材料力学-截面图形的性质课件

附录截面图形的性质附录截面图形的性质一、几何图形的一次矩三、平行移轴定理本章内容小结本章基本要求二、几何图形的二次矩四、转轴定理一、几何图形的一次矩三、平行移轴定理本章内容小结本章基本

掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并能进行正确的计算。

熟练掌握典型截面的二次矩。

掌握形心在计算面积矩和惯性矩中所起的作用并能进行熟练的计算。

正确理解转轴定理及主惯性矩的概念。本章基本要求掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并能进dAyxxy形心

(centerofanarea)公式重要结论

坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。面积矩（静矩）(firstmomentofarea)一、几何图形的一次矩cxcycdAyxxy形心(centerofanarea)数学工具箱平面图形中的微元面积直角坐标系极坐标系如果被积函数与x无关如果被积函数与

无关yxdAdAxyrθbyxdAdAxyr数学工具箱平面图形中的微元面积直角坐标系极坐标系如果被积函数例

求如图半径为

R的四分之一圆的形心位置。同理xydAr例求如图半径为R的四分之一圆的形心位置。同理xy组合图形的形心公式为组合图形的面积矩组合图形的面积组合图形组合图形形心计算中的负面积法组合图形的形心公式为组合图形的面积矩组合图形的面积组合图形组7a/

23a/

2例

求如图截面的形心位置。3aaa3ax5a/

2例

求如图截面的形心位置。以下边缘为基准以下边缘为基准aa2aaa2aaa2aaa2axaa2ax1.37a形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上7a/23a/2例求如图截面的形心位置。3aaa惯性矩(momentofinertia)惯性积(productofinertia)dAyxxy

极惯性矩(polarmomentofinertia)r二、几何图形的二次矩惯性矩(momentofinertia)惯性积例

求如图三角形对

x轴的惯性矩。斜边的方程为hbyx分析和讨论

可以用如图的竖向微元面积条将二重积分化为单重积分吗？hbyxdAhbyxdAhbyxdA另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条例求如图三角形对x轴的惯性矩。斜边的方程为hby求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。hbyx动脑又动笔对

x

轴的惯性矩同理可得对

y

轴的惯性矩对

xy

轴的惯性积求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。hbyx动脑又动笔对例

求如图半径为

R的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和极惯性矩。xydArθ对

x

轴的惯性矩同理可得对

y

轴的惯性矩对原点的极惯性矩例求如图半径为R的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和动脑又动笔求图形的惯性矩与惯性积。实心圆空心圆DxyDxyDxyd动脑又动笔求图形的惯性矩与惯性积。实心圆空心圆DxyDxyD重要数据

高为

h宽为

b的矩形截面对通过形心且平行于底边的坐标轴的惯性矩为。重要结论

坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。重要数据

实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩，极惯性矩为。空心圆截面的惯性矩，极惯性矩为为为，

为内径与外径之比。重要数据高为h宽为b的矩形截面对通过形心且平行组合图形组合图形的分割组合图形的负二次矩法例

求如图工字形截面关于中线的惯性矩。

截面可视为一个矩形与两个矩形之差。101060601010106060组合图形组合图形的分割组合图形的负二次矩法例求如图工三、平行移轴定理

如果已知图形对某一坐标系的惯性矩和惯性积，

如何求图形关于另一平行坐标系的惯性矩和惯性积？特别地，先考虑过形心的坐标系。yxyyxx三、平行移轴定理如果已知图形对某一坐标系的惯平行移轴定理

(parallel-axistheorem)由于x

轴过形心同理dAyxcdAyxcdAybayxxcdAyxbayyxx（x，y）——

普通坐标系。（x，y）

——形心坐标系。平行移轴定理(parallel-axistheorem平行移轴定理

(parallel-axistheorem)注意在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。否则应用公式。重要结论

