高中数学核心素养的教学与评价课件

高中数学核心素养的教学与评价高中数学核心素养的教学与评价前言回归数学本质（数学的本原性问题和数学的发生发展过程）教师的独立思考（“教师事关重大”，明白之人使人明白）《课标》只是一个纲领性的文件（从“想法”到“做法”，通过研究改进教学）前言回归数学本质（数学的本原性问题和数学的发生发展过程）提纲2003版高中数学课程标准实施现状调查数学核心素养系统数学核心素养的教学与评价数学素养的测试提纲2003版高中数学课程标准实施现状调查一、2003版高中数学课程实施现状调查一、2003版高中数学课程实施现状调查调研框架课程设计课程内容课程实施课程评价定位(性质、需求、衔接)目标(知识、素养、能力)结构(多样性、选择性)难度(深度、广度、容量)体系(核心、顺序、关联)教学(课时、教法、负担)教材(编排、例习题)师资(环境、培训)区分(定性、定量、定位)考试(高考、会考)科学性可行性一致性存在问题修订建议调研框架课程设计课程内容课程实施课程评价定位(性质、需求、衔调研中初步发现的若干焦点问题课程系列与模块的设置。课程系列（必修、必选、任选）设置基本赞同，但模块设置意见较大；必修与必选模块内容需要调整；选修系列3和4中的大部分模块形同虚设。螺旋上升。总体设想很好，但有些联系紧密的数学内容切割在不同系列或模块中（如函数分设在必修1和必修4中，解析几何分散在必修、选修系列2和选修系列4中）造成割裂和遗忘。传统数学能力。运算能力、逻辑推理能力与空间想象能力有所弱化。新的立体几何课程导致学生空间想象能力普遍减弱，其原因：一方面是由于向量作为研究立体几何的工具使立体几何变成了“算的几何”；另一方面立体几何内容被分为必修和选修两个部分后教学时间间隔过长也可能是导致学生空间观念削弱的主要症结。调研中初步发现的若干焦点问题课程系列与模块的设置。课程系列（调研中初步发现的若干焦点问题存在重技能轻素养现象。教师普遍肯定建模、探究、研究性学习在培养学生数学素养过程中所起的作用及数学素养的重要性，但目前的评价方式还是停留在知识与技能上。学生负担。造成学生负担重的原因：一是高考与《课标》要求存在较大差距，特别提到递推数列的问题；二是初高中衔接问题：学生的知识技能储备不足，缺少良好的学习和思考习惯衔接。与义务教育、大学及其它学科的衔接需要加强，内部逻辑也要进一步理顺。课时。必修的五个模块属于拼盘式，必修1时间偏紧，练习巩固时间不够，实际上普遍超时。高考与会考。课标对考试要求不明确，制约性差；考纲在高中教学中起更大的作用。课标文本。表述太原则，在教学中用处不大，希望具体化和细化。调研中初步发现的若干焦点问题存在重技能轻素养现象。教师普遍肯二、数学核心素养系统二、数学核心素养系统1.处理好四基、核心素养、情感态度价值观之间的关系科学态度创新精神理性思维应用意识基础知识基本技能基本思想基本活动经验数学抽象逻辑推理数学建模数学运算直观想象数据分析问题解决树木森林生态1.处理好四基、核心素养、情感态度价值观之间的关系科学态度课程目标的层级结构通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。课程目标的层级结构通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学2.数学核心素养的解读2.数学核心素养的解读2.1内涵《课标》对数学抽象内涵的说明内涵（过程）：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。学科价值：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。育人价值（素养）：通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系（能力），积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。2.1内涵《课标》对数学抽象内涵的说明2.2行为表现数学抽象2.2行为表现数学抽象概念形成心理过程检验概括形式化形成概念确认本质属性共同属性各种属性刺激模式符号表示类化抽象分化辨别概念形成心理过程检验概括形式化形成概念确认本质属性共同属性各概念形成的逻辑过程在自然数的基础上构造一个笛卡尔集：在新集合中定义等价关系：在新集合中用上述等价关系划分为等价类，每个等价类取一个代表元素构成一个新的集合(商集)：在商集上定义四则运算：我们把定义了上述运算的集合称为整数集，可以证明整数集的一个子集与N同构。