2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第23讲数列的新定义问题（解析版）

第23讲数列的新定义问题一、单选题（2021•全国•高二课时练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为（ ）A.99 B.131 C.139 D.141【答案】D【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为x,根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：1 5 11 21 37 61 95 %4 6 10 16 24 342 4 6 8 10 12fy-34=12 fx=!41由图可得〈京，则[x-95=y[y=46故选：D（2021.北京•东直门中学高二月考）在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列.｛q｝是等积数列，且％=2,公积为6,则4七5，。9…一%005,“2009的值是（ ）A.2502 B.3502 C.250-1 D.3503【答案】D【分析】根据等积数列定义可推导得到数列｛4｝的奇数项为3,偶数项为2，由此可求得结果.【详解】由等积数列定义可知：4%==…=41T4,=6,又牝=2,.•.%=%=2,由此推导可得：数列｛q｝的奇数项为3,偶数项为2;设等差数列｛々｝的首项为4=1,d=4,由1+4（〃-1）=2009得：〃=503,

TOC\o"1-5"\h\z..,G,,Gj,,•<^2009共有503项，（Z|'Gj-tig “2005,02009=3 .故选：D.（2021•江苏苏州•高三月考）若数列｛凡｝中不超过〃加）的项数恰为或（meN*）,则称数列也｝是数列｛《,｝的生成数列，称相应的函数〃加）是数列血｝生成"｝的控制函数.已知。“=2",且/（，〃）=m,数列｛〃“｝的前加项和S„,,若S,,,=30,则，"的值为（ ）A.9 B.11 C.12 D.14【答案】B【分析】丝3m=24-1）根据生成数列的定义，先求出超=2 （keN*）,然后分，"为偶数和奇数讨论W（m=2k）即可求解.【详解】解：由题意可知，当m为偶数时，可得2〃4m,则〃“=£；当m为奇数时，可得2〃Wm-l,则,=等，所以久二2 （kwN*）,^（m=2k）则当根为偶数时，Sm=bt+b2+---+bm=g（l+2+…+/n）—,则=30,因为zneN",所以无解；4当川为奇数时，北超+4+…+^^^…J+尸”匕券;寺人所以哼^。,因为机£N*，所以机=11,故选：B.（2021•宁夏•六盘山高级中学高二月考（理））对于正项数列｛4｝,定义G.="+2%+M+…+叫为数列加“｝的，，匀称值，，.已知数列｛4｝的“匀称值，，为G.=〃+2,则该数列中的为等于（A-112BA-112B.—51019~9【答案】D【分析】由已知得4+抽+加+…+叫="（〃+2）,由此推导出a”=也〃，从而能求出生.n【详解】解，..g=q+物+31+•.•+”,n数列｛q｝的“匀称值”为3=〃+2,/.q+2a2+物+…+nan=n（n+2）,①二.几.2时,q+2a2+3%+...+（〃- =（〃-1）（〃+1），②①一②，得叫,=2〃+1,当〃=1时，4=G|=3满足上式，2/?4-1.•.%=丁’19：，%=飞•故选：D（2021•湖北黄石•高三开学考试）普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生.以1为首项的''外观数列''记作A，其中A为1,11,21,1211,111221即第一项为1,外观上看是1个1,因此第二项为11;第二项外观上看是2个1,因此第三项为21；第三项外观上看是1个2,1个1,因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得A其它项，例如A为3,13,1113,3113,132113,...