4-4-2-圆与扇形教师版

圆与扇形例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.圆的面积二n2；扇形的面积二n2—;360圆的周长=2n;扇形的弧长=2n.360一、跟曲线有关的图形元素：扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说的1圆、1圆、1圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几46分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是丄.360比如：扇形的面积二所在圆的面积丄；360扇形中的弧长部分二所在圆的周长丄360扇形的周长二所在圆的周长—2半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长）360弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积.一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积.（除了半圆）③”弯角”：如图：弯角的面积③”弯角”：如图：弯角的面积二正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积二弓形面积2二、常用的思想方法：转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）等积变形（害吟卜、平移、旋转等）借来还去（加减法）外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”）板块二曲线型面积计算【例1】如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的-倍，则角CAB的度数是3【考点】【解析】【答案】【例2】【题型】填空设半圆ADB的半径为1,则半圆面积为-n1^二扇形BAC的面积为--^2^.因为扇形BAC【考点】【解析】【答案】【例2】【题型】填空22233的面积为n2—，所以，n22n匕，得到n=60，即角CAB的度数是60度.360360360度A【考点】【解析】【答案】【例3】【考点】【解析】【答案】圆与扇形【难度】4星【题型】解答abc67=21,2三角形ABC内两扇形面积和为21-17=4,根据扇形面积公式两扇形面积和为BCn22=4,360°所以.B.C=120°,.A=60°.60度如图，大小两圆的相交部分（即阴影区域）的面积是大圆面积的圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？圆与扇形【难度】3星【题型】解答-，是小圆面积的•如果量得小15523小圆的面积为n5=25n,则大小圆相交部分面积为25n-=15n,那么大圆的面积为54225225151515十-n,A【考点】【解析】【答案】【例3】【考点】【解析】【答案】圆与扇形【难度】4星【题型】解答abc67=21,2三角形ABC内两扇形面积和为21-17=4,根据扇形面积公式两扇形面积和为BCn22=4,360°所以.B.C=120°,.A=60°.60度如图，大小两圆的相交部分（即阴影区域）的面积是大圆面积的圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？圆与扇形【难度】3星【题型】解答-，是小圆面积的•如果量得小15523小圆的面积为n5=25n,则大小圆相交部分面积为25n-=15n,那么大圆的面积为54225225151515十-n,而225=仝15，所以大圆半径为7.5厘米.1544227.5【例4】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆厘米？（n取3）（如图），此时橡皮筋的长度是多少【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和.将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到所以BC弧所对的圆心角是60，6个BC弧合起来等于直径而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长为：5x6+5冗=45（厘米）.【答案】456个角的和是360,5厘米的圆的周长.【例5】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请360'【答案】12.56【例6】如图是一个对称图形.比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积灰色部分面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的-，则4个小圆的面4积之和等于大圆的面积•而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等.【答案】相等S1，空白部分面积为S2，那么这两个部【例7】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为分的面积之比是多少？（圆周率取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形.设大圆半径为r，贝U§=2r2，S=曲2-2r2，所以:=[3.14-S1，空白部分面积为S2，那么这两个部移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系.【答案】57:100【例8】用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板•问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】

【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形.11由右图可见，阴影部分面积等于丄大圆面积减去一个小圆面积，再加上120的小扇形面积（即-小圆63面积），所以相当于1大圆面积减去2小圆面积.而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的319_26332=9倍，那么阴影部分面积为n12n=2.5.6【答案】2.5【例10】如图所示，求阴影面积，图中是厘米的小扇形.（圆周率取3.14）个正六边形，面积为【考点】