扩大外延（等势抽象），例如数系的扩张：N→Z→Q→R→C增加内涵（属加种差），例如正方形的定义：{四边形}→{平行四边形}→{矩形}→{正方形}概念形成的逻辑过程在自然数的基础上构造一个笛卡尔集：在新集合2.3样例2.3样例样例：函数单调性为什么要讨论函数单调性？学生已经具备了什么样的相关经验？如何刻画函数的单调性？为什么数学中常用符号语言取表示一个概念/性质/原理？样例：函数单调性为什么要讨论函数单调性？函数单调性的抽象过程问题1（从具体函数出发）函数单调性的抽象过程问题1（从具体函数出发）函数的单调性的定义问题2思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜角思路2：利用两点连线的斜率（导数的几何意义）思路3：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义）思路4：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）函数的单调性的定义问题2思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜三、数学核心素养的教学与评价三、数学核心素养的教学与评价1.评价理念的转变对教学的评价为了教学的评价教学即评价学业质量标准形成性评价聚焦活动过程专项任务设计关注个性特征与水平差异学习能力1.评价理念的转变对教学的评价为了教学的评价教学即评价学业关于数学核心素养的基本假设数学教学是数学活动的教学；数学素养在特定的、情境化的、综合性的数学活动中形成与发展、表现与评价；数学素养离不开数学“四基”的教学；数学素养是一个阶段性教学目标（单元设计）数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、开放性的数学任务是培养和测量数学素养的有效途径；数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在数学素养上也有不同的特点；对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。关于数学核心素养的基本假设数学教学是数学活动的教学；3.数学活动的设计教学设计任务设计活动设计数学过程课堂互动合作学习工具使用交流反思3.数学活动的设计教学设计任务设计活动设计数学过程课堂互动数学活动过程（PISA）过程1对问题情境的数学化过程2运用数学概念、事实、程序和推理过程3解释、应用和评价所得的数学结论数学活动过程（PISA）过程1过程2过程3过程1：对问题情境的数学化确定现实情境中一个问题的数学特征及关键变量;确认问题或情境中的数学结构（包括规律、关系和模式）;简化一个情境或问题，使其更有利于数学分析;在建模过程中弄清各种限制和假设，并逐步简化背景;利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境进行数学表征;用不同的途径描述问题，包括数学概念和数学假设的利用;理解和解释用于描述同一问题的现实情境语言和数学形式语言之间的关系;把问题转译为数学语言或数学表征;把问题化归为已知的问题或者数学概念、事实、程序;利用技术去凸显隐含在问题情境中的数学关系.过程1：对问题情境的数学化确定现实情境中一个问题的数学特征及过程2：运用数学概念、事实、程序和推理设计和实施各种解题策略去发现数学结论;利用各种数学工具/技术去获得精确的或近似的结果;运用数学事实、规则、算法和结构去发现数学结果;能够在解题过程中操作数字、图形、统计数据和信息、代数式和方程、几何表征;能够制作数学图表、构造数学对象，并从中提取数学信息；在解题过程中利用不同的表征并进行相互转化;能够依据数学程序获得结果并将结果一般化;能够反思数学的论证过程并解释和判断所得的结果.过程2：运用数学概念、事实、程序和推理设计和实施各种解题策略过程3：解释、应用和评价所得的数学结论回到原来的现实背景解释数学结果;依据现实背景评价数学结果的合理性;理解现实情境是如何影响数学结果和过程，以及如何依据实际情况进行调整和运用;解释为什么所得的数学结果对于一个实际情境中的问题来说是有意义的或者无意义的;理解数学概念和结果的适用范围和局限性；在利用数学模型解决问题时能够评价和确定限制条件.