在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小。

cdAyxbayyxx重要公式

AaIIxx2+=¢AbIIyy2+=¢abAIIyxxy+=¢¢平行移轴定理(parallel-axistheorembhC例

求如图的截面对形心轴的惯性矩。动脑又动笔K求直角三角形对于过形心的

C

轴的惯性矩。3aaa3aaa3a3a5a/

2aa3a3aaa3aaaxc3aaa3aaaxc3aybhC例求如图的截面对形心轴的惯性矩。动脑又动笔K求例

求如图的截面对

x和

y轴的惯性矩。半圆对K轴的惯性矩已知半圆对x轴的惯性矩为故图形对x轴的惯性矩为K半圆对y轴的惯性矩为aaxyaaaaaaaaxaaaaaayaaxaaaaaay错在何处？例求如图的截面对x和y轴的惯性矩。半圆对KK故半圆对y轴的惯性矩为故原图形对y轴的惯性矩为y轴与C间的距离为半圆对C轴的惯性矩4a/

3C++?aaxaaaaaay+?CK故半圆对y轴的惯性矩为故原图形对y轴的惯性矩为y分析和讨论aaaABCD

如图的三角形对哪一根轴的惯性矩最小？对哪一根轴的惯性矩最大？bKR

要使如图的半圆对K

轴的惯性矩为最小，b

应取何值？

图示图形的惯性积是正数还是负数？分析和讨论aaaABCD如图的三角形对哪一根xy四、转轴定理

如果已知图形对某一坐标系的惯性矩和惯性积，

坐标系绕原点转动了一个角度构成新坐标系，如何求图形关于新坐标系的惯性矩和惯性积？xyxyxy四、转轴定理如果已知图形对某一坐标系的1.两种坐标的转换yOxyOKQPxyOKQPxyxPQyOKQPxxyxyPQyOKQPRSxxyPQyOKQPRSxxyPQyOKQPRSx1.两种坐标的转换yOxyOKQPxyOKQPxyx2.转轴定理

(rotation-axistheorem)数学工具箱xyxy2.转轴定理(rotation-axistheor2.转轴定理

(rotation-axistheorem)xyxy2.转轴定理(rotation-axistheor2.转轴定理

(rotation-axistheorem)xyxy转轴定理

2.转轴定理(rotation-axistheorxyab例

求如图的矩形关于对角线的惯性矩。在图示的坐标系下，关于对角线的惯性矩，可视为新坐标系中对x轴的惯性矩。xyabxyxyab例求如图的矩形关于对角线的惯性矩。在图示的坐例

求如图的矩形关于对角线的惯性矩。在图示的坐标系下，关于对角线的惯性矩，可视为新坐标系中对x轴的惯性矩。xyabxy例求如图的矩形关于对角线的惯性矩。在图示的坐标系下，xyabxyxyabxy转轴定理

分析和讨论

将第一式中的置换为，将得到什么结论？等于多少？上述结果说明了什么？转轴定理分析和讨论将第一式中的置换为使I

y

取极值的角度3.惯性主轴

(principalaxesofinertia)xyxy在什么方位上

I

y

取极值？极值为多大？I

y

的极值应满足惯性主方向使Iy取极值的角度3.惯性主轴(princ3.惯性主轴

(principalaxesofinertia)xyxy在什么方位上

I

y

取极值？极值为多大？I

y

的极值应满足惯性主方向主惯性矩3.惯性主轴(principalaxesof3.惯性主轴

(principalaxesofinertia)xyxy惯性主方向主惯性矩当惯性矩取极值时，惯性积的值为多少？当惯性矩取极值时，惯性积的值为零。当惯性积为零时，相应的惯性矩为极值。当惯性积为零时，相应的惯性矩为极值。3.惯性主轴(principalaxesof

若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图形的惯性主轴，如果惯性主轴通过形心，则称之为形心惯性主轴。

图形关于惯性主轴的惯性矩，一定是该平面图形在坐标旋转的各个方位上惯性矩的极值，并称之为主惯性矩。形心惯性主轴对应的惯性矩，称为形心主惯性矩。惯性主轴方位主惯性矩数值xyxy若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图重要结论

若某根坐标轴是图形的对称轴，则图形的惯性积为零；此时两根坐标轴都是惯性主轴。其中，对称轴是形心惯性主轴。判断图形的形心惯性主轴分析和讨论

判断图形的形心惯性主轴重要结论若某根坐标轴是图形的对称轴，则图形的惯性积例

求如图的截面的形心惯性主轴的方向和形心主惯性矩。在图示的坐标系下，406409466yx40409466y6x40409466y6xy404094666x例求如图的截面的形心惯性主轴的方向和形心主惯性矩。在在图示的坐标系下，例