若A的第〃项记作4，4的第"项记作2,其中i,je[2,9],若c“=|a”—切，则｛%｝的前n项和为（ ）A.2n\i-j\ B.n（i+j） C.n\i-j\ D.【答案】C【分析】列出A；、4的前四项，观察规律，即得.【详解】由题得，4=i,a2=",%=llh\a4=31li,•••,«,,=•••/,4=j，b[=lj,b3=111/也=31Ij,…也=…j,由递推可知，随着〃的增大，。“和4每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同，

所以％ ，:,｛c“｝的前〃项和为川”儿故选：C.（2021.贵州威宁•高一期末）对于数列｛4｝，定义匕=4+2%+…+2"4为数列｛4｝的“美值”，现在已知某数列｛q｝的“美值”匕=2川，记数列｛/-仞｝的前〃项和为5.，若九对任意的〃eN*恒成立，则实数/的取值范围是（ ）1112~1112~5'~51811811TT'MIT'T【答案】c【分析】由匕=4+2%+…+2"["=2"*|,可得4+2/+…+2"-&=八2的进而求得勺=2〃+2,所n以4一例=（2-。”+2可得｛。“一切是等差数列，由S"V小可得/-IOd0,au-lk<0,即可求解【详解】由工=4+2/+…+2”‘可，=2"+|可得q+2%+…+2”-'“=〃x2"+’,n当"=1时，％=4当〃N2时q+加2+…+2〃_%_]=（〃-1）2〃，又因为4+2叼+…+2"t4=两式相减可得：2n-'an=〃2向一（〃-1）2"=（〃+1）2",所以a“=2〃+2,显然满足<=1时,4=4,所以。〃=2〃+2,neN*所以a.T〃=（2T）〃+2,可得数列应一切｝是等差数列，由5„<九对任意的〃GN*恒成立，可得：«10-10f>0, 即可求解，B|J（2-r）xl0+2>0H（2-r）xll+2<0,24 11 r2411解得：所以实数r的取值范围是—，y,故选：C（2021.全国.高三专题练习（文））对任一实数列｛4｝,定义，若△（网,）=1,"18=fl2OI7=°，则«2021=（ ）A.1000 B.2000 C.2003 D.4006【答案】D【分析】根据定义可求出"的通项，从而可得%+"1，利用累加法可得4，再由/=%>"=。求出。2-4及4,即可求出生021.【详解】由题意知，△（M,）=M1T-Aa“=l,所以Aa“是公差为1的等差数列，所以Aa“=△4+"-1,所以a”t-a0=a2-al+n-\,当〃22时，。2—="2—“I，a3-a2=a2-«1+1,-ciy—a2—4+2，4_%=/_4+〃_2,将以匕各式两边对应相加，得a“-q=（"-1）。2_（〃-1）。1+（"」："一2）,所以为=（〃-1）%-（〃-2）4+ 二2）,17%-16q+136=0由刈7=°，得Lz, 2016x2015八，解得『=16120，4=17136,2016/-2015。1+ =0所以a.]=2020x16120-2019x17136+^- =4006.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键在于读懂题n,准确把握的定义.（2021.江苏•高二单元测试）对于数列｛玉｝若存在常数例>0,对任意的〃eN,恒有|x“+i-+k-X」+…+居-引4M,则称数列优｝为有界数列.记S„是数列｛4｝的前"项和,下列说法塔堡的是（ ）A.首项为1,公比为4（51<1）的等比数列是有界数列B.若数列｛%｝是有界数列，则数列｛S.｝是有界数列C.若数列｛，｝是有界数列，则数列｛x,｝是有界数列D.若数列｛q｝、他」都是有界数列，则数列｛。也｝也是有界数列【答案】B【分析】根据有界数列的定义，利用不等式放缩，可判断A、C正确；设x.=l,〃wN*,可判断B错误；根据数列｛a,,｝和数列也｝的有界性，用和来控制兄+也川也|，即可选项D.