过程3：解释、应用和评价所得的数学结论回到原来的现实背景解释4.强调单元教学在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳理本单元的课程发展主线（学习进阶）；通过本原性问题的探讨，聚焦本单元的大观念（bigideas）；在夯实数学双基的基础上凸显数学核心素养的专项设计；优化每个单元的习题系统。4.强调单元教学在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳理5.高中数学核心素养教学案例解析5.高中数学核心素养教学案例解析高中课例01：椭圆四基层面椭圆的定义：多种方式，实验操作，活动经验标准方程：坐标平面，方程的特征，形式结构几何性质：解析法，性质的运用核心素养层面数学运算，符号运算，运算方向、运算的合理性，几何直观等数学建模：圆锥曲线的光学性质、双曲线的定位功能等情感态度价值观层面数学方法描述自然现象的优越性数学是有趣的、有用的、优美的高中课例01：椭圆四基层面几何直观与代数表征由圆“压缩”到椭圆：猜想椭圆方程是二次方程，由对称性及奇偶函数的表达式猜测：椭圆方程关于x、y只有平方项；对比直线的截距式方程，x轴上的截距为a，y轴上的截距为b，对比圆的标准方程（可以看作是极端情形等），猜想椭圆的标准方程.由此猜想椭圆的标准方程：在建系、推导方程之前，可以根据操作活动先初步推测椭圆的特征：对称性，中心，封闭图形，有界性等；这样，一方面有助于坐标系的选择，另一方面可以预见到方程的某些特征，如：几何直观与代数表征由圆“压缩”到椭圆：猜想椭圆方程是二次方程数学运算标准方程的推导（化简），可以关注一下几点：在一般的化简过程中，为什么要把其中一个根式移到等号的另一边：形式直观与对偶关系的运用：对符号运算的强化训练：两边直接开方，利用平方差关系来简化运算数学运算标准方程的推导（化简），可以关注一下几点：形式直观与几何直观：离心率的发现实验观察：椭圆的形状有“扁”有“圆”；数学问题：如何刻画椭圆的“扁平”程度？多种角度思考：回顾用定长线段画椭圆的过程，猜想与a、c有关，猜测与这两个量相关的模型：a+c,a-c,ac,a/c,c/a…观察平面截圆柱/锥的情形，猜想：与平面和旋转轴所成的角有关，可能的模型：角度，三角函数，比值观察椭圆的现状或标准方程，猜想可能与a、b的接近程度有关，可能的模型：|a-b|，a/b，…选择合理的几何模型几何直观：离心率的发现实验观察：椭圆的形状有“扁”有“圆”；作为一种数学建模活动可以尝试作为一种数学建模活动，具体步骤如下：椭圆是一种常见图形，先观察一些实际情形：如倾斜的圆柱形杯子的水面，篮球的影子，压扁的圆环，卫星规定（图片）等;讨论是否可以“画出”这种曲线？依据圆与椭圆的联系，探索椭圆的“画法”;发现操作中的等量关系，猜测方程的形式与特征（依据压扁的圆环，或倾斜的杯子）；建立坐标系，化简，得出标准方程；讨论模型（方程）的限制条件；利用方程讨论椭圆的几何性质.作为一种数学建模活动可以尝试作为一种数学建模活动，具体步骤如投影与椭圆如图所示，篮球在照射的阳光下会在地面上留下影子．太阳的光线与篮球相切的切点所组成的是什么图形？篮球在地面上所形成的影子什么时候是一个圆面，什么时候是一个椭圆面？当篮球的影子是一个椭圆面时，篮球与地面的切点位于椭圆的什么位置？当篮子的影子是椭圆面时，证明：太阳光线与篮球相切的切点所在的平面与地面的交线是这个椭圆的一条准线。投影与椭圆如图所示，篮球在照射的阳光下会在地面上留下影子．高中课例02：充分条件与必要条件数学中的常用逻辑与传统形式逻辑的异同？基本的思维方式：概念、命题、推理常见的命题形式：假言命题（蕴含式）：若p，则q.常用的推理规则：传递性是否需要强调命题的四种形式？是否适合用现实的例子来说明？（更多的用数学例子来说事）是否需要了解推理规则？（8条蕴含规则+10条等价规则）高中课例02：充分条件与必要条件数学中的常用逻辑与传统形式逻高中课例03：函数的奇偶性有剪纸引出对称性：对称性在剪纸艺术中的运用，不只是对称美；与整数的奇偶性的对比：函数奇偶性源自幂函数的指数的奇偶性确定奇偶性的应用：事半功倍，画函数图像，讨论函数的单调性、最值等对奇偶函数定义域的人为限制：奇偶函数的构造，如：关于函数奇偶性的讨论，如：高中课例03：函数的奇偶性有剪纸引出对称性：对称性在剪纸艺术高中课例04：向量与立体几何需要考虑的几个问题：应该在哪个核心素养上有所侧重：直观想象，逻辑推理与数学运算？