帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论

帮你归纳总结五导数中

常见的分类讨论TPMKstandardizationoffice【TPMK5AB-TPMK08-TPMK2C-TPMK18]

帮你归纳总结(五):导数中的分类讨论问题分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”一、参数引起的分类讨论例：已知函数f(x)=plnx+(p-1)x2+1,当p>0时，讨论函数f(x)的单调性。解：f(x)的定义域为(0,+8)，fG)=p+2(p-1)x=2P-1)xx当p>1时，f'(x)〉0，故f(x)在(0，+8)单调递增;当0Vp〈1时，令广(x)=0，解得x=:-J.V2也-1)则当xg"")]时，则当xg"")]时，f'(x)〉0；故f(x)在]”.单调递增，时，f'(x)〈°.单调递减.求函数f(X)的单调区间;例：已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1，解：(1)f(x)=—-k,(x>求函数f(X)的单调区间;当k<0时，f'(X)<0;当k>0时，由f'(x)>0得：x<1+-,所以,k当k<0时f(x)在(1,+3)上为增函数；(1(1上为减函数;当k>0时f(x)在1,1+-上为增函数；在1+-\k)二、判别式引起的分类讨论上为减函数;例：已知函数f(x)=x2-x+alnx，(agR)，讨论f(x)在定义域上的单调性。解：由已知得f(x)=2x-1+a=2x2-x+a,(x>0)，xx(1)当A=1-8a<0，a>1时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+3)上为增函数.8(2)当A=1-8a>0,a<1时，81)0VaV1时，1+、'1-8。>i''1-8。>0,f(x)在[1-、1-%,1+国-%]82222上为减函数，f(x)在(0,—；—8a],[1+、；—％,+3)上为增函数，2)当aV0时，"商v0，故f(x)在［0,土空］上为减函数，上为减函数，22f(x)在［1+侦；-8a，+8)上为增函数.综上，当a>1时，f(x)在(0,+3)上为增函数；8当)0<a<1时，f(x)在［三上四,1+，1-8a］上为减函数，822f(x)在(0,1-、；-%],[1+'1-8a2,+3)上为增函数，[1+侦1-8a，2，当aV0时，f(x)在(0,1f'1-8a］上为减函数，f(x)在

2+8)上为增函数.三、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论2例：已知函数f(x)—x32ax23x，令g(x)ln(x1)3f(x)，右g(x)在3(-!,+3)上单调递增，—求实数a的取值范围.2解：由已知得g(x)=ln(x+1)+3-(-2x2+4ax+3)=ln(x+1)+2x2-4ax，，/、1..4x2+4(1-a)x+1-4agXx)=+4x-4a=，x+1又当XG(-2,+3)时，怛有X+1>0，设h(x)=4x2+4(1-a)x+1-4a，其对称轴为x=-4："=^-^(i)当N>-1，即a>0时，应有A=16(1-a)2-16(1-4a)<022解得：-2<a<0，所以a=0时成立，(ii)当土1<-1，即a<0时，应有h(-上)>0即：1-4(1-a)x1+1-4a>02222综上：实数a的取值范围是a<0。四、二项系数引起的分类讨论4.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.讨论函数f(x)的单调性；设aW—2，求证：对任意x,xE(0,+8),|f(x)—f(x)|N4|x—x|.121212解析：(1)f(x)的定义域为(0,+8),a+12ax2+a+1f(x)=2ax=.xx当aN0时，f(x)〉0,故f(x)在(0,+8)上单调递增.当aW—1时，f'(x)V0,故f(x)在(0,+8)上单调递减.当一1VaV0时，令f'(x)=0,解得:a+1¥一下则当x£(0,：-C!-+］时，f'(x)〉0；当x(E(:当一1VaV0时，令f'(x)=0,解得:a+1¥一下故f(x)在(0,」二二］上单调递增，在(、：3H,+8)上单调递减.2a2a(2)不妨设x1^x2.由于aW—2,故f(x)在(0,+8)上单调减少，所以|f(x)—f(x)|N4|x—x|等价于

1212f(x)—f(x)N4x—4x，即f(x)+4xNf(x)+4x.21122211令g(x)=f(x)+4x，则，/、a+1［八…2ax2+4x+a+1

g(x)=T+2ax+4=xF(x)W—4x2+4x—1=^^W0.xx从而g(x)在(0,+8)上单调减少，故g(x)Wg(x)，即f(x)+4xWf(x)+4x，TOC\o"1-5"\h\z121122故对任意x，xG(0，+8)，|f(x)—f(x)|N4|x—x|.121212三、针对性练习1.已知函数f(x)=aInx-ax-3(aeR且a^0).(I)求函数f⑴的单调区间;(II)当a=2时，设函数h(x)=(p-2)x-巳-3，若在区间［1,e］上至少存在一个

x使得h(x0)>f(x0)成立，试求实数p的取值范围.解：(I)由f(x)=a(1-x)知：x当a>0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,+8);

当a<0时，函数f(x)的单调增区间是(1,+8)，单调减区间是(0,1);(II)•a-2,.f(x)=2lnx一2x一3,令F(x)=h(x)一f(x)，贝UF(x)-(p一2)x一p+」e一3一2lnx+2x+3-px一—一*一2lnx.1.当p<0时，由xg［1,e］得px一—<0,-^一2lnx<0，从而F(x)<0,所以，在［1,e］上不存在x0使得h(x0)>f(x0)；2.当P>0时，尸3=PX2一2X+P+2e,•.•X6［1,e］,.・.2e-2x>0,px2+p>0,矿(x)>0在［1,e］上恒成立，故F(x)在［1,e］上单调递增。F3)哑=F(e)=pe-—-4故只要pe-<-4>0，解得p>占4e综上所述，P的取值范围是(~'+8)2.已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(agR),求函数f(x)的单调区间;a+2、TOC\o"1-5"\h\z2x4e综上所述，P的取值范围是(~'+8)解：f(x)-2x-a2-x一1一2x(x_B).若a<0时，则号<1,f(x)=一^>°在(】，