【详解】解：对A:设满足题设的等比数列为｛4｝,则a“=q"T（|q|<l）,当〃22时，IHqz_q"2\=\q'-2IIq-11,所以I%-a”l+la,,-%1+…+&-a/=|g|+…+|Wq-l|：J]，1-19I1-lgl即14+i1+14-4-11+…+a l<I"J,，I-。所以首项为1,公比为以"1<1）的等比数列是有界数列，故A正确；对B:事实上，设x“=l,〃wN*,则x“+1-x“=O,易知数列｛x,,｝是有界数列，而此时S.=〃，所以应川-S,J+|S“-S/+…+|邑-号=〃，由〃的任意性，知数列⑸｝不是有界数列，故B错误；对C：因为数列｛SJ是仃界数列，所以存正数M,对任意〃eN*有|S"+1-S.|+|s,-s"」+…+|S「S||4M,即kJ+|x」+…+|x|4M,于是+…+由-引4kM+2同+2k1+...+2同+|引42加+国,所以数列｛七｝是有界数列，故C正确；对D：若数列｛q｝、｛4｝都是有界数列，则存在正数M2,使得对任意”eN*,有|a»+l_fln|+|an-an-l|+，--+|a2-ai|^A^|S|%-"|+|£-%+..+%一4|4蟆,又因为同=|。“一的 +…+4_q+ai|^\an~an-l\+\an-l-an-2\+"-+\a2-ai\+\a｝\^Ml+|«1|同理,可得同4M2+间，所以|%加一凡”-a也a+a„bn+l-anbn\4〃+M+i-%|+同同+i-d4（M+|4|）|-—a“|+（M+同）爆i-々|，所以|。"+也+1-。也|+1”也-也_]|+…+|她一。四w（“2+|4|乂|。同--%|+…+1%-%|）+（M+|力）（|%-〃|+|〃-%|+…+|。2-eI）

<(m2+|^|)a/,+(m1+|o,|)M2,数列｛a也｝也是有界数列，故D正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握“有界数列''的定义.(2021・湖南•长郡中学高二期中)对任一实数序列A=(q,%,%,…)，定义序列AA=3_q，4_"2吗一色，…)，它的第"项为4+1-a”•假定序列的所有项都为1，且ai3==°，则a202\=( )A.1000 B.2000 C.2003 D.4006【答案】D【分析】AA是公差为1的等差数列，可先设出AA的首项，然后表示出AA的通项，再用累加法表示出序列A的通项，再结合%=。刈7=。求出AA的首项和A的首项，从而求出序列A的通项公式，进而获解.【详解】依题意知AA是公差为1的等差数列，设其首项为通项为则包=a+(〃-l)xl=〃+a-l,于是4=4+Z(4+i-4)=4+WA=4+ Z -=«i+(〃-1"+ 由4+17。+136=04+17。+136=0解得a=^+2016«+2015x1008=0丁=。237=丁=。237=。,即aX2t=17136+2020x(-1016)+=4Go6.故选：D【点睛】本小题E要考查新定义数列的性质，考查等差数列的前〃项和公式以及通项公式.题目定义的数列为二阶等差数列.高阶等差数列的定义是这样的：对于对于一个给定的数列，把它的连续两项与4,的差4田-4记为2，得到一个新数列，把数列"称为原数列的一阶差数列，如果c"="+|-N=常数，则可为二阶等差数列，可用累加法求得数列的通项公式.(2020•江苏省梁丰高级中学高二期中)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是2°，接下来的两项是2°，2'，再接下来的三项是2°，2',22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>55且该数列的前N项和为2的整数幕,那么该款软件的激活码是（ ）A.95 B.105 C.115 D.125【答案】A【分析】将数歹U按行排歹|J,第〃行和为？=1X0~2，，）=2"-1,前〃和为=2x（1~2，，）-n=2"+l-2-n,1-2 " 1-2把第N个数转化为N=W；"+前N和则为Tn=S„+d„=r+l-2-n+2™-l,进而可得结果.