一元二次方程的应用综合-讲义（解析版）

专题10一元二次方程的应用综合【题型1与一元二次方程有关的三角形动点问题】【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC内，AB=f）cm,BC=lcm,NA8C=30°,点P从A点出发，以Ic/n/s的速度向B点移动，点。从8点出发，以2cMs的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、。两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4c/n2?C【解题思路】过点Q作QE1PB于E,由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QE=扣B,设经过/秒后△PB。得面积等于公/，则PB=6-r,QB=2t,QE=t,根据△PBQ的面积等于4「苏，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.【解答过程】解：如图，过点。作于E,则NQEB=90°.VZABC=30°,1:.QE=^QB.设经过/秒后△尸3。得面积等于4cm2,则PB=6-/,QB=2t,QE=t,根据题意得：I*（6-r）・r=4,整理得:»-6f+8=0,解得：n=2,n=4.当f=4时，2，=8,8>7»不合题意舍去，:.t=2.答：经过2秒后△尸3Q的面积等于4c/.【变式1・1】（2020秋•茶陵县期末）如图1,在△48C中，N4=90°,AB=\2cm9AC=Scm9现有动点尸从点3出发，沿射线34方向运动，动点。从点C出发，沿射线。方向运动，已知点P的速度是2c而s,

求△APQ的面积式求解利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是注意分类讨论设经过1秒△求△APQ的面积式求解利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是注意分类讨论设经过1秒△4PQ的面积是△ABC面积的一半点。的速度是lcm/s，它们同时出发，设运动时间是rs(f>0)进而表示出AP=点P的速度是2cth/s,点Q的速度是lm/sAP=4cm,AQ=4cmf经过多少秒时，△4PQ的面积是△4BC面积的一半根据点尸的速度是2cm/s,点。的速度是Icvn/s,AP^4cm,AQ=4cvn,利用面积公A1S3Q=5(2r-12)(8-t)=24,整理得P-14*72=0,△<0,无解.当f>8时如图3：整理得r-14/+24=0.解得f=12或r=2（舍去）.综上所述：经过2秒或12秒尸。的面积是△ABC面积的一半.【变式1-2］（2021•广州模拟）如图所示，/XABC中，NB=90°,AB=6cm,BC=8cm.（1）点尸从点A开始沿AB边向8以\cmls的速度移动，点Q从8点开始沿BC边向点C以2cmis的速度移动.如果P、。分别从A，B同时出发，线段尸。能否将AABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以Iczn/s的速度移动，点。沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、。同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为止川？PBPB【解题思路】(1)设经过x秒，线段P。能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；(2)分三种情况：①点P在线段AB上，点。在线段CBt(0V/W4)；②点P在线段AB上，点。在线段C8上(4VfW6)；③点尸在射线A8上，点。在射线C8上(/>6)；进行讨论即可求解.【解答过程】解：(1)设经过x秒，线段尸Q能将△A8C分成面积相等的两部分由题意知：AP=x,BQ=2x,则BP=6-x,11(6-x)*2x=5X5x6X8,22-6x+12=0,・"2-4ac<0,此方程无解，••・线段PQ不能将aABC分成面积相等的两部分：(2)设，秒后，△P8。的面积为1①当点P在线段A8上，点。在线段CB上时此时0C/W4由题意知：一(6-/)(8-2/)=1,2整理得：?-10/+23=0,解得：。=5+企(不合题意，应舍去)，Z2=5-V2,②当点P在线段A8上，点。在线段CB的延长线上时此时4<f<6,1由题意知：一(6-f)(2r-8)=1,2整理得：r-10r+25=0.解得：八=/2=5,③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时r>6,由题意知：-(r-6)(2f-8)=1,2整理得：?-10r+23=0,解得：”=5+&，«=5->/2,(不合题意，应舍去)，综上所述，经过5-企秒、5秒或5+代秒后，△尸8Q的面积为1.【变式1-3](2020秋•鹤城区期末)已知：如图所示，在△ABC中，NB=90°,AB=5cm,BC=】cm,点P从点A开始沿A8边向点8以\cmls的速度移动，点Q从点B开始沿8c边向点C以2cm1$的速度移动.当尸、。两点中有一点到达终点，则同时停止运动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，△尸8Q的面积等于4°m2?(2)如果P,。分别从A,B同时出发，那么几秒后，P。的长度等于2ga”？的面积能否等于7c/n2?请说明理由.【解题思路】(1)经过x秒钟，△PBQ的面积等于4c/〃2,根据点尸从A点开始沿AB边向点8以lc/n/s的速度移动，点。从8点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出8尸和8。的长可列方程求解；(2)利用勾股定理列出方程求解即可；(3)令Smqb=7,根据三角形的面积公式列出方程，再根据标-4改得出原方程没有实数根，从而得出△PQB的面积不能等于1cm2.【解答过程】解：(1)设经过x秒以后，△尸8。面积为4cm2(OVx<3.5)此时AP=xcm,BP=(5-x)ctn,BQ=2xcm,1由-BP.BQ=4,得一(5-x)x2x=4,整理得：x2-5x+4=0,解得：x=l或x=4(舍)；答：1秒后△PB。