求如图的截面的形心惯性主轴的方向和形心主惯性矩。y404094666x在图示的坐标系下，例求如图的截面的形心惯性主轴的方向求惯性积时，考虑如图的区域

在已知惯性主轴的情况下，如何求主惯性矩？y404094666x404094666yx40409466y6x

图示的黄色区域的惯性积等于多少？y404094666x40409466xyxy6求惯性积时，考虑如图的区域在已知惯性主轴的情况下，如xyaa

如图，对于平行于底边的形心坐标系，正方形的惯性矩和惯性积为例

证明正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。对于其它任意的形心坐标系，其惯性积为故正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。x’y’xyaa如图，对于平行于底边的形心坐标系，正重要结论

如果图形关于两个坐标轴的惯性矩相等，且惯性积为零，则该坐标系绕原点旋转任意角度所构成的新坐标系，都是图形的主轴坐标系。一般地考虑上面的问题如果坐标系旋转任意角度，重要结论如果图形关于两个坐标轴的惯性矩相等，且惯性对形心轴

C的惯性矩：bh例

证明等边三角形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。先一般地考虑如图直角三角形的惯性矩对底边轴G的惯性矩：再考虑如图等边三角形的惯性矩xCyCCabhGC对形心轴C的惯性矩：bh例证明等边三角形对过形心对形心轴

C的惯性矩：先一般地考虑如图直角三角形的惯性矩对底边轴G的惯性矩：再考虑如图等边三角形的惯性矩xCyCCabhGC例

证明等边三角形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。对形心轴C的惯性矩：先一般地考虑如图直角三角形的惯性矩对xCyCCa例

证明等边三角形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。

由于图形对两坐标轴的惯性矩相等，惯性积为零，故等边三角形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。分析和讨论填出下述的表格。xCyCCa例证明等边三角形对过形心的任一轴均为形心恒正可正可负恒正可正可负恒正m2m3m4不为零等于零不为零轴为对称轴时为零不为零（面积）零次矩一次矩二次矩定义符号单位轴过形心关于形心计算惯性矩惯性积极惯性矩恒正可正可负恒正可正可负恒正m2m3m4不为零等于零不本章内容小结静矩形心的计算方法组合图形静矩及形心的计算

有整体面积挖空部份面积的情况下可采用负面积法。

用定义计算静矩时注意选择适当的坐标系。

在某些情况下积分可化为单重积分。本章内容小结静矩形心的计算方法组合图形静矩二次矩

惯性积

惯性矩

极惯性矩常用图形的惯性矩矩形实心圆空心圆

坐标轴之一是图形对称轴，则图形的惯性积为零。二次矩惯性积惯性矩平行移轴公式

用上述公式时应保证其中一组坐标系原点在形心上。

计算惯性积时注意

a和

b的符号。cybayxx平行移轴公式用上述公式时应保证其中一组坐标系转轴公式xyxy平行移轴公式cybayxx转轴公式xyxy平行移轴公式cybayxx

惯性主轴、主惯性矩形心惯性主轴、形心主惯性矩

主惯性矩方位

主惯性矩数值

图形关于惯性主轴的惯性积为零。

坐标轴之一是图形对称轴，则该坐标轴必定是惯性主轴。

具有同一原点的不同坐标系中，图形关于主轴坐标系的惯性矩必为极值。惯性主轴、主惯性矩形心惯性主轴、形心主惯性矩附录截面图形的性质附录截面图形的性质一、几何图形的一次矩三、平行移轴定理本章内容小结本章基本要求二、几何图形的二次矩四、转轴定理一、几何图形的一次矩三、平行移轴定理本章内容小结本章基本

掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并能进行正确的计算。

熟练掌握典型截面的二次矩。

掌握形心在计算面积矩和惯性矩中所起的作用并能进行熟练的计算。

正确理解转轴定理及主惯性矩的概念。本章基本要求掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并能进dAyxxy形心

(centerofanarea)公式重要结论

坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。面积矩（静矩）(firstmomentofarea)一、几何图形的一次矩cxcycdAyxxy形心(centerofanarea)数学工具箱平面图形中的微元面积直角坐标系极坐标系如果被积函数与x无关如果被积函数与