【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形.11由右图可见，阴影部分面积等于丄大圆面积减去一个小圆面积，再加上120的小扇形面积（即-小圆63面积），所以相当于1大圆面积减去2小圆面积.而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的319_26332=9倍，那么阴影部分面积为n12n=2.5.6【答案】2.5【例10】如图所示，求阴影面积，图中是厘米的小扇形.（圆周率取3.14）个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10【答案】81•求阴影部分的面积.【例9】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是【考点】圆与扇形【难度】3星1•求阴影部分的面积.【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式S扇一nn•360可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°,那么.AOC=120,又知四边形ABCO是平行四边形，所以.ABC=120,这样就可求出扇形的面积和为6120n102=628（平方厘米），阴影部分的面积=1040-628=412（平方厘米）.360【答案】412BO【例11】（09年第十四届华杯赛初赛）如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，AC二CD=DB,M是CD的中点，H是弦CD的中点•若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米.BOM【考点】圆与扇形【难度】3M【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】如下图所示，连接0C、OD、OH•M【题型】填空本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD与AB平行.由此可得ACHN的面积与.CHO的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的1,所以阴影部分面积等于3半圆面积的1,为12-=2平方厘米.66【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6•求图中阴影部分的面积.【题型】解答【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】如图，连接OC、OD、CD.【题型】解答由于C、D是半圆的三等分点，所以.叭0C和COD都是正三角形，那么CD与AO是平行的•所以.'ACD的面积与OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21n618.84.6【答案】18.84【例12】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐•由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积.如右图所示，可知弓形BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC•剩下的图形中，容易看出来AB与CD是平行的，所以BCD与.ACD的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的面积相等，而扇形ACD的面积为n12-60=0.5，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5.36012,那么阴影部分面积是多少？（圆周率取【答案】0.5【例13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD的面积均为a12a"2.阴影部分为：大正方形•梯形-三角形ABF-右上角不规则部分二大正方形-右上角不规则部分圆•因4此阴影部分面积为：3.141212“4=113.04.12,那么阴影部分面积是多少？（圆周率取方法二：连接AC、DF,设AF与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有Saadm=Sacmf,所以S阴影=S扇形dcf-3.141212一：4=113.04【答案】113.04GFGF【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】（法1）观察可知阴影部分面积等于三角形【题型】解答ACD的面积减去月牙BCD的面积，那么求出月牙BCD的面积就成了解题的关键.1月牙BCD的面积为正方形BCDE的面积减去四分之一圆：66-丄n66=9;4则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，为：1,S阴影10GFGF【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】（法1）观察可知阴影部分面积等于三角形【题型】解答ACD的面积减去月牙BCD的面积，那么求出月牙BCD的面积就成了解题的关键.1月牙BCD的面积为正方形BCDE的面积减去四分之一圆：66-丄n66=9;4则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，为：1,S阴影1066—9=39-（法2）观察可知AF和BD是平行的，于是连接AF、BD、DF.则ABD与.BDF面积相等，那么阴影部分面积等于GBDF与小弓形的面积之和,也就等于DEF与11扇形BED的面积之和，为：（10_6）6n62=39.24【答案】39【例14】如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点,么阴影部分的面积是多少？（圆周率取3.14）BC是半圆的直径•已知AB二BC=10,那DABP的面积为：1010“2“2=25；弓形面积：3.1455亠4-55亠2=7.125;阴影部分面积为：25+7.125=32.125.【答案】32.125【例15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为;（n=3.14AD4C6AD4C6B【题型】填空【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】连接小正方形AC,有图可见2阴影=SaACD'S扇形ABC•••1IaC2J44222【题型】填空2二AC=32同理CE2=72,•••ACCE=481…acd48=2429021S扇形n4一12.56,S^abc44_83602•S阴影=2412.56_8=28.56【答案】28.56【例16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的.问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】4星【解析】假设最小圆的半径为【题型】解答4r,3r和【考点】4星【解析】假设最小圆的半径为【题型】解答4r,3r和r.阴影部分的面积为：12121222n4rn3rnn=5n,空白部分的面积为：222n4r5n=11n,r，则三种半圆曲线的半径分别为则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11.【答案】5:11【例17】（西城实验考题）奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积.