的面积等于4cm2；(2)设经过/秒后，P。的长度等于2aUcm,由尸。2=3尸+3。2,即40=(5-r)2+(2r)2,解得：f=-1(舍去)或3.则3秒后，尸。的长度为2«Usn；⑶假设经过r秒后，制"。的面积等于7m2,即8Px当=7,(5-t)x竽=7,整理得：Z2-5*7=0,由于b2-4ac=25-28=-3<0,则原方程没有实数根，所以APOB的面积不能等于7cm2.【题型2与一元二次方程有关的四边形动点问题】【例2】(2020秋•天宁区校级月考)如图，在矩形ABC。中，AB=12cm,8C=6c/w,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以\cmls的速度向点C运动，点P运动到点8时，点。也停止运动；当△PQC的面积等于16c”时，运动时间为5.【解题思路】设运动时间为xs(0WxW6),则PB=(12-2x)cm,CQ=(6-x)cm,利用三角形面积的计算公式结合△P0C的面积等于16cm2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.【解答过程】解：设运动时间为xs(0<xW6),则尸8=(12-2x)cm,CQ=(6-x)cm,依题意，得：-(12-2x)(6-x)=16,2整理，得：x2-12x+20=0,解得：xi=2,x2=10(不合题意，舍去).故答案为：2.【变式2-1](2021秋•渭滨区校级期中)如图，在边长为6cm正方形A8C。中，点P从点A开始沿A8边向点8以Ics/s的速度移动，点Q从点8开始沿BC和CQ边向。点以2cMs的速度移动，如果点尸、Q分别从4、8同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止.过了秒钟后，△PB。的面积等于8c/n.【解题思路】设经过x秒，△PBQ的面积等于8cv«2,分类讨论当o<x<3秒时，。点在8C上运动，P在A8上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3cxV6秒时，Q点在CC上运动，尸在A8上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值.【解答过程】解：设经过x秒，△PBQ的面积等于8<52,当0<x<3秒时，。点在8c上运动，尸在A8上运动，尸8=6-x,BQ—2x,所以Snbq=gPB・BQ=gx2xX(6-x)=8,解得x=2或4,又知x<3,故x=2符合题意，当3Vx<6秒时，。点在CO上运动，P在A8上运动，1S^pbq=2(6-x)X6=8»解得X=?故答案为：2或”.【变式2-2](2020秋•江岸区校级月考)如图所示，4、B、C、。是矩形的四个顶点，AB^\6cm,AD=6cm,动点P，Q分别从点A,C同时出发，点尸以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点。以2cm/s的速度向点。移动(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形尸BCQ的面积为33ct«2?(2)P,。两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm?【解题思路】当运动时间为f秒时，PB=(16-3/)cm,CQ=2tcm.(1)利用梯形的面积公式结合四边形尸BC。的面积为33cm2,即可得出关于r的一元•次方程，解之即可得出结论；(2)过点。作QMLAB于点M,则PM=\\6-5t\cm,QM=6cm,利用勾股定理结合PQ=\Qcm,即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.【解答过程】解：当运动时间为f秒时，PB=(16-3f)cm,CQ=2tcm.一，1(I)依题意，得：-x(16-3，+2r)X6=33,解得：r=5.答：P,。两点从出发开始到5秒时，四边形PBC。的面积为33<7«2.(2)过点。作QM_LAB于点如图所示.,:PM=PB-CQ=\\(i-5t\cm,QM=6cm,：.PQ1=PM2+QM2,即102=(16-5r)2+62,解得：fl=?,f2=g(不合题意，舍去).8答：P，。两点从出发开始到二秒时，点P和点。的距离第一次是10c”.5【变式2-3］如图，菱形ABC。中，AC,8。交于点。，AC=ScmBD=6cm,动点M从A点出发沿AC方向以2cMs匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿8。方向以Icm/s匀速直线运动到。点，若M,N同时出发，设运动时间为，秒：(1)当，=1秒时，M,N两点之间的距离是多少？(2)当2</<3时，用含I的代数式表示0M的长；设卬=时产，求W关于f的函数关系式；(3)当/为何值时，△MON的面积为-cw?.D【解题思路】(1)利用菱形的性质得出OM、ON,利用勾股定理得出MN即可;(2)当2<f<3时，OM=2t-4,ON=3-t,利用勾股定理求得MN的平方即可：(3)根据点M、N运动过程中与。点的位置关系，分当，V2时，点M在线段A0上，点N在线段B0上、当2V/V3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上和当，>3时，点M在线段OC上，点N在线段。。上三种情况分别讨论，利用三角形的面积建立方程求得答案即可.【解答过程】解：(1)I•菱形A8CD中，AC=ScmBD=6cm,：.OA=4,0B=3,•当r=l秒时，0M=4-2=2,ON=3-1=2,：.MN=V22+22=2V2；(2)当2V/V3时，0M=2r-4,ON=3-3MN2=OM2+ON2=(2r-4)2+(3-r)2=5?-22Z+25；(3)①当r<2时，点M在线段40上，点N在线段80上.TOC\o"1-5"\h\z1一(4-2/)(3-Z)=彳；4&2za, 5+一, 5"解得力=-2~~2-，Vr<2,.,5--②当2V/V3时，点M在线段0c上，点N在线段3。