立体几何中的直观想象：三维空间的直观：实物↔模型↔图形↔文字↔符号基于概念的空间想象：位置关系（相交、平行、异面等）图形的转换（展开、旋转、折叠等）表象操作（直观图、透视、投影、截面等）立体几何中的逻辑推理：基于形象性概念的空间推理（代数推理：基于过程性概念的符号推理）基于平面直观图和空间想象的逻辑推理高中课例04：向量与立体几何需要考虑的几个问题：向量对立体几何教学的影响向量的引入对立体几何教学产生了很多的影响，其中的利弊需要深入探讨：为数形结合提供机会：如何兼顾“数”的简洁与“形”的特征？作为解决问题的工具：向量的引入能否拓展立几的实际应用？作为几何模型的三维向量空间：三维空间可以作为线性代数和高维空间的具体模型理解公理化的思想：局限性（没有引入向量积）：相交、异面、截面等从推理到运算：向量处理是否在一定程度上弱化了几何推理与空间想象？例证明三角形PEF是锐角三角形。QACPEF向量对立体几何教学的影响向量的引入对立体几何教指向“直观想象”的数学活动：截面与投影在一个密闭透明的圆柱型桶内装了一定体积的水.将圆柱桶分别直立、水平、倾斜放置时，写出水平面可能呈现出的所有几何形状？请分别画出（1）的直观示意图.如图是一个密封的水槽，里面注入了一定容量的水。是否可以适当的摆放水槽，使得水面成为：正三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，平行四边形，矩形，正方形，菱形，梯形，正五边形，正六边形…假设水槽里面的水量是水槽容积的3/4，请在水槽上凿一个小洞，适当摆放水槽后，恰好流掉1/4的水？指向“直观想象”的数学活动：截面与投影在一个密闭透明的圆柱型四、数学素养的测试四、数学素养的测试1.基于数学核心素养的评价框架1.基于数学核心素养的评价框架2.命题原则强调围绕数学的核心概念突出数学的通性通法设计真实的情境关注数学的本源性问题（数学的生长点）和有意义的问题（蕴含数学概念或思想方法）避免纯粹的符号游戏，缺乏数学的或实际的意义独木桥式的解题技巧反复的机械训练，对题型的死记硬背2.命题原则强调3.评分原则满意原则（每道题都有一个基本要求，只要达到这个要求，有算满意）；爬梯子原则（不同能力的学生可以爬上不同的高度）；多元计分原则（根据学生的解题行为的过程和特征评分，例如对特别有创意的解法可以适当加法）；诊断性原则（评分结果不只是一个分数，不仅可以反映学生的素养水平，还可以提供各种信息，为教学和学生的发展提供参考）3.评分原则满意原则（每道题都有一个基本要求，只要达到这个4.样例分析4.样例分析样例01：代数模型一个学生在排球比赛中弄伤了膝盖。医生为他开了处方，要他每8小时服用440毫克的药片，连续10天。如果他的肾脏8小时后能够过滤掉60%的药片，那么，10天后还有多少药仍留在他的体内a1=440，a2=a1×40%+440，an+1=0.4an+440，1≤

n≤31这是一个数列问题，我们用a1表示第一次服药后体内的药量，a2表示第2次服药后体内的药量，an

表示第n次服药后体内的药量样例01：代数模型一个学生在排球比赛中弄伤了膝盖。医生为他开样例02：影子问题A如图，在广场上，一盏路灯挂在一根10米的电线杆顶上（电线杆的底部记为），假设把路灯看作是一个点光源，身高1.5米的女孩站在离点5米的处.请回答以下问题：如果她绕路灯走一个圆圈，其阴影扫过的面积是多少？如果她沿一个边长为10、中心在A点的的正方形走一圈，那么其阴影扫过的面积是多少？如果她绕一个半径为2的圆周走一圈，那么其阴影扫过的面积是多少？如果她绕一个以A为中心，长短轴分别为5和3的椭圆走一圈，建立适当的坐标系，求她的身影的另一端点的轨迹方程。样例02：影子问题A如图，在广场上，一盏路灯挂样例03：街道距离（出租车几何学）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走。如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点A(x1,y1)