（n3.14）【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】⑴每个圆环的面积为：n42-n32=7n=21.98（平方厘米）；⑵五个圆环的面积和为：21.985=109.9（平方厘米）;⑶八个阴影的面积为：109.9-77.1=32.8（平方厘米）;⑷每个阴影的面积为：32.8*8=4.1（平方厘米）.【答案】4.1【例18】已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆,再将对边中点用直线连擎起来得右图.那么，图中阴影部分的总面积等于方厘米.（n3.14）【考点】再将对边中点用直线连擎起来得右图.那么，图中阴影部分的总面积等于方厘米.（n3.14）【考点】Ar>(AFH圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】39.25【答案】39.25【例19】如图，ABCD是边长为a的正方形，以【例19】如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】这道题目是很常见的面积计算问题•阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了.S阴影如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，=4S半圆一'S三角形「1一=4x-xnxI—/I【答案】【巩固】正方形如图，影部分面积.ABCD的边长为（n取3）4厘米，分别以BS阴影【巩固】正方形如图，影部分面积.ABCD的边长为（n取3）4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆•求阴D【考点】解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分.则阴影部分的面积为=-n42-44=8；2解法二：连接AC,我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积,所以阴影部分面积=2（丄n42-44一：一2）=8.4【答案】8【例20】（四中考题）已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm,BC=2cm，求阴影部分的面积【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差，所以阴影部分的面积为：1nI41nI2--42=2.5n-4=3.85（cm2）.2「2丿2（2丿2【答案】3.85【例21】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是是平方厘米..3个两两重叠、形状相同的圆形纸片144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是是平方厘米..它们的面积都42平方厘米【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】根据容斥原理得1003-S阴影-242=144，所以S阴影=1003-144—242=72（平方厘米）【答案】72【例22】如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点.以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G,以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，若图中0和S2两块面积之差为mn-n（cm2）（其中m、n为正整数），请问m5之值为何？【关键词】国际小学数学竞赛【题型】图1答【解析】(法1)Sfcde=24【关键词】国际小学数学竞赛【题型】图1答【解析】(法1)Sfcde=24=8cm2,s扇形BCD工1n4^4n(cm2),4S扇形BFH122n2=n(cm)，而4S1_S2-S扇形BCDS扇形BFH2-Sfcde=4n-n-8=3n-8(cm),所以m=3,n=8,mn=38=11.(法2)如右上图，S-S^=Sbfea-S扇形bfh=24-22n?4=8-n(cm2),2SS2-Sabcd-S扇形BCD-44-44n*4=16-4n(cm),所以，S-S2=(8-冗)一(16-4冗)=3n—8(cm2)，故mn=38=11.【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.（圆周率取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.（圆周率取3.14）形减去小扇形，再减去长方形•则为:【答案】1.42nn4422-42=33.14-8=1.42•44【例23】如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米，求阴影部分的面积.（n取3）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键.我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD,1所以不规则部分ABFD的面积为64「-n42=12（平方厘米），4再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积，则有阴影部分面积为1n62—12=15（平方厘米）.4方法二：利用容斥原理S阴影=S扇形eab'S扇形bcf-S长方形abcdn6—n4-46=15（平方厘米）44【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分面积二半圆面积•扇形面积-三角形面积=-n（^）21n122-丄122=41.04.2282【答案】41.04【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】观察可知阴影部分是被以AD为半径的扇形、以AB为直径的半圆形和对角线BD分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD的面积减去扇形ADE的面积，那么我们的思路就很清楚了.因为MADB=45,所以扇形ADE的面积为：竺nAD2=-453.1452=9.8125（平方厘米），3603601那么左下边空白的面积为：—55-9.8125=2.6875（平方厘米），2角彳又因为半圆面积为：-n-=9.8125（平方厘米），吃丿所以阴影部分面积为：9.8125—2.6875=7.125（平方厘米）.【答案】7.125【例24】如图所示，阴影部分的面积为多少？（圆周率取3）3【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答3【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积.22927所以『Sb".5…533^332-3厂4®8冷.