'ABBEAE*-3_y+2a_x•• ^—92x+ay解得x=&,y=2.a,5'5VZAHD=90°,••.^=VAH2+DH2=-J(-ya)2+(-|a)2=^yL^CO=g=^L,，矩形E尸G”与矩形A8CO的面积之比=2次Ja/JLXHU旦5 5 51故选：D.【点评】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.(2020•天台县模拟)如图，在△A8C中，点E是线段AC上一点，AE：CE=\：2,过点C作CD//AB交BE的延长线于点D,若△ABE的面积等于4,则△BC。的面积等于A.8 B.16 C.24 D.32【考点】相似三角形的判定与性质.【专题】数形结合；三角形：图形的相似：运算能力；推理能力.【分析】先由CO〃48,证得△ABEs/\cde,再根据已知条件及相似三角形的性质得出Sacde的值，然后根据△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等及CE=2AE,得出S&BCE的值，最后利用关系式SaBCD—SaCD£+SaBC£＞可得答案.【解答】解：'JCD//AB：.XABEsACDE又「AE：CE=1：2.saabe=1S/kCDE4,•*5a4BE=4:,Sacde=16TAE：CE=1：2：.CE=2AEV/\BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等••S^bce—2S^abe•S/\4BE=4aSabc£=2X4=8SaBCD=S&CDE^SABCE=16+8=24故选：c.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及等高三角形的面积关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.（2020•杭州模拟）如图，已知，M,N分别为锐角N4OB的边。4,OB上的点，ON=6,把△OMN沿MN折叠，点。落在点C处，MC与OB交于点P,若MN=MP=5,则PN【考点】相似三角形的应用；翻折变换（折叠问题）.【专题】图形的相似；几何直观.【分析】依据/CPN=NCVM,ZC=ZC,即可得到△CPNs/\CNM,再根据相似三角形的性质，即可得到CP=4,进而得出PN的长.【解答】解：•：MN=MP,：.NMNP=NMPN,：.ZCPN=4ONM,由折叠可得，NONM=NCNM,CN=ON=6,:.NCPN=NCNM,又，；NC=4C,：.ACPNs[\CNM,空=型，即CN2=CPXCM,CNCM/.62=CPX（CP+5）,解得CP=4,V..PN=CP'NMCN".PN_4••—»56：.PN=W,3故选：D.，乂O MA【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.21.（2020•拱墅区校级模拟）如图，在RtZVIBC中，ZC=90°,点P是边AC上一点，过点P作PQ〃A8交BC于点。，。为线段PQ的中点，8。平分NA8C,以下四个结论①s△BQO是等腰三角形：@BQ=DP-,③以=」QP；©..AABC=（1+里）2；其中正确的2S/ipcqCQ结论的个数是（ ）BA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质.【专题】图形的相似；应用意识.【分析】利用平行线的性质角、平分线的定义、相似三角形的判定和性质一一判断即可.【解答】解：:.NABD=ZBDQ,又NABD=NQBD,:.NQBD=NBDQ,J.QB^QD,•••△BQO是等腰三角形，故①正确，,:QD=DF,:.BQ=PD,故②正确，'：PQ//AB,.BQ=PA*'BCAC"与8C不相等，...BQ与雨不一定相等，故③错误，；NPCQ=90°,QD=PD,：.CD=QD=DP,'：/\ABCsApQC,：.Saabc=（里）2=（CQ+BQ-）2_（1+Cp_）2,故④正确，TOC\o"1-5"\h\z^APQCCQCQ CQ故选：c.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.（2020•拱墅区二模）已知上纹=2,则上的值为（ ）y5yA.5 B.A C.-L D.£4 5 12 5【考点】比例的性质.【专题】计算题.【分析】根据比例的性质解答即可.【解答】解：由三纹上，可得：2y=5（x-2y）,y5解得：5x=l2y9所以三的值为12,y5故选：D.【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质得出x,y的关系式.二.填空题（共3小题）（2022•嘉兴二模）如图，在△ABC中，AO为NC48的平分线，DE//AB,若DE=3,CE=4,则AB的值一4【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质.【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力.【分析】由角平分线的性质得出由平行线的性质得出=进而得出/E4O=NED4,得出EA=ED=3,由DE//AB,证明由相似三角形的性质即可求出AB的长度.