直线和平面平行与

直线和平面平行（１）（1）直线在平面内-----有无数个公共点如图：（2）直线在平面外：①直线a和面α相交：如图：

②直线a和面α平行：如图：.Aaaaaaa直线与平面的位置关系有公共点无公共点一.直线和平面平行

（一）直线和平面的位置关系①表示为：aβ②表示为：a∩β=A

或aβ③表示为：a∥β或aβ(2)一条直线和一个平面只有一个公共点，叫做直线与平面相交。定义：(3)直线和平面没有公共点，叫做直线与平面平行。(1)一条直线和一个平面有两个公共点，叫做直线在平面内。(2)、(3)合称“直线不在平面内”。注意：如下图画法，我们不提倡这种画法不表示为：a∩β不表示为：a∥β

直线和平面平行：一条直线与一个平面没有公共点，叫做直线与平面平行。

直线a平行于平面α，记作a∥α.αaα

画图时通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行。线面位置关系动手做做看将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动，观察AB的对边CD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？从中你能得出什么结论？ABCDCD是桌面外一条直线，AB是桌面内一条直线，CD∥AB，则CD∥桌面直线AB、CD各有什么特点呢？有什么关系呢？猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理

定理：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。即

abα

证明：∵l

∥m∴l和m确定一平面，设为平面β，则α∩β=m如果l和平面α不平行，则l和α有公共点设l∩α=P，则点P∈m于是l和m相交，这和l

∥m矛盾∴l∥α例1.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面.已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是

AB、AD的中点.求证：EF//平面BCD.ABCDEF

分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD，只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可。EF和面BCD哪一条直线平行呢？连结BD立刻就清楚了。已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点求证：EF∥平面BCD证明：E、F分别是AB、AD的中点EF∥BDEF∥平面BCDBD平面BCD∩ABCDEF在△ABD中

EF平面BCD，连接BD，aABCDEF规范解题参考////直线和平面平行的判定定理定理：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。baba∥baa∥注明：1、定理三个条件缺一不可。2、简记：线线平行，则线面平行。3、定理告诉我们：要证线面平行，得在面内找一条线，使线线平行。A再练一练例2.求证：如果过平面内的一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内。例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由。

解：OM4．经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B证：作用：判断或证明线面平行时关键：在平面内找(或作)一条直线与面外的直线平行内外线线平行则线面平行

1、直线和平面平行的定义

2、直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。简记为：小结(六)小结：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

1、直线与平面平行判定定理2、直线与平面平行性质定理例3、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。PQG分析：只要在平面BEC内找到一条直线与MN平行思路1：思路2：例3、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。PQG分析：只要在平面BEC内找到一条直线与MN平行思路1：思路2：证法一：作MP∥AB交BC于P，

NQ∥AB交BE于Q

又由题可知，

AM=FN，AC=BF，AB=EF即四边形MNQP为平行四边形平面BCE，平面BCE，平面BCE。PQG证法二：连接AN并延长交BE的延长线于点G，连CG，平面BCE，平面BCE，平面BCE。例3已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,bα，

求证：b∥平面α证明：过a作平面β交平面α于直线c.

∵a∥α∴a∥c

又∵a∥b∴b∥c，∴b∥c∵bα,cα，∴b∥平面α.baac注：平行于同一条直线的两条直线互相平行。例4．已知直线a∥平面,直线a∥平面，平面平面=b，求证a∥b分析：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．dcdgbaba证明：经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d.∵a∥平面，a∥平面∴a∥c，a∥d，∴c∥d，又∵d平面，c平面，∴c∥平面

又c平面,平面∩平面=b，∴c∥b，又∵a∥c，所以，a∥b．四、课堂练习：1．选择题（1）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）①若a∥b，b，则a∥

②若a∥，b∥，则a∥b③若a∥b，b∥，则a∥

④若a∥，b，则a∥b

其中正确命题的个数是 （）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个（2）已知a∥，b∥，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有 （）

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

（3）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的关系一定是（）（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB（4）已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l （）（A）与m，n都相交

（B）与m，n中至少一条相交（D）与m，n中一条相交（C）与m，n都不相交2．判断下列命题的真假（1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （）（2）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （）（3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. （）（4）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行.（

）真假真假3．空间四边形ABCD，E、F分别是AB、BC的中点，求证：EF∥平面ACD.证：E、F分别是AB、BC的中点用a来表示平面ACD5．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点

，求异面直线PA与MN所成的角的大小（1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNABCDPHO证（1）取PD的中点H，连接AHNH，为平行四边形MNABCDPH解(2):连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线PA与MN所成的角，由

得，OM=2，ON=所以，即异面直线PA与MN成的角

MNABCDPO6．如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N分别在AC、BF上，且AM=FN求证：平面证：作分别交BC、BE于T、H点从而有MNHT为平行四边形HTABCDFEMN(4)例题：已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．求证：EF∥平面BCD．证明：连结BD，在△ABD中∵E、F分别是AB、AD的中点∴

EF∥BD其中BD是平面ABD与平面BCD的交线又∵EF