【答案】2716【巩固】【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积.【答案】2716【巩固】所分成的弓形的面积为：1n①_3\：1\<1=-9n_-；TOC\o"1-5"\h\z2\2)4」2168另一部分的面积为：1n32_321n-;8484所以阴影部分面积为：—%-99%-9==27n27=1.92375".92.16884168【答案】1.92【例25】已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以O1、O2、03为圆心，求阴影部分的面积.（n3）【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积•而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个90。扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：__12__、S正方形一S扇形|:S正方形一S圆4=20X20n（202—&20汉20—100冗）斗4】=75（平方厘米），所以阴影部分的面积为757=150（平方厘米）.【答案】150【例26】一个长方形的长为9，宽为6,一个半径为I的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是.（n取3）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍.阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为11-n12-90=1;3604方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为22-3勺2=1【答案】1【例27】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积.（n3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算•从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差.由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以0A2=62.8+3.14=20•因此：Saaob=OAOB2=OA22=10（平方厘米）•由于AOB是等腰直角三角形，所以AB2=202=40•4545因此：扇形ABC的面积=nAB2——n40——15.7（平方厘米）.360360所以，阴影部分的面积等于：15.7—10=5.7（平方厘米）•【答案】5.7【例28】如图，等腰直角三角形ABC的腰为10;以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF;两个阴影部分的面积相等•求扇形所在的圆面积.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来.等腰直角三角形的角A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍.而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即S扇形二-1010=50,则圆的面积为50住=400【答案】400【例29】如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7,求BC长.（n^3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形,这个时候我们就可以利用面积公式来求解了.因为阴影甲比阴影乙面积大7,也就是半圆面积比直角三角形面积大7.1半圆面积为：—nIO?=157，则直角三角形的面积为157—7=150,可得BC=2150“20=15.2【答案】15【巩固】三角形ABC是直角三角形，阴影I的面积比阴影II的面积小【巩固】三角形ABC是直角三角形，阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2,AB=8cm，求BC的长度.【考点】圆与扇形【难度】【解析】由于阴影I的面积比阴影为25cm2，则直角三角形3星II的面积小25cm2，根据差不变原理，直角三角形1「8丫2ABC面积为—n—25=8n25(cm2),2I2丿【题型】解答ABC面积减去半圆面积BC的长度为8n252"8=2n6.25=12.53(cm).【答案】12.53【巩固】如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB长40厘【考点】5!H米.求BC的长度？(n取【考点】5!H米.求BC的长度？(n取3.14)圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】图中半圆的直径为AB，所以其面积为1X202xn&200X314=628.2有空白部分③与①的面积和为628,又②-①=28，所以②、③部分的面积和628-28=656.一11有直角三角形ABC的面积为ABBC40BC=656.所以BC=32.8厘米.22【答案】32.8【例30】图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】十三分，入学测试题【解析】如下图，设半圆的圆心为O,连接OC.从图中可以看出，OC=20,OB=20-4=16，根据勾股定理可得BC=12.阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，1为：n202(162)12=200n-384=244.2【答案】244【例【例【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了.阴影部分面积=-小圆面积・丄中圆面积•三角形面积-1大圆面积222TOC\o"1-5"\h\z1212112n3n434■n522226【答案】6【例32】如图，直角三角形的三条边长度为【例32】如图，直角三角形的三条边长度为6O86O8【题型】解答【考点】圆与扇形【难度】4星【解析】S阴影=S直角三角形1s半圆，设半圆半径为r，直角三角形面积用r表示为：—_-10_-=8r22又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为168=24,2【题型】解答所以8r=24,r=3、1所以S阴影=249n=24—4.5n2【答案】24-4.5n【例33】大圆半径为R,小圆半径为r,两个同心圆构成一个环形.以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形•图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积.（圆周率取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能•题中已知阴影部分的面积，也就是R?