和B(x2,y2)，用以下的方式定义两点间距离：在数轴上任意取三点A，B，C，证明：从上述距离的定义出发，给出“点到直线的距离”的定义，并计算已知点到已知直线的距离.画出到定点O(0,0)的距离等于1的点P(x,y)所形成的图形.画出到定点A(-1,0)和B(1,0)距离之和等于4的点P(x,y)的轨迹.样例03：街道距离（出租车几何学）城市的许多街样例04：热带风暴热带风暴“龙王”于9月26日上午在西北太平洋洋面上生成，27日上午加强为台风．30日下午5点，台风中心移到了我国台湾省花莲市偏东方向大约940公里的洋面上（如图所示），并继续向我国台湾省东部沿海靠近，台风中心于10月２日早晨５时30分到达台湾省花莲市，随后继续向西运动．

把台风影响区域的边界近似看成是一个半径为300km的圆，厦门市位于花莲市西340km.台风中心到达厦门后，向北偏西45度方向继续移动，并不断衰减，移动速度下降为18km/h，受台风影响区域的半径每小时平均减少4km.为了预防台风造成灾害，根据以上信息，请估计台风对厦门开始发生影响(台风圈的边缘到厦门)的时刻和台风中心到厦门的时刻;

南昌位于厦门北偏西30°，相距500公里，请说明这个台风对南昌是否有影响?样例04：热带风暴热带风暴“龙王”于9月26日上午在西样例05：投资的收益率样例05：投资的收益率2.3数学素养测试的基本流程数学素养的界定可测量的行为特征数学素养的要素与水平数学素养的评价框架测试卷IRT专项任务设计结果分析题库专家认证2.3数学素养测试的基本流程数学素养的界定可测量的行为特征欢迎投稿编辑部电子信箱：sxjxzz@欢迎关注《数学教学》微信号：shuxuejiaoxuezazhi欢迎投稿编辑部电子信箱：欢迎关注《数学教学》微信号：shu谢谢！谢谢！高中数学核心素养的教学与评价高中数学核心素养的教学与评价前言回归数学本质（数学的本原性问题和数学的发生发展过程）教师的独立思考（“教师事关重大”，明白之人使人明白）《课标》只是一个纲领性的文件（从“想法”到“做法”，通过研究改进教学）前言回归数学本质（数学的本原性问题和数学的发生发展过程）提纲2003版高中数学课程标准实施现状调查数学核心素养系统数学核心素养的教学与评价数学素养的测试提纲2003版高中数学课程标准实施现状调查一、2003版高中数学课程实施现状调查一、2003版高中数学课程实施现状调查调研框架课程设计课程内容课程实施课程评价定位(性质、需求、衔接)目标(知识、素养、能力)结构(多样性、选择性)难度(深度、广度、容量)体系(核心、顺序、关联)教学(课时、教法、负担)教材(编排、例习题)师资(环境、培训)区分(定性、定量、定位)考试(高考、会考)科学性可行性一致性存在问题修订建议调研框架课程设计课程内容课程实施课程评价定位(性质、需求、衔调研中初步发现的若干焦点问题课程系列与模块的设置。课程系列（必修、必选、任选）设置基本赞同，但模块设置意见较大；必修与必选模块内容需要调整；选修系列3和4中的大部分模块形同虚设。螺旋上升。总体设想很好，但有些联系紧密的数学内容切割在不同系列或模块中（如函数分设在必修1和必修4中，解析几何分散在必修、选修系列2和选修系列4中）造成割裂和遗忘。传统数学能力。运算能力、逻辑推理能力与空间想象能力有所弱化。新的立体几何课程导致学生空间想象能力普遍减弱，其原因：一方面是由于向量作为研究立体几何的工具使立体几何变成了“算的几何”；另一方面立体几何内容被分为必修和选修两个部分后教学时间间隔过长也可能是导致学生空间观念削弱的主要症结。调研中初步发现的若干焦点问题课程系列与模块的设置。课程系列（调研中初步发现的若干焦点问题存在重技能轻素养现象。教师普遍肯定建模、探究、研究性学习在培养学生数学素养过程中所起的作用及数学素养的重要性，但目前的评价方式还是停留在知识与技能上。学生负担。造成学生负担重的原因：一是高考与《课标》要求存在较大差距，特别提到递推数列的问题；二是初高中衔接问题：学生的知识技能储备不足，缺少良好的学习和思考习惯衔接。与义务教育、大学及其它学科的衔接需要加强，内部逻辑也要进一步理顺。课时。必修的五个模块属于拼盘式，必修1时间偏紧，练习巩固时间不够，实际上普遍超时。高考与会考。课标对考试要求不明确，制约性差；考纲在高中教学中起更大的作用。课标文本。表述太原则，在教学中用处不大，希望具体化和细化。