【详解】将数列排成行的形式11,21,2,42,4,8第”行为：2°,2',L,2"-',第〃行和为a“=筌/=2"-1,前"行共有地鲁行个数，前〃和为S“=2x（l—2"）一"=2"”一2—“2 " 1-2第也+1行第加14m4凡+1）个数共有N个数，则m前N和为4=5.+4=2向-2一"+2/一1,若和为2的整数幕，则有2+UQ7V>55,.-.n>10,且“为奇数，当”=11时，，”无整数解13x14当九二13时，m=4f此时N== +4=952故选：A【点睛】关键点点睛：将数列按行排列，把第N个数转化为'=四#+帆，前N和则为Tn=S„+4=2"'-2-〃+2"-1,进而问题变得简单.本题考查了运算求解和转化的数学思想，逻辑推理能力，属于难题.（2021•山东・嘉祥县第一中学高三期中）在进行1+2+3+L+100的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律n生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列｛《,｝满足则2m+4042a1+a2+---+a„1+2O2O=( )A.—+505 B.—+5052 4C.m+505 D.2m+505【答案】B【分析】利用倒序相加法得到2S="+产°,得到答案.【详解】依题意，记S=q+%+…+4+2020，1 2 +2019m+2020IlliS= + +...+ + .人」2m+40422m+40422m+40422m+4042又5='"+2020+,"+2019+..+_2_+__1_两式相加可得人2m+40422m+40422m+40422m+4042Q八〃口〃“JE__ m+202\m+2021 m4-2021 w+2021m4-2020TOC\o"1-5"\h\z2S= + +…+ + = ,2^+40422^+4042 26+40422m+4042 2故选：B.二、多选题（2021.全国•高二课时练习）在数列｛q｝中，若a：-a；i=p（n>2,〃wN*，p为常数），则｛q｝称为“等方差数列下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）A.若｛《,｝是等方差数列，则忖｝是等差数列B.若｛凡｝是等方差数列，则｛n｝是等方差数列C.数列｛（-1）"｝是等方差数列D.若｛4｝是等方差数列，则&｝（hN*，1为常数）也是等方差数列【答案】ACD【分析】利用等方差的定义和等差数列的定义依次判断即得.【详解】对于A,｛4｝是等方差数列，可得。；一4=%（〃N2,"eN*,p为常数），即有帆｝是首项为裙，公差为p的等差数列，故A正确.对于B,例如：数列｛册｝是等方差数列，但是数列"[不是等方差数列，所以B不正确.对于C,数列｛(-l)")中，说=[(-1)"]2-[(-if]2=0,(n>2,neN，),所以数列｛(-1)")是等方差数列，故C正确对于D,数列｛q｝中的项列举出来是4,4，…，4,…。火，…，数列｛%,｝中的项列举出来是“*，，4*，…，因为—akntk-l=akn<-k-l~。嬴«-2=…=~°kn=P'所以al.+k-a]=("：+*一 )+(a*+i-a：+A-2)+…+(4：+1一a：，)=即，[/《(“叫一°1=切,所以数列｛叫是等方差数列，故D正确.故选：ACD.(2021.江苏•苏州中学高二月考)已知数列｛《,｝中的前“项和为S.，若对任意的正整数〃，都有4S,,,则称｛凡｝为“和谐数列”，下列结论，正确的有( )A.常数数列为“和谐数列”为“和谐数列”｛2〃+1｝为“和谐数列”D.若公差为d的等差数列｛4｝满足：｛/+〃｝为"和谐数列”，则的最小值为-2【答案】BD【分析】根据给定“和谐数列''的定义，对各选项中的数列逐一分析计算即可判断作答.