【解答】解：为/CAB的平分线，:.乙BAD=4EAD,,JDE//AB,:.NEDA=NBAD,：.ZEAD=ZEDA,：.EA=ED,,：DE=3,：.EA=3,\'DE//AB,：.NCED=ACAB,NCDE=NCBA,：.ACEDsACAB,.CEDE••一一’—>CAAB'：DE=3,CE=4,EA=3,：.CA=CE+EA=4+3=7,.4.3"7"ab'：.AB=2k,4故答案为：21.4【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.（2021•嘉兴一模）如图，四边形AE尸，与四边形A8CO是位似图形，位似比为2,且3四边形ABCD的面积为900c,后,则四边形AEFH的面积为400c.D CA EB【考点】位似变换.【专题】图形的相似：推理能力.【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出四边形的面积.【解答】解：：四边形4EFH与四边形ABCO是位似图形，位似比为2,3・'・S四边形AEFH：S四边形A5c0=4:9,•/四边形ABCD的面积为900cm2,四边形AEFH的面积=400〃",故答案是：400cm2.【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方.（2020•上城区校级三模）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交4B,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P,射线AP交边8C于点。，若AD4csZVIBC,则NB=30度.【考点】相似三角形的性质；作图一基本作图.【专题】图形的相似；应用意识.【分析】证明NC4B=2NB,根据直角三角形两锐角互余，构建方程求解即可.【解答】解：由作图可知，AO平分/C4B,：.ZCAD=ZDAB,■:ADACsAABC,：.ZCAD=ZB,；.NCAB=2NB,VZCAB+ZB=90°,.•.3/8=90°,,,.ZB=30",故答案为30.【点评】本题考查作图-基本作图，相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.三.解答题（共5小题）（2021•婺城区模拟）在矩形ABCO中，AB=4,点P是直线CO上（不与点C重合）的

动点，连结BP,过点8作BP的垂线分别交直线A。、直线CD于点E、F,连结PE.（1）如图，当AO=4,点P是CO的中点时，求tan/EBA的值：（2）当A£）=2时，①若△£）「£；与△BPE相似，求OP的长.②若△「£：尸是等腰三角形，求。E的长.£【考点】相似形综合题.【专题】几何综合题；运算能力；推理能力.【分析】（1）根据矩形的性质及同角的余角相等可得NA8E=NP8C,再运用三角函数定义即可求得答案；（2）①根据△£＞「£：与△8PE相似，PE是公共斜边，可得△OPEgZ\BPE或△。?£;与4BEP,分两种情况讨论即可；③由△PEF是等腰三角形，可得尸E=PF或PE=EF或分三种情况进行讨论.【解答】解：(1)•••四边形ABC。是矩形，：.AB=CD^4,BC=4£>=4,ZABC=ZBAD=ZBCD=90°,；.NABP+NPBC=9Q°,♦.,点P是CO的中点，：.CP=1.CD=2,2■:BPLEF,：.ZABE+ZABP=90°,：.NABE=NPBC,tanZEBA=tanZPBC=^5.=BC42(2)①:△OPE与△BPE相似，PE是公共斜边，ADPE父4BPE或△OPEdBEP,当△OPEg/XBPE时，：.PB=PD,设PD=x,贝I]PB=x,PC=4-x,在RtZ\BPC中，BC2+PC2=PB2,,\22+(4-x)2=*,解得:x=—,2：.PD=^-.2当△OPE丝△BEP时，如图2,:DP=BE>AB,...点P在。C的延长线上，•:/XDPE与丛BEP,：.DP=BE,DE=BP,在aOE尸和△BPF中，'NDFE=/BFP,NEDF=NPBF，DE=BP:.△DEFgABPF(/US),：.DF=BF,设DF=BF=m,则CF=4-m,在RtZXBFC中，BC2+Cf2=FB2,22+(4-tn)2=m2,解得：m=$,2；.DF=BF=S,CF=&,2 2'：ZFBC+ZPBC=90°,NPBC+NBPC=90°,：./FBC=/BPC,■:NBCF=NBCP,:ZBCsABPC,3_•CF—BCpn2—2BCCP2CP，CP=旦，3.•.OP=OC+CP=4+3="33综上所述，尸。=5或空.23②•••△「£?是等腰三角形，:.PE=PF或PE=EF或PF=EF,当PE=P尸时，如图3,:BPVEF,：.EB=BF,：.EF=2FB,:BC//AD,△尸BCs△尸EZ),.BC=FB=1"DEEF~2，OE=2BC=2X2=4；当PE=EF,点P在CO的延长线上时，如图4,设CF=m,则DF=m+4,:PE=EF,EDLPF,\。尸=。尸=机+4,:.CP=DP+DC=/n+8,:NPBF=NPCB=NBCF=90°,•・/PBC+NBPC=90°,NPBC+NFBC=90°,:・NBPC=NFBC,:.APBCsABFC,•CP-BC即in+8-2•而—京'丁一7'V/n>0,\m=2y/s~4,：.CF=2yf5-4,DF=2心,:BC〃AD,:AFBCsAFED,.