调研中初步发现的若干焦点问题存在重技能轻素养现象。教师普遍肯二、数学核心素养系统二、数学核心素养系统1.处理好四基、核心素养、情感态度价值观之间的关系科学态度创新精神理性思维应用意识基础知识基本技能基本思想基本活动经验数学抽象逻辑推理数学建模数学运算直观想象数据分析问题解决树木森林生态1.处理好四基、核心素养、情感态度价值观之间的关系科学态度课程目标的层级结构通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。课程目标的层级结构通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学2.数学核心素养的解读2.数学核心素养的解读2.1内涵《课标》对数学抽象内涵的说明内涵（过程）：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。学科价值：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。育人价值（素养）：通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系（能力），积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。2.1内涵《课标》对数学抽象内涵的说明2.2行为表现数学抽象2.2行为表现数学抽象概念形成心理过程检验概括形式化形成概念确认本质属性共同属性各种属性刺激模式符号表示类化抽象分化辨别概念形成心理过程检验概括形式化形成概念确认本质属性共同属性各概念形成的逻辑过程在自然数的基础上构造一个笛卡尔集：在新集合中定义等价关系：在新集合中用上述等价关系划分为等价类，每个等价类取一个代表元素构成一个新的集合(商集)：在商集上定义四则运算：我们把定义了上述运算的集合称为整数集，可以证明整数集的一个子集与N同构。扩大外延（等势抽象），例如数系的扩张：N→Z→Q→R→C增加内涵（属加种差），例如正方形的定义：{四边形}→{平行四边形}→{矩形}→{正方形}概念形成的逻辑过程在自然数的基础上构造一个笛卡尔集：在新集合2.3样例2.3样例样例：函数单调性为什么要讨论函数单调性？学生已经具备了什么样的相关经验？如何刻画函数的单调性？为什么数学中常用符号语言取表示一个概念/性质/原理？样例：函数单调性为什么要讨论函数单调性？函数单调性的抽象过程问题1（从具体函数出发）函数单调性的抽象过程问题1（从具体函数出发）函数的单调性的定义问题2思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜角思路2：利用两点连线的斜率（导数的几何意义）思路3：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义）思路4：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）函数的单调性的定义问题2思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜三、数学核心素养的教学与评价三、数学核心素养的教学与评价1.评价理念的转变对教学的评价为了教学的评价教学即评价学业质量标准形成性评价聚焦活动过程专项任务设计关注个性特征与水平差异学习能力1.评价理念的转变对教学的评价为了教学的评价教学即评价学业关于数学核心素养的基本假设数学教学是数学活动的教学；数学素养在特定的、情境化的、综合性的数学活动中形成与发展、表现与评价；数学素养离不开数学“四基”的教学；数学素养是一个阶段性教学目标（单元设计）数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、开放性的数学任务是培养和测量数学素养的有效途径；数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在数学素养上也有不同的特点；对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。关于数学核心素养的基本假设数学教学是数学活动的教学；3.数学活动的设计教学设计任务设计活动设计数学过程课堂互动合作学习工具使用交流反思3.