【详解】对于A,数列｛凡｝中，令a“=c(c为常数)，Sn=nc,当“0时，a3=c>2c=S2,此时的常数数列不为“和谐数列”，A不正确；对于B,数列｛4｝中，令。“=M，则S,=1-*，5”-4+|=1-£一击=1-3>0,即生”4S”成立，B正确；对于C,数列｛4｝中，令a“=2〃+l,S“=3+(_+l).〃=〃5+2),。2=5>3=耳，｛2〃+1｝不是“和谐数列”，C不正确;对于D,令〃,=4+”,则或+|-〃,=(a“+i+”+l)-(4,+")=d+l,数列｛%“｝是首项为4+1，公差为4+1的等差数列，其前〃项和为，，则〃=(q+l)+(〃-l)(d+l),因｛々｝是“和谐数列"，于是有b”\ ,即有447],4+d+24q+l,从而得dV-l,

又b“.i=a]+l+n(d+l)<Tn=〃(q+1)+——^-(d+1),即(d+l)n2+(20]-1-3d)n-(2a,+2)20对〃6n”恒成立,若d=—1,则有(4+NO对〃仁n,恒成立，必有4+1W0,即qN-l,at+d>-2,因此(q+d)En=-2,若d<T,则3+l)n2+(2a,-1-3d)n-(2a,+2)对应的是开口向下的抛物线y=(d+l)/+(24-1-3d)x-(2q+2)在x取正整数时的函数值，由二次函数性质知，当正整数〃足够大时,3+1)"2+(24-1-3")〃正2%+2)的值是负数,(d+l)n2+(2Oj-l-3d)n-(2a,+2)>0不成立,从而只有d=-l,且《NT,4+〃的最小值为-2,D正确.故选：BD(2021.全国.高二单元测试)设数列｛。,｝的前〃项和为S.，若存在实数a,使得对于任意的都有|5」<A,则称数列｛4｝为“T数列”.则以下数列｛4｝为“7数列”的是()A.｛4｝是等差数列,且q>0,公差d<0b.｛4｝是等比数列，且公比《满足w<iJ“n(n+l)2n+lD.4=1,an+2+(-iy'a„=O【答案】BC【分析】求出数列的前〃项和5.，然后判断对|S“|,有无正实数A,使得|S,,|<A成立.【详解】A中，若｛4｝是等差数列，4>(),公差d<0,则S" ，是关于〃的二次函数，当〃 时，闻T+oo,对于不存在实数A,使得国<A恒成立，所以数列｛%｝不是“7■数列”.B中，若｛aj是等比数列，且公比q满足回<1,则国=q则国=\—q1-q所以数列｛4｝是“T数列n+2 _1 15"，C=“（〃+i）2"M=寿一（〃+1>2向，|l）|L：J，'S,,l=|lx2l_2x22+2x22-3x23+'"+n-2n-（n+l）-2"",=1-―!-1<1,2（n+l）-2n+l|2则数列｛a“｝是”7数列D中,在数列｛4｝中,4=1,―+（T）"4=0,当”是奇数时,4+2-”"=0,数列｛《,｝中奇数项构成常数列，且各项均为1；当〃是偶数时，a„t2+a„=0,即任意两个连续偶数项和为0,则对于任意的”eN*,S4“=2〃，不存在实数A,使得|S,J<A恒成立.所以数列｛4｝不是“T数列”.故选：BC.（2021•全国•高二课时练习）记数列｛4｝的前〃项和为5.，若存在实数”，使得对任意的〃eN*,都有|S，k”,则称数列｛q｝为“和有界数列下列说法正确的是（ ）A.若数列｛4｝是等差数列，且公差"=0,则数列｛g｝是“和有界数列”B.若数列｛凡｝是等差数列，且数列｛q｝是“和有界数列“，则公差d=OC.若数列｛4｝是等比数列，且公比《满足|a<1,则数列｛《,｝是”和有界数列“D.若数列｛叫是等比数列，且数列｛凡｝是“和有界数列”，则公比q满足【答案】BC【分析】利用给定定义结合等差数列前〃项和对选项A,B并借助一次、二次函数性质分析判断：结合等比数列前n项和对选项C并借助［g"|<1即可推理判断，举特例判断选项D作答.【详解】若数列｛q｝是公差为d的等差数列，则S„=叫+"（"”=+回_多〃，当”=。时，若4W。，则S.=a「〃，S”是〃的•次函数，不存:在符合题意的“，A错误；数列｛4｝是“和有界数列“，“id/0时，S.