•.K=竺，即2=的4.DEDF DE275de= =10+4我：2V5-4当PE=EF,点尸在。C的延长线上时，如图5,设CP=t,贝i」OP=f+4,"：PE=EF,EDIPF,：.DP=DF=t+4,：.CF=DF+DC=t+8,:NPBF=ZPCB=NBC尸=90°,：.ZPBC+ZBPC=90°,NPBC+NFBC=9Q°,:.NBPC=NFBC,:.△PBCs^BFC,•CP-BC即t_2BCCF2t+8Vr>0,/.r=2V5-4,:・CP=2辰-4,DF=2娓,CF=2娓+4,*：BC//AD,MFBCsAFED,.BC.CFpn2_2V5+4DEDFDE275:.DE=--^_=10-475；2V5+4当尸尸=E尸时，如图5,,:PF=EF,：.NBEP=NDPE,'：ZEBP=ZPDE=90°,:.ABEPqADPE(AAS),：.BP=DE,设CP=〃，则OP=4+〃，:.DE2=BP2=BC2+CP2=4+n2,■:NFBP=NBCF=NBCP=9Q°,:.NBFC+NFBC=9Q°,ZFBC+ZPBC=90",/BFC=ZPBC,:ABFCs^PBC,.CF=BC即史=2^BCCP''~2n：.DF=4-^-,EF=PF=n+2,n n'：DE?+DF1=EF1,.,.4+M+(4-A)2=(〃+_1)2,n n解得：〃=旦，3。“山+产=J4+偿）2=学综上所述，OE的长为4或10+4遍或10-4瓶或283

B图1【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角函数定义等，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键.(2021♦永嘉县模拟)如图，点C,。在以AB为直径的半圆。上，AD=BC.切线OE交AC的延长线于点E,连接OC.(1)求证：NACO=NECD.(2)若NCDE=45°,DE=4,求直径AB的长.E【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质.【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力.【分析】(1)先证明AO〃C£>,可得NECD=NC4。，即可得结论:(2)通过证明△AOCs/XEQC,可得些注步，即可求解.AOC0【解答】证明：(1)如图，连接。£),EAE=BC，AC=BD，:.ZAOC=ZBOD,'：OA=OC=OD,：.ZOAC=ZOCA,ZOCD=ZODC,,:ZAOC+ZBOD+ZCOD=180°=NOCD+NODC+NCOD,：.NOCD=ZAOC,J.AO//CD,:.NECD=NCAO,：.ZACO=NECD；：£)£：是0。切线，AZEDO=90°,•；NCDE=45°,,\ZCDO=45°,：.ZAOC=45°=NOCD,，NCOO=90°,：.CD=yj2OC,VZAOC=ZCDE=45°,NACO=NECD,：.△AOCs/XEOC,AOCO.•.AO=W=2&,V2：.AB=4yf2-【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.(2021•拱墅区二模)如图，在△ABC中，。、E分别是边AC、BC的中点，尸是BC延长线上一点，ZF=ZB.(1)若48=10,求尸。的长；(2)若AC=8C,求证：△CDEs/XDFE.【考点】相似三角形的判定：三角形中位线定理.【专题】常规题型.【分析】(1)首先利用中位线定理得到以及OE的长，再证明/OEC=N尸即可；(2)根据等腰三角形的性质得到NA=/8,进而求出NCOE=NF并结合NCEO=NDEF即可证明ACDEs△QFE.【解答】解：(1)E分别是AC、BC的中点，J.DE//AB,DE=1AB=5,2,JDE//AB,；.NDEC=NB,而N尸=NB,，NDEC=NF,：.DF=DE=5i'：AC=BC,：.ZA=ZB,■:乙CDE=4A,NCED=NB,:.NCDE=NB,；NB=NF,:.NCDE=NF,'：NCED=NDEF,:.△CDEs^DFE,【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两个角相等的三角形是相似三角形，此题难度不大.29.(2021♦宁波模拟)如图，四边形A8C。内接于。0,对角线4C为。。的直径，过点C作AC的垂线交AO的延长线于点E,点F为CE的中点，连接OB,DF.(1)求证：。尸是。。的切线；(2)若08平分NAOC,AB=a,AD：DE=4：I,写出求OE长的思路.【考点】相似三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质：切线的判定与性质.【分析】（1）连接0D,直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出NO。尸=NODC+NFDC=NOCD+NDCF=90°,进而得出答案：（2）首先证明证明△ABC是等腰直角三角形；其次其次4c的长；再证明AC£）s得至|JAd=AZ）・AE；最后由相似三角形的性质即可求出OE的长.