数学活动的设计教学设计任务设计活动设计数学过程课堂互动数学活动过程（PISA）过程1对问题情境的数学化过程2运用数学概念、事实、程序和推理过程3解释、应用和评价所得的数学结论数学活动过程（PISA）过程1过程2过程3过程1：对问题情境的数学化确定现实情境中一个问题的数学特征及关键变量;确认问题或情境中的数学结构（包括规律、关系和模式）;简化一个情境或问题，使其更有利于数学分析;在建模过程中弄清各种限制和假设，并逐步简化背景;利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境进行数学表征;用不同的途径描述问题，包括数学概念和数学假设的利用;理解和解释用于描述同一问题的现实情境语言和数学形式语言之间的关系;把问题转译为数学语言或数学表征;把问题化归为已知的问题或者数学概念、事实、程序;利用技术去凸显隐含在问题情境中的数学关系.过程1：对问题情境的数学化确定现实情境中一个问题的数学特征及过程2：运用数学概念、事实、程序和推理设计和实施各种解题策略去发现数学结论;利用各种数学工具/技术去获得精确的或近似的结果;运用数学事实、规则、算法和结构去发现数学结果;能够在解题过程中操作数字、图形、统计数据和信息、代数式和方程、几何表征;能够制作数学图表、构造数学对象，并从中提取数学信息；在解题过程中利用不同的表征并进行相互转化;能够依据数学程序获得结果并将结果一般化;能够反思数学的论证过程并解释和判断所得的结果.过程2：运用数学概念、事实、程序和推理设计和实施各种解题策略过程3：解释、应用和评价所得的数学结论回到原来的现实背景解释数学结果;依据现实背景评价数学结果的合理性;理解现实情境是如何影响数学结果和过程，以及如何依据实际情况进行调整和运用;解释为什么所得的数学结果对于一个实际情境中的问题来说是有意义的或者无意义的;理解数学概念和结果的适用范围和局限性；在利用数学模型解决问题时能够评价和确定限制条件.过程3：解释、应用和评价所得的数学结论回到原来的现实背景解释4.强调单元教学在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳理本单元的课程发展主线（学习进阶）；通过本原性问题的探讨，聚焦本单元的大观念（bigideas）；在夯实数学双基的基础上凸显数学核心素养的专项设计；优化每个单元的习题系统。4.强调单元教学在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳理5.高中数学核心素养教学案例解析5.高中数学核心素养教学案例解析高中课例01：椭圆四基层面椭圆的定义：多种方式，实验操作，活动经验标准方程：坐标平面，方程的特征，形式结构几何性质：解析法，性质的运用核心素养层面数学运算，符号运算，运算方向、运算的合理性，几何直观等数学建模：圆锥曲线的光学性质、双曲线的定位功能等情感态度价值观层面数学方法描述自然现象的优越性数学是有趣的、有用的、优美的高中课例01：椭圆四基层面几何直观与代数表征由圆“压缩”到椭圆：猜想椭圆方程是二次方程，由对称性及奇偶函数的表达式猜测：椭圆方程关于x、y只有平方项；对比直线的截距式方程，x轴上的截距为a，y轴上的截距为b，对比圆的标准方程（可以看作是极端情形等），猜想椭圆的标准方程.由此猜想椭圆的标准方程：在建系、推导方程之前，可以根据操作活动先初步推测椭圆的特征：对称性，中心，封闭图形，有界性等；这样，一方面有助于坐标系的选择，另一方面可以预见到方程的某些特征，如：几何直观与代数表征由圆“压缩”到椭圆：猜想椭圆方程是二次方程数学运算标准方程的推导（化简），可以关注一下几点：在一般的化简过程中，为什么要把其中一个根式移到等号的另一边：形式直观与对偶关系的运用：对符号运算的强化训练：两边直接开方，利用平方差关系来简化运算数学运算标准方程的推导（化简），可以关注一下几点：形式直观与几何直观：离心率的发现实验观察：椭圆的形状有“扁”有“圆”；数学问题：如何刻画椭圆的“扁平”程度？多种角度思考：回顾用定长线段画椭圆的过程，猜想与a、c有关，猜测与这两个量相关的模型：a+c,a-c,ac,a/c,c/a…观察平面截圆柱/锥的情形，猜想：与平面和旋转轴所成的角有关，可能的模型：角度，三角函数，比值观察椭圆的现状或标准方程，猜想可能与a、b的接近程度有关，可能的模型：|a-b|，a/b，…选择合理的几何模型几何直观：离心率的发现实验观察：椭圆的形状有“扁”有“圆”；作为一种数学建模活动可以尝试作为一种数学建模活动，具体步骤如下：椭圆是一种常见图形，先观察一些实际情形：如倾斜的圆柱形杯子的水面，篮球的影子，压扁的圆环，卫星规定（图片）等;讨论是否可以“画出”这种曲线？