几何与代数：2- 行列式的性质

n

阶行列式的定义：a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann第1章行列式和线性方程组的求解

§1.2n阶行列式的概念性质1

D’=D.记D=行列式D’称为D的转置.记bij=aji,则D’a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,D’=第1章行列式和线性方程组的求解

§1.2n阶行列式的概念§１.3行列式的性质及计算一.行列式的性质性质1.D’=D.记D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,D’=第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算a11a12…a1n

ka21

ka22…ka2n…………an1

an2…ann

a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=k.第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算性质3.

行列式可按某一行(列)拆成两个行列

式之和.

性质2.

行列式某一行(列)的公因子可提到行

列式外.性质4.

互换行列式中的两行(列),行列式变号.第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算证明:记互换行列式D1中的第k,l行得到的行列式为D2.=

D1.第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算

a11

a12…a1n

ka11

ka12

…ka1n…………an1

an2…ann

a11

a12…a1n

a11

a12

…a1n…………an1

an2…ann=k=0.第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算a11

a12…a1n

a11

a12

…a1n…………an1

an2…ann=k性质5.若行列式D中有两行(列)元素成比例,

则D=0.性质6.把行列式的某一行(列)元素乘以同一个数,再加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=+a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…anna11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算=0

性质3.

行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和.

性质1.

D’=D.

性质2.

行列式某一行(列)的公因子可提到行列式外.性质4.

互换行列式中的两行(列),行列式变号.性质5.

若行列式D中有两行(列)元素成比例,则D=0.性质6.行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列),

行列式的值不变.行列式的性质第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算例1.124(1)2213422124=0673423124=067

0

10

14124=2067057142=2

076075(1)142=2

076001=14.第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算思想:化行列式为上三角行列式!如何求行列式

?

0112113321111122(2)3111131111311113(3)注:我们一般上述转化过程用

rkrj,ckcj,ri+krj,ci+kcj111…1-1a1

-1a2

……-1

an(4)设a1a2…an≠0,求D=第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a11a12

a13

a21a22

a23

a31

0

0

=a11a12

a13a21a22

a230

a32

a33

+a11a12

a13

a21a22

a23

a31

0

0

=a11a12

a13a21a22

a230

a32

0

+a11a12

a13a21a22

a230

0

a33

+第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算二.行列式按行(列)展开

a11a12

a13

a21a22

a23

a31

0

0

=a11a12

a13a21a22

a230

a32

0

+a11a12

a13a21a22

a230

0

a33

+a31

0

0

a11

a12

a13

a21

a22

a23

=(1)20

a32

0

a11a12

a13a21a22

a23+(1)20

0

a33

a11a12

a13

a21a22

a23+(1)2a31

0

0

a11

a12

a13

a21

a22

a23

=(1)2a320

0

a12

a11

a13a22

a21

a23+(1)2+1a330

0a13

a11

a12a23

a21

a22+(1)2+2第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算a12

a13

a22

a23

=a31(1)2a11

a13a21

a23+a32(1)2+1a11

a12a21

a22+a33(1)2+2a12

a13

a22

a23

=a31(1)3+1a11

a13a21

a23+a32(1)3+2a11

a12a21

a22+a33(1)3+3a31

0

0

a11

a12

a13

a21

a22

a23

=(1)2a320

0

a12

a11

a13a22

a21

a23+(1)2+1a330

0a13

a11

a12a23

a21

a22+(1)2+2第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a12

a13

a22

a23

=a31(1)3+1a11

a13a21

a23+a32(1)3+2a11

a12a21

a22+a33(1)3+3a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33拆,移,降余子式代数余子式按第三行展开第1章行列式和线性方程组的求解

§１.3行列式的性质及计算一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij

=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.例如,四阶阶行列式中a32的余子式为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a