无关yxdAdAxyrθbyxdAdAxyr数学工具箱平面图形中的微元面积直角坐标系极坐标系如果被积函数例

求如图半径为

R的四分之一圆的形心位置。同理xydAr例求如图半径为R的四分之一圆的形心位置。同理xy组合图形的形心公式为组合图形的面积矩组合图形的面积组合图形组合图形形心计算中的负面积法组合图形的形心公式为组合图形的面积矩组合图形的面积组合图形组7a/

23a/

2例

求如图截面的形心位置。3aaa3ax5a/

2例

求如图截面的形心位置。以下边缘为基准以下边缘为基准aa2aaa2aaa2aaa2axaa2ax1.37a形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上7a/23a/2例求如图截面的形心位置。3aaa惯性矩(momentofinertia)惯性积(productofinertia)dAyxxy

极惯性矩(polarmomentofinertia)r二、几何图形的二次矩惯性矩(momentofinertia)惯性积例

求如图三角形对

x轴的惯性矩。斜边的方程为hbyx分析和讨论

可以用如图的竖向微元面积条将二重积分化为单重积分吗？hbyxdAhbyxdAhbyxdA另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条例求如图三角形对x轴的惯性矩。斜边的方程为hby求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。hbyx动脑又动笔对

x

轴的惯性矩同理可得对

y

轴的惯性矩对

xy

轴的惯性积求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。hbyx动脑又动笔对例

求如图半径为

R的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和极惯性矩。xydArθ对

x

轴的惯性矩同理可得对

y

轴的惯性矩对原点的极惯性矩例求如图半径为R的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和动脑又动笔求图形的惯性矩与惯性积。实心圆空心圆DxyDxyDxyd动脑又动笔求图形的惯性矩与惯性积。实心圆空心圆DxyDxyD重要数据

高为

h宽为

b的矩形截面对通过形心且平行于底边的坐标轴的惯性矩为。重要结论

坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。重要数据

实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩，极惯性矩为。空心圆截面的惯性矩，极惯性矩为为为，

为内径与外径之比。重要数据高为h宽为b的矩形截面对通过形心且平行组合图形组合图形的分割组合图形的负二次矩法例

求如图工字形截面关于中线的惯性矩。

截面可视为一个矩形与两个矩形之差。101060601010106060组合图形组合图形的分割组合图形的负二次矩法例求如图工三、平行移轴定理

如果已知图形对某一坐标系的惯性矩和惯性积，

如何求图形关于另一平行坐标系的惯性矩和惯性积？特别地，先考虑过形心的坐标系。yxyyxx三、平行移轴定理如果已知图形对某一坐标系的惯平行移轴定理

(parallel-axistheorem)由于x

轴过形心同理dAyxcdAyxcdAybayxxcdAyxbayyxx（x，y）——

普通坐标系。（x，y）

——形心坐标系。平行移轴定理(parallel-axistheorem平行移轴定理

(parallel-axistheorem)注意在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。否则应用公式。重要结论

在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小。

cdAyxbayyxx重要公式

AaIIxx2+=¢AbIIyy2+=¢abAIIyxxy+=¢¢平行移轴定理(parallel-axistheorembhC例

求如图的截面对形心轴的惯性矩。动脑又动笔K求直角三角形对于过形心的

C

轴的惯性矩。3aaa3aaa3a3a5a/

2aa3a3aaa3aaaxc3aaa3aaaxc3aybhC例求如图的截面对形心轴的惯性矩。动脑又动笔K求例

求如图的截面对

x和

y轴的惯性矩。半圆对K轴的惯性矩已知半圆对x轴的惯性矩为故图形对x轴的惯性矩为K半圆对y轴的惯性矩为aaxyaaaaaaaaxaaaaaayaaxaaaaaay错在何处？例求如图的截面对x和y轴的惯性矩。半圆对KK故半圆对y轴的惯性矩为故原图形对y轴的惯性矩为y轴与C间的距离为半圆对C轴的惯性矩4a/