一『=50平方厘米，那么环形的面积为：2222n-n=nR-r）=n50=157（平方厘米）.【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【巩固】图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答22【解析】设大圆半径为R，小圆半径为=50.则圆环面积为：22222n—…n…r)=50n=157(cm).r，依题有—--25,即R222【答案】157【例34】已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是.（n取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【关键词】101中学，考题【解析】设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为a,22大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即（2r）^a2a2，得r^—.2所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：n2：a2二n：2，所以大圆面积为：20-、2n=10n;小圆的面积与正方形的面积之比为：n?）2：a2二n：4，所以小圆的面积为：20"4n5n;两个圆的面2积之和为：10n5n15n153.14=47.1（平方厘米）.【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是平方厘米.（n取3.14）【题型】填空【解析】设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为a,2【题型】填空2大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即（2r）2二a2a2，得r^—.2222所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：n2：牡）2=r2：’=—:―=2:1,2424即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30x2=60（平方厘米）.【答案】60【巩固】（2008年四中考题）图中大正方形边长为a,小正方形的面积是【考点】

【解析】3星【题型】填空设图中小正方形的边长为【巩固】【考点】

【解析】3星【题型】填空设图中小正方形的边长为b，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a,而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以a2=b2•b2=2b2，故b2=」a2，即小正方形的面2积为-a2.2【答案】-a22【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示•已知最小圆的半径为1cm，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？（取冗=丝）7【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛【解析】我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算.内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是n12-22亠2n-2.内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是n（2「22）"4—22=2n—4.中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为2222=8,外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为82=16，所以外圈阴影部分的面积是n16亠4-8=4冗-8.所以阴影部分的面积是7n14二227—14=8（平方厘米）•7【答案】8【例35】图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形（如图），在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？（n3.14）【考点】3星【题型】解答【解析】圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为:16=43【考点】3星【题型】解答【解析】圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为:16=43323•••圆的面积为:【答案】12.56【例36】如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆.哪个图中阴影部分的面积大？为什么？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】设正方形的边长为a，每一个圆的半径为r，则正方形的每一条边上都有—个圆，从而正方形内部2r共有旦■—个圆，于是这些圆的总面积为：S阴影=n2——=丄扫？•2r2r2r2r4可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就是一定的.由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等.【答案】相等【例37】如图，在【例37】如图，在33方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1,圆心角都是90°的三段圆弧与正方形ABCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S：S2二？【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答【解析】如右图，仔细观察图形不难发现带形S1的面积等于曲边三角形BCD的面积减去曲边三角形BQD,的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出.所以，◎的面积二3?-n32-122-n22-=5：11-n；S的I4八4丿J4丿同理可求得带形S,的面积：带形S?的面积工曲边三角形B1CD1的面积一曲边三角形B2CD2的面积=31一-；I4丿所以，S:S2=5:3.【答案】5:3【例38】如图中，正方形的边长是5cm，两个顶点正好在圆心上,求图形的总面积是多少?（圆周率取【例38】如图中，正方形的边长是5cm，两个顶点正好在圆心上,求图形的总面积是多少?