工科数学分析课件：chap2-4微分中值定理及其应用

定义1第4节

微分中值定理及其应用一.微分中值定理定理1（费马（Fermat）定理):因为处可导，所以极限存在，因而左、右极限都存在且相等,即F费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:1993年才被英国数学家证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.罗尔

罗尔,Rolle(1652-1719),法国数学家。罗尔年轻时因家境贫困，仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus分析理论。1682年，他解决了数学家Ozanam提出的一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机，得到了社会上层人士的经济援助。Rolle所处的时代正当微积分诞生不久，因而微积分遭受到多方面的非议，Rolle就是反对派之一。他认为：“微积分是巧妙的谬论的汇集”，从而Rolle和一些数学家之间展开了激烈的争论，直到1706年秋，他才放弃自己的观点，充分认识到无穷小分析新方法的价值。他在1691年的论著《方程的解法》中论证了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，至少有一个实根（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。这个定理本来和微分学没有关系，但在一百多年后，即1846年GiustoBellavitis将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为Rolle定理，一直沿用至今

一个几何事实:切线,则曲线上至少有一点的切线平行于曲线弧两端点A与B的连线。,若其上每一点都有一条连续曲线定理2（罗尔(Rolle)定理）设函数(2)在开区间内可导,则至少存在一点使得将弧置于直角坐标系中，分AB弦平行于轴与不平行于轴两种情况讨论。(1)在闭区间上连续,R证由在闭区间上连续，若，则内任一点均可作为。若，则由知与中至少有一个(不妨设为)在区间内某点取到，即。存在。知Fermat引理注：（1）罗尔定理结论的代数意义：在方程两个根之间至少有方程的一个根。（2）定理结论的几何意义是：曲线上至少有一点的切线平行于轴，即切线是水平的。例1.设不用求导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。解显然，方程有四个实根，由罗尔定理，方程分别在(1,2)，(2,3),至多有三个实根，因而恰好有三个实根，它们分别在区间(1,2)，(2,3)，(3,4)内。内至少有一个实根。但是三次多项式，(3,4)例2设函数在上连续，证明在内至少存在一点,使证构造辅助函数则在上连续，在内可导,,使,即内可导，在Rolle定理例3证明：Rolle定理例4证Rolle定理Rolle定理当罗尔定理中的条件不满足时,“曲线上至少有一点的切线平行于AB弦,”的结论仍成立,此时有定理3（拉格朗日（Lagrange)中值定理）设函数(2)在开区间内可导,则至少存在一点使得(1)在闭区间上连续,L拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.证:法1.(逆推法构造辅助函数)即:令:即：Rolle定理法2（由几何直观构造辅助函数）由罗尔定理，。即：注:1)公式可写成不难看出,此式对于也成立。因此，不论的大小关系怎样，都有上式称为拉格朗日中值公式

。2)对于内任意两点，有或上式精确表达了函数在一个区间上的增量与它在这区间内某点处的导数之间的关系，称为有限增量公式

。推论1若函数在区间I上的导数恒为0,则在I上是一个常数。事实上，对I上任意两点，有推论2若在区间I上则在I上有简证:例5

则应至少存在一点

使得例6

证明不等式证明

将不等式变形为令,则在上满足Lagrange定理的条件,于是所以即:例7当曲线弧由参数方程表示时,曲线上的点处的切线的斜率为，AB弦的斜率为，于是拉格朗日中值公式可表示为C定理4（柯西(Cauchy)中值定理）设函数(2)在开区间内可导,则至少存在一点使得(1)在闭区间上连续,柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,显然,当时,Cauchy定理即为Lagrange定理。证明：令：上满足Rolle定理的条件,于是则在即：例9.设函数在上连续,在内可导，证明内至少存在一点使在证明令，在上用Cauchy定理，存在使即或例10.例11设函数在邻域内有n阶导数，证明:证明：在区间上对、利用Cauchy定理，得：且,此时，有两个无穷小量或无穷大量之比的极限可能存在,也可能不存在,例如通常把这种极限称为未定式的极限，并分别简称为二.未定式的极限（洛必达（L’Hospital）法则）L—法则洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书