3C++?aaxaaaaaay+?CK故半圆对y轴的惯性矩为故原图形对y轴的惯性矩为y分析和讨论aaaABCD

如图的三角形对哪一根轴的惯性矩最小？对哪一根轴的惯性矩最大？bKR

要使如图的半圆对K

轴的惯性矩为最小，b

应取何值？

图示图形的惯性积是正数还是负数？分析和讨论aaaABCD如图的三角形对哪一根xy四、转轴定理

如果已知图形对某一坐标系的惯性矩和惯性积，

坐标系绕原点转动了一个角度构成新坐标系，如何求图形关于新坐标系的惯性矩和惯性积？xyxyxy四、转轴定理如果已知图形对某一坐标系的1.两种坐标的转换yOxyOKQPxyOKQPxyxPQyOKQPxxyxyPQyOKQPRSxxyPQyOKQPRSxxyPQyOKQPRSx1.两种坐标的转换yOxyOKQPxyOKQPxyx2.转轴定理

(rotation-axistheorem)数学工具箱xyxy2.转轴定理(rotation-axistheor2.转轴定理

(rotation-axistheorem)xyxy2.转轴定理(rotation-axistheor2.转轴定理

(rotation-axistheorem)xyxy转轴定理

2.转轴定理(rotation-axistheorxyab例

求如图的矩形关于对角线的惯性矩。在图示的坐标系下，关于对角线的惯性矩，可视为新坐标系中对x轴的惯性矩。xyabxyxyab例求如图的矩形关于对角线的惯性矩。在图示的坐例

求如图的矩形关于对角线的惯性矩。在图示的坐标系下，关于对角线的惯性矩，可视为新坐标系中对x轴的惯性矩。xyabxy例求如图的矩形关于对角线的惯性矩。在图示的坐标系下，xyabxyxyabxy转轴定理

分析和讨论

将第一式中的置换为，将得到什么结论？等于多少？上述结果说明了什么？转轴定理分析和讨论将第一式中的置换为使I

y

取极值的角度3.惯性主轴

(principalaxesofinertia)xyxy在什么方位上

I

y

取极值？极值为多大？I

y

的极值应满足惯性主方向使Iy取极值的角度3.惯性主轴(princ3.惯性主轴

(principalaxesofinertia)xyxy在什么方位上

I

y

取极值？极值为多大？I

y

的极值应满足惯性主方向主惯性矩3.惯性主轴(principalaxesof3.惯性主轴

(principalaxesofinertia)xyxy惯性主方向主惯性矩当惯性矩取极值时，惯性积的值为多少？当惯性矩取极值时，惯性积的值为零。当惯性积为零时，相应的惯性矩为极值。当惯性积为零时，相应的惯性矩为极值。3.惯性主轴(principalaxesof

若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图形的惯性主轴，如果惯性主轴通过形心，则称之为形心惯性主轴。

图形关于惯性主轴的惯性矩，一定是该平面图形在坐标旋转的各个方位上惯性矩的极值，并称之为主惯性矩。形心惯性主轴对应的惯性矩，称为形心主惯性矩。惯性主轴方位主惯性矩数值xyxy若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图重要结论

若某根坐标轴是图形的对称轴，则图形的惯性积为零；此时两根坐标轴都是惯性主轴。其中，对称轴是形心惯性主轴。判断图形的形心惯性主轴分析和讨论

判断图形的形心惯性主轴重要结论若某根坐标轴是图形的对称轴，则图形的惯性积例

求如图的截面的形心惯性主轴的方向和形心主惯性矩。在图示的坐标系下，406409466yx40409466y6x40409466y6xy404094666x例求如图的截面的形心惯性主轴的方向和形心主惯性矩。在在图示的坐标系下，例

求如图的截面的形心惯性主轴的方向和形心主惯性矩。y404094666x在图示的坐标系下，例求如图的截面的形心惯性主轴的方向求惯性积时，考虑如图的区域

在已知惯性主轴的情况下，如何求主惯性矩？y404094666x404094666yx40409466y6x

图示的黄色区域的惯性积等于多少？y404094666x40409466xyxy6求惯性积时，考虑如图的区域在已知惯性主轴的情况下，如xyaa

如图，对于平行于底边的形心坐标系，正方形的惯性矩和惯性积为例

证明正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。对于其它任意的形心坐标系，其惯性积为故正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。x’y’