上，1—(2r-4)(3-/)=彳；4解得n=/2=2；③当r>3时，点M在线段0C上，点N在线段0。上，,、，、1一(2r-4)(r-3)=7：TOC\o"1-5"\h\z4缶丑汨* 5+应 5-72解得”=一?一,t2=-2~»Vr>3,._54-/2•• —2--综上所述，出发后 5或r或——s时，4M0N的面积为-cm?.2 2 2 4【题型3一元二次方程与一次函数的综合】【例3】(2020春•平潭县校级月考)北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱.图中折线(AB〃CO〃x轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y（元）与购买数量X（个）之间的函数关系.（1）求当10Wx《20时，y与x的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额=数量X单价）y个（元个）【解题思路】（1）设出•次函数解析式，把8、C两点的坐标代入可得所求函数关系式；（2）所用金额既不是200的倍数，也不是150的倍数，可得模型的单价在150和200之间，根据总价等于2625得到一元二次方程，求解即可.【解答过程】解：（1）当10<x<20时，设（AW0）（11分）依题意，破出二徵解得宜彘.,.当10<xW20时，y=-5x+25O；（2）V10X200<2625<20X150AIO<x<2O,依题意，得冲=x（-5x+25O）=2625,即x2-50x+525=0,解得xi=15,X2=35（舍去）二只取x=15.答：该旅游团共购买这种模型15个.【变式3-1】（2021春•天心区期末）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台.假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系.（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【解题思路】(1)根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x-30)万元，销售数量为(-IOx+900)台，根据总利润=单台利润X销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论.【解答过程】解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为(%#0),将(35,550)、(40,500)代入得(35k+b=550l40k+h=500'解得:真就，...年销售量y与销售单价x的函数关系式为丫=-IOx+900；(2)设此设备的销售单价为x万元/分，则每台设备的利润为(x-30)万元，销售数量为(-IOx+900)台，根据题意得：(x-30)(-IOx+900)=8000.整理，得：x2-120x+3500=0,解得：xi=50,X2=70.•.•此设备的销售单价不得高于60万元，.,.x=50.答：该设备的销售单价应是50万元/台.【变式3-2](2020春•西湖区校级月考)某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：(1)当x>40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；(2)当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；(3)若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台.【解题思路】(1)根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元，可列式；(2)先根据待定系数法计算直线的解析式，再计算x=60时的进价和售价，可得利润；(3)分当x>40和当x<40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可.【解答过程】解：(1)由题意得：当x>40时，每台学习机的售价为(单位：元)：800-5(x-40)=-5X+1000；(2)设图中直线解析式为：y=kx+b,把(0,700)和(50,600)代入得：]?°"型=600,<0=7UU解得：忆a直线解析式为：y=-2x+700,当x=60时，进价为：y=-2X60+700=580,售价为：800-5X(60-40)=700,则每台学习机可以获利：700-580=120(元)；(3)当x>40时，每台学习机的利润是：(-5X+1000)-(-2x+7OO)=-3x+3OO,则x(-3x+300)=4800,解得：xi=80,x2=20(舍)，当x《40时，每台学习机的利润是：800-(-2x+7OO)=2r+100,则x(Zr+100)=4800,解得：XI=30,x2=-80(舍)，答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台.【变式3-3](2020秋•麻城市校级月考)某商店以2。元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.①求y与x之间的函数关系式；②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？(利润=(销售单价-进价)X销售量)③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由.【解题思路】①当20<x<80时，利用待定系数法即可得到y与x的函数表达式；②把x=70代入函数式求得销量，然后由利润=(销售单价-进价)X销售量求得答案;③根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价；④根据销售利润达到1000元，可得方程，解方程即可得到销售单价.【解答过程】解：①当0<x<20时，y=60；当20Wx<80时，设y与x的函数表达式为把(20,60),(80,0)代入，可得[60=20k+blO=QOk+b'解得忆益：.y=-x+80,f60(0<x<20)•D与X的函数表达式为、={-+8。(2。4,8。)：②把x=70代入y=-x+80,得到：y=-70+80=10,故卬=(70-20)X10=500(元)；③若销售利润达到800元，若204xW80,贝ij(x-20)(-x+80)=800,解得XI=40,x2=60,若0Vx<20,则(x-20)X60=800,解得犬=孚(不合题意)，/.要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元.④根据题意，得(x-20)(-x+80)=1000,整理，得，-100x+2600=0.