依据圆与椭圆的联系，探索椭圆的“画法”;发现操作中的等量关系，猜测方程的形式与特征（依据压扁的圆环，或倾斜的杯子）；建立坐标系，化简，得出标准方程；讨论模型（方程）的限制条件；利用方程讨论椭圆的几何性质.作为一种数学建模活动可以尝试作为一种数学建模活动，具体步骤如投影与椭圆如图所示，篮球在照射的阳光下会在地面上留下影子．太阳的光线与篮球相切的切点所组成的是什么图形？篮球在地面上所形成的影子什么时候是一个圆面，什么时候是一个椭圆面？当篮球的影子是一个椭圆面时，篮球与地面的切点位于椭圆的什么位置？当篮子的影子是椭圆面时，证明：太阳光线与篮球相切的切点所在的平面与地面的交线是这个椭圆的一条准线。投影与椭圆如图所示，篮球在照射的阳光下会在地面上留下影子．高中课例02：充分条件与必要条件数学中的常用逻辑与传统形式逻辑的异同？基本的思维方式：概念、命题、推理常见的命题形式：假言命题（蕴含式）：若p，则q.常用的推理规则：传递性是否需要强调命题的四种形式？是否适合用现实的例子来说明？（更多的用数学例子来说事）是否需要了解推理规则？（8条蕴含规则+10条等价规则）高中课例02：充分条件与必要条件数学中的常用逻辑与传统形式逻高中课例03：函数的奇偶性有剪纸引出对称性：对称性在剪纸艺术中的运用，不只是对称美；与整数的奇偶性的对比：函数奇偶性源自幂函数的指数的奇偶性确定奇偶性的应用：事半功倍，画函数图像，讨论函数的单调性、最值等对奇偶函数定义域的人为限制：奇偶函数的构造，如：关于函数奇偶性的讨论，如：高中课例03：函数的奇偶性有剪纸引出对称性：对称性在剪纸艺术高中课例04：向量与立体几何需要考虑的几个问题：应该在哪个核心素养上有所侧重：直观想象，逻辑推理与数学运算？立体几何中的直观想象：三维空间的直观：实物↔模型↔图形↔文字↔符号基于概念的空间想象：位置关系（相交、平行、异面等）图形的转换（展开、旋转、折叠等）表象操作（直观图、透视、投影、截面等）立体几何中的逻辑推理：基于形象性概念的空间推理（代数推理：基于过程性概念的符号推理）基于平面直观图和空间想象的逻辑推理高中课例04：向量与立体几何需要考虑的几个问题：向量对立体几何教学的影响向量的引入对立体几何教学产生了很多的影响，其中的利弊需要深入探讨：为数形结合提供机会：如何兼顾“数”的简洁与“形”的特征？作为解决问题的工具：向量的引入能否拓展立几的实际应用？作为几何模型的三维向量空间：三维空间可以作为线性代数和高维空间的具体模型理解公理化的思想：局限性（没有引入向量积）：相交、异面、截面等从推理到运算：向量处理是否在一定程度上弱化了几何推理与空间想象？例证明三角形PEF是锐角三角形。QACPEF向量对立体几何教学的影响向量的引入对立体几何教指向“直观想象”的数学活动：截面与投影在一个密闭透明的圆柱型桶内装了一定体积的水.将圆柱桶分别直立、水平、倾斜放置时，写出水平面可能呈现出的所有几何形状？请分别画出（1）的直观示意图.如图是一个密封的水槽，里面注入了一定容量的水。是否可以适当的摆放水槽，使得水面成为：正三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，平行四边形，矩形，正方形，菱形，梯形，正五边形，正六边形…假设水槽里面的水量是水槽容积的3/4，请在水槽上凿一个小洞，适当摆放水槽后，恰好流掉1/4的水？指向“直观想象”的数学活动：截面与投影在一个密闭透明的圆柱型四、数学素养的测试四、数学素养的测试1.基于数学核心素养的评价框架1.基于数学核心素养的评价框架2.命题原则强调围绕数学的核心概念突出数学的通性通法设计真实的情境关注数学的本源性问题（数学的生长点）和有意义的问题（蕴含数学概念或思想方法）避免纯粹的符号游戏，缺乏数学的或实际的意义独木桥式的解题技巧反复的机械训练，对题型的死记硬背2.命题原则强调3.评分原则满意原则（每道题都有一个基本要求，只要达到这个要求，有算满意）；爬梯子原则（不同能力的学生可以爬上不同的高度）；多元计分原则（根据学生的解题行为的过程和特征评分，例如对