【解答】解：（1）证明：连接OD•；OO=OC,:.NODC=ZOCD.：AC为。。的直径，/.ZADC=ZEDC=90°.•点尸为CE的中点，：.DF=CF.：.4FDC=NFCD.：.ZFDO=ZFCO.又；AC上CE,:.NFDO=NFCO=90°....£＞尸是。。的切线；（2）①由08平分N4OC,AC为。。的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；②由A8=a,求出4c的长度为&a；③由NACE=NAOC=90°,NCAE是公共角，证明△AC£）s/\aeC,得到AC1=AD-AEi④设。E为x,由AO：DE=4：1.求出。£=&a.10解：・・・。8平分乙4。。，:./ADB=/CDB,：.ZBAC=ZBCA,〈AC为OO的直径，AZABC=90°,・・・△ABC是等腰直角三角形，,•*AB=cif：.AC=y/2a,•.•/4CE=NAOC=90°,NCAE是公共角,.,.△ACD^AAEC,；.AC：AE=AD：AC,：.AC2=AD*AE,设OE为x,"：AD：DE=4：1,J.AD=4x,：.（近a）2=20x2,解得10g|JDE=J^~a.10【点评】此题主要考查了圆的切线的判定以及性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判断和性质、勾股定理等知识，结合圆的性质和已知条件证明△4COs/XAEC是解题关键.（2020•衢州模拟）（1）模型探究：如图1,。、E、尸分别为△ABC三边BC、AB.AC上的点，且N8=NC=NE£）F=a.△BCE与△CFO相似吗？请说明理由；（2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8,E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△人£尸沿E尸翻折，使A点落在射线C8上的点。处，且8£>=2.①如图2,当点。在线段BC上时，求处的值；AF②如图3,当点。落在线段C8的延长线上时，求△BOE与的周长之比.图1 图2 图3【考点】相似形综合题.【专题】综合题；推理能力.【分析】（1）利用等式的性质判断出NBEO=NC£＞凡即可得出结论；（2）①同（1）的方法判断出△BQEs/XCFQ,得出比例式，再设出4E=x,AF=y,进而表示出BE=8-x,CF=8-y,CD=6,代入比例式化简即可得出结论：②同①的方法即可得出结论.【解答】解：（1）ABDEsACFD,理由：NB=NC=NEDF=a,在△BCE中，ZB+ZBDE+ZBED=180°,/.ZBDE+ZB£D=180°-ZB=180°-a,■:NBDE+NEDF+NCDF=180",AZBDE+ZCDF=180--Z£DF=180°-a,:.NBED=NCDF,VZB=ZC,:.△BDEs^CFD；(2)①设AE=x,AF=y,'：/\ABC是等边三角形，AZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=S,由折叠知，DE=AE=x,DF=AF=y,ZEDF=ZA=60°,在ABOE中，NB+NBDE+NBED=180°，\ZBDE+ZBED=180°-NB=120°,/ZBDE+ZEDF+ZCDF=180°,\ZBDE+ZCDF=180°-ZEDF=120°，•・/BED=NCDF,/ZB=ZC=60°,ABDE^ACFD,・.BDJEJE'cf'cd'fd：BE=AB-AE=S-xfCF=AC-AF=S-yfCD=BC-BD=6,-2_8-x8-y-6-y.2y=x(8-y)6x=y(8-x)x_10_5二=，y147AE5—=—；AF7②设AE=jgAF=y,：/\ABC是等边三角形，/.ZA=ZABC=ZACB=60°,AB=8C=AC=8,由折叠知，DE=AE=xfDF=AF=y,ZEDF=ZA=60°,在△BOE中，NABC=NBDE+NBED=60°,ZBDE+ZCDF=ZEDF=60°,:./BED=NCDF,ZABC=ZACB=60°,AZDBE=ZDCF=120°,:.△BDEsfFD,,・BD二叫JE**CF"CD'FD9：BE=AB-AE=S-x,CF=AF-AC=y-S,CD=BC+BD=\0,...2_8-x工..(2y=x(y-8),110x=y(8-x)X_1•―y3■:ABDEsACFD,：./\BDE与ACFD的周长之比为理=2_=_1.DFy3【点评】此题是相似三角形综合题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等式的性质，判断出△BCEs/xcfo是解本题的关键.考点卡片.坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律.3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题..全等图形(1)全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形.(2)全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.(3)三角形全等的符号“全等”用符号“二”表示.注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上.(4)对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角..全等三角形的性质(1)性质I：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等(2)关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和时应边.②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角..全等三角形的判定(1)判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4：A4S--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5： -斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边..全等三角形的判定与性质(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形..角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，在N4OB的平分线上，CD1.OA,CELOB：.CD=CE.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论..等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以,有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选择简便方法来解决..勾股定理(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+必=02.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式/+/>2=©2的变形有：a=yj,b=dc2及c=da2+bZ(4)由于。2+y=移>42,所以c>“，同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边..勾股定理的证明(1)勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的.先利用拼图的方法,然后再利用面积相等证明勾股定理.(2)证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理..三角形中位线定理(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.(2)几何语言：如图，•.•点£＞、E分别是A8、AC的中点/.DE//BC,DE=1-BC..菱形的性质(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.(3)菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式.②菱形面积=工江(。、6是两条对角线的长度)2.矩形的性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半..正方形的性质(1)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.(2)正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角：③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰宜角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴..垂径定理(1)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(2)垂径定理的推论推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧..圆周角定理(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.(3)在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.(4)注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角..圆内接四边形的性质(1)圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).(2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补..切线的性质(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点