（圆周率取3.14)【考点】【解析】【题型】解答【答案】142.75【例39】如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆0的半径为15,AEB是以C为圆心，AC为半径的圆弧阴影部分面积.BB【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答ABC【解析】阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形再减去扇形ACB的结果.ABC半圆面积为1n152,2TOC\o"1-5"\h\z11三角形ABC面积为151515=152，又因为三角形面积也等于AC2,22所以AC2=2152,那么扇形ACB的面积为-90nAC2=1n2152.3604阴影部分面积S阴影=s半圆■S三角形-S扇形12212n1515-沁n21545（平方厘米）【答案】225【例40】如下图所示，曲线PRSQ和ROS是两个半圆.RS平行于PQ•如果大半圆的半径是1米，那么阴【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如左下图所示，弓形RS的面积等于扇形ORS的面积与三角形ORS的面积之差，为121n1十、、「,n111（平万米）,424P1O1QP1O1Q尹,2-2--222半圆ROS的面积为1-XnRS」nOROS-1n11n（平方米）,2224244所以阴影部分的面积为n_-•亠-n-1=1.07（平方米）4242【例41】在右图所示的正方形【答案】1.07ABCD中，对角线AC长2厘米.扇形ADC是以D为圆心，以【例41】在右图所示的正方形圆的一部分.求阴影部分的面积【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答-nAC2-1AD2.82（如图）.求钱币在【解析】如右图所示，Si=nAD2-丄AD2,TOC\o【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答-nAC2-1AD2.82（如图）.求钱币在n21212121212ADADnACADnACAC二n-2=1.14（平方厘米）.42824另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形ADC面积之和减去正方形ABCD的面积，所以阴影部分的面积为-AD21nAC2-AD2=1.14（平方厘米）.48【答案】1.144cm【例42】某仿古钱币直径为4厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧桌面上能覆盖的面积为多少？4cm【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】将古钱币分成8个部分，外部的4个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形,中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：4242422n2—2“4n=6n-8=10.84（cm）.£丿\2J\2）【答案】10.84【例43】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米.每当太阳西下,（如右图）.那么，阴影部分的面积是平方米.钟面就会出现奇妙的阴影1212【关键词】小学生数学报【解析】1110AA33489B12B'【答案】等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相等•由A与A',B与B'面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半.10亠2=：5（平方米）.钟面就会出现奇妙的阴影1212【关键词】小学生数学报【解析】1110AA33489B12B'【答案】512111甲2乙O48573【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少?12111甲2乙O48573【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答【解析】根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：阴影部分甲=120。的扇形-三角形-小弓形；阴影部分乙二三角形•小弓形；由于120°扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积:36111甲O48572乙■3‘6阴影部分乙的面积120°阴影部分的面积1=圆的面积的一61=圆的面积的一3综上所述：阴影部分甲的面积【答案】1:1二圆的面积的AB阴影部分乙的面积=36111甲O48572乙■3‘6阴影部分乙的面积120°阴影部分的面积1=圆的面积的一61=圆的面积的一3综上所述：阴影部分甲的面积【答案】1:1二圆的面积的AB阴影部分乙的面积=斜纹三角形B的面积+斜纹弓形A的面积⑴二圆的面积的£•所以甲、乙面积之比为10平方米.每当太阳西下,8383AGF【难度】5星AGF【题型】解答【考点】圆与扇形【难度】4星AGF【难度】5星AGF【题型】解答将原题图中的等边三角形旋转30°（注意，只转三角形，圆形不动），得到右上图.因为:AOD、厶BOD都是等边三角形，所以四边形OBDA是菱形，推知AOB与ADB面积相等.又因为弦AD所对的弓形与弦BD所对的弓形面积相等，所以扇形AOB中阴影部分面积占一半•同理，在扇形AOC、扇形BOC中，阴影部分面积也占一半•所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是10十2=5（平方米）.【答案】5O的半径为15厘米.【巩固】如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆■AOBCOD=•EOF=90.求阴影部分的面积.O的半径为15厘米.【考点】圆与扇形【解析】直接解决.总阴影面积二每块阴影面积3=（大弓形一小弓形）3•关键在于大弓形中三角形的面积，设J为弧GI的中点，则可知GOIJ是菱形，GOJ是正三角形，所以，三角形GOD的面积=11526•22所以大弓形的面积：Sgji二1n152—11526TOC\o"1-5"\h\z22=235.5-97.5=138•1212小弓形的面积：Sfjen1515=176.625_112.5=64.125•2所以，总阴影面积^.138-64.1253=221.625（平方厘米）•【答案】221.625【例44】如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了.由已知条件，若分别连结AO1,AO2,BO1,BO2,O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长均等于半径），则.AO2O^.BO2O^60，即.AO2B=120.这样就可以求出以02为圆心的扇形AO1BO2的面积，然后再减去三角形AO2B的面积，就得到弓形的面积，三角形AO2B的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦AB，高是O1O2的一半.所以，阴影