因为△=1（X）2-4X2600=-400<0,所以方程无实数根，所以不能达到1000元.【题型4与一元二次方程有关的阅读探究问题】【例4】（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形481cl£>1是矩形ABCO的“减半”矩形.长：12长：12任务:当矩形的长为8,宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由.9【解题思路】假设存在，设“减半”矩形的长为X,则宽为,根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论.9【解答过程】解：假设存在，设“减半”矩形的长为乂则宽为（5-幻, 9 1依题意，得：x(—―X)=«x8X1,2 /整理，得：/-%+4=0,解得：刈=嘤，期=¥当户‘察时，1,x=2z^Z,符合题意;当户与立时，|-x=21^Z>2z^Z（不合题意，舍去.9-V17, 9+V17_9-V17二长为8,宽为1的矩形存在“减半”矩形,且“减半”矩形的长为丁’宽为【变式4-1]（2020秋•乐清市期末）阅读探究：”任意给定一个矩形A,是否存在另一个矩形8,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）(1)当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的:设所求矩形的两边分别是x和y,由题意得方程组\x+y=2,消去y化简得：2?-7x+6=0,Ixy=3b2-4ac=49-48>0,.*.xi=,x2=,.•.满足要求的矩形8存在.(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1,请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形艮(3)如果矩形A的边长为相和〃，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【解题思路】(1)利用求根公式即可求出方程的两根；(2)仿照(D找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-7V0,可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B-.(3)仿照(1)找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△》()，可找出山、〃之间的关系.3-2【解答过程】解：(1)利用求根公式可知：xi=^故答案为：I；3-2(2)设所求矩形的两边分别是x和y,根据题意得：\x+y=2,\xy=1消去y化简得：2?-3x+2=0.-4ac=(-3)2-4X2X2=-7<0,该方程无解，.•.不存在满足要求的矩形B.(3)设所求矩形的两边分别是x和y,{ _m+nxyp消去)'化简得：Zr2-(m+n)x+mn=O.•.•矩形8存在，，层-4ac=[-(m+n)]2-4X2zn〃20,故当"7、〃满足(机-〃)224/77〃时，矩形8存在.【变式4-2]（2020•任城区三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式S=〃a+%2xd来计算等差数列的和.（公式中的〃表示数的个数，。表示第一个数的值，）例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10X3+ x2=120.用上面的知识解决下列问题.（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116.（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、201k2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木.2009年2010年2011年2012年植树后坡荒地的实际面积（公顷）25200240002240020400【解题思路】（1）利用材料中的公式解答；（2）设在2009年的基础上，再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.从表格中可以看到2010年坡荒地是面积减少了1200公顷，则依次减少的公顷数是1600,2000+-+400（x-1）,根据2009年植树后坡荒地是实际面积是25200公顷列方程求解.【解答过程】解：（1）2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116=2OX2+20x19x6=118Q（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.根据题意，得1200*+武7）x400=25200,（x-9）（x+14）=0,x=9或工=-14（负值舍去）.答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【变式4-3]（2020秋•顺昌县校级月考）实验与探究：三角点阵前〃行的点数计算.如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第〃行有〃个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发