首都师范2008年高等代数真题解析

首都师范大学2008年高等代数解（15分设f(x),g(xQ[x为有理数域Q上的多项式，并且g(x)0q(xr(x)也为有理数域Q上的多项式，并且满足f(x)q(x)g(x)r(x)0，或r(x)0为次数严格小于deg(g(x))的多项式。证明满足以上条件的多q(x)r(x)是唯一的。【解答假设存在q1xr1x也满足f(xq1(x)g(x)r1x)，其中r1x)0，或r1x)0为次数严格deg(g(x))的多项q(x)g(x)r(x)q1(x)g(x)r1(x)，这样，(q(xq1(x))g(xr1(xr(x，其r1xr(x)0，或r1xr(x)0为次数严格小于deg(g(x的多项式，因此，只能r1(xr(x)0，即r1(x)r(x)，(q(x)q1(x))g(x)0g(x)0，故q(x)q1(x)0，即q(x)q1(x)，故满足以上条件的q(x)（182715设f(x),g(xQ[x]为有理数域Q上的多项式，(f(xg(x))表示f(x),g(x)的最大公因式证明如果(f(xg(x))1，则f(x)g(x),f(xg(x))举例说明在一般情况下f(xg(xf(x)g(x),f(x【解答f(xg(x))1，故f(x),f(xg(x))f(xg(xg(x))1，因此(f(x)g(x),f(x)g(x))(f(x),f(x)g(x))(g(x),f(x)g(x))f(x)xg(x)x(f(xg(xxf(x)g(x),f(xg(x))x2，故在般情况下(f(xg(x))(f(x)g(x),f(x（15分

已知实数域R上的3阶方阵A 阵，其中TT表示矩阵T的转置矩阵

1，求一正交矩阵T使得TTAT00【解答 1 A 1E 1E1

其特征值为1,1,1(1,1,1) 非零解，求知，可得两个正交的解(0,1,1)T,(2,1,1)T，特征值2对应的特征向量(1,1,1)T26132613

T令T

，则T为正交矩阵，且

AT

为对角矩阵63 6316131613

222（15分

xx4xxx当a,b取什么值时，线性方

有解？在有解的情形，求以上

2x4程组的一般解【解答方程组的增广00

5x14x23x33x4111111 1111 02112123 122a33 1020203a4343 b5000b2 x3x4

1 1 2x2x x x2x230 310

4

0（15分

0

1

0设V是实数Rn维欧氏空间，V上的内积记为(,)，其中,V。证明不等式

并且等号成立当且仅当,线性相关，其中【解答当0(,) f()0恒成立，2(,)24220(,)当0时，不等式取等号。若0，若能取到等号

0,线性相关。若,线性相关，不妨(,)2，结论得证（15分XM3R)为实数域R上的一个3阶方阵，从X开始，连续对矩阵作如下初等变换(1)2加到第二行，(2)第三列乘2加到第二列，(3)交换第一列与第二列，(4)第二2，结果得到了三阶单位矩阵，求矩X【解答iXi

X4

0

X42010 010

3 0；将X2的第三 1

12加到第二列，得到X1

0X1第一行乘5加到第二行，得到 111X

1（15分设VR上的一个有限维线性空间，V1,V2为V的子空间，dim(V表示线性空间V【解答

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2设dim(V1V2r，dimV1r1，dimV2r2。假设1,2,,r为V1V2的一组22

和 的一组212 以下再证明1,2,,r,1,2,,rr,1,2,,rr线性无关即可。事实上，假 则 q11q22qrrrrV2q11q22qrrrrV1V2 由1,2,,r线性表示，设

22 线性无关，l1,l2,,lr,q1,q2,,qrr0，因此22q11q22qrrrr0

k11k22krrp11p22prrrr 1再由1,2,,r,1,2,,rr线性无关性，11k1,k2,,kr,p1,p2,,prr1这样，我们就得

k1,k2,,kr,p1,p2,,prr,q1,q2,,qrr

dim(V1V2)rr1rr2rr1r2rdimV1dimV2dim(V1V2结论得证（15分设A,BMn(R)为实数域上的n阶方阵，证明秩ABmin{秩A秩【解答Bx0的解都是ABx0Bx0nr(B个线性无关的解向量，ABx0nrAB个线性无关的解向量，故nr(B)nrAB)rAB)r(B)。rABrAB)Tr(BTATrATrArABmin{rAr(B)}（172815A(aij)nnMn(R为实数Rn阶方阵证明：VXMn(RAX0}R假设秩Ar，试求V【解答X,YVkRAXAX0A(kXYkAXAY0X,Y的任意性，VMn(R的子空间，故V为实数R上的线性空间XVX的列向量都Ax0的解。rAr，设1,2,,nrAx0的一个基础解系，于是，V的元素的一般形式为 j j jk1,1(1,0,,0)k1,nr(nr,0,,0)k2,1(0,1,,0)kn,nr(0,0,,nr其中(1,0,,0),,(nr,0,,0),(0,1,,0),,,(0,0,,nr)V，线性无关，且V中任意向量均可由其线性表示，故其为V的一组基，V的维数n(nr)（182715A

(RB，使得AB2设AMn(R)是一n阶可逆矩阵，证明存在正定对称矩阵P以及正交矩阵U，使A【解答 AMn(R)是一个正定对称矩阵，故存在正交矩阵Q，使得QTAQ

，n中1,,n0A的特征值 A QT QT n 令B

即著名的极分解定理。AMn