是"的二次函数，不存在符合题意的行d=0,q=o时，存在符合题意的，，B正确；若数列｛4｝是公比为4（4#1）的等比数列，则，=幺32,因夕满足时<1,则1仃<1,即|1-如<2,l5nl=I^IH-9" 则存在符合题意的实数”，即数列｛《,｝是”和有界数列“，C正确：若:等比数列｛4｝是“和仃界数列“，当4=-1时，若〃为偶数，则5“=0,若"为奇数，则S“=q,即|Sj=|q|,从而存在符合题意的实数"，D错误.故选：BC（2021•广东天河•高三月考）在数列｛q｝中，若M-向=P（n>2,ne/V\P为常数），则称数列｛《,｝为“开方差数列“，则下列判断正确的是（ ）A.｛32"｝是开方差数列B.若｛4｝是开方差数列，则｛4｝是等差数列C.若｛q｝是开方差数列，则｛%｝也是开方差数列（kN*,k为常数）D.若｛4｝既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列【答案】CD【分析】根据开方差数列、等差数列的定义判断J尹一存百、4-4t是否为常数即可判断A、B止误；C由 -Qa“_i=Qcin+i_ =...=（a2n-J%”_1=P，应用累加法求得向，-^^=即,即可知正误；口令《,-。"_|=机，"?为常数，易得m=P（瓦+扬二"），结合开方差数列定义求证｛“"｝是否为常数列.【详解】A：件7一，325T>=3"-3"T=2.3"T,故｛3"'｝不是开方差数列，错误；B： =（疯+向?）（疯一北二"）=P（疯+7^="）不一定为常数，错误；c日一向7=向，日=向7->t=“=H-庖7=。，所以（五一阮）+（向丁>R）+（向\\/^二）+・“+（向一扃1=百一阮7=切为常数，即向一Mg）=3为开方差数列,正确；D：由题意，一夜二'=「且=机，，”为常数，则m=P（向'+日二'），所以见P*。时如+历为常数,则｛4｝为常数列，当以P=。时，=«„->，则｛4｝也为常数列,正确.故选：CD

17.（2021.江苏.高二专题练习）在数列17.（2021.江苏.高二专题练习）在数列｛4｝中，对任意〃eN*,都有数），则称｛4“｝为”等差比数列下面对”等差比数列”的判断正确的是（ ）=k(k为常=k(k为常B.等差数列一定是等差比数列;C.等比数列一定是等差比数歹IJ；D.通项公式为q=。0+。（"0,30,1）的数列一定是等差比数列【答案】AD【分析】A选项利用反正法即可判断，B、C选项举出反例即可判断，D选项按照新定义证明即可判断.【详解】A选项：若k=0,则数列｛““｝是常数列，所以分母为0,因为k不可能为0,故A正确；B选项：当等差数列是常数列时，分母等于0,不成立，故B错误；C选项：当等比数列是常数列时，分母等于0,不成立，故C错误：D选项：因为（="力"+。（。片0,6m0,1）,abn+'(b-\)

ab"[b-\)="为常数，是等差比数列，故D「abn+'(b-\)

ab"[b-\)="为常数，是等差比数列，故D所'a-b"+'+c-(a-b"+c^ a-b"*'-a-b"正确,故选：AD.18.（2021•江苏•高三专题练习）在数列｛““｝中，若4-43=。（〃22,〃€”,。为常数），则｛斯｝称为“等方差数列”，下列对”等方差数列''的判断，其中正确的为（ ）A.若｛为｝是等方差数列，贝ij｛a/｝是等差数列B.若｛斯｝是等方差数列，则是等方差数列C.｛（-1）"｝是等方差数列D.若｛a,,｝是等方差数列，贝（kGN*,k为常数）也是等方差数列【答案】ACD【分析】利用等方差的定义和等差数列的定义逐个进行演算，能够推出B不正确，其余的都正确.【详解】对于A中，数列｛3｝是等方差数列，可得。；一。3=。（〃22,〃€，/为常数），即有｛4｝是首项为不，公差为d的等差数列，故A正确；对于B中，例如：数列｛〃｝是等方差数列，但是数列｛〃｝不是等方差数列，所以8不正确;对于C中，数列｛(一1)"｝中，a；-a^=[(-I)"]【答案】；，0,(答案小唯一)【分析】(1)根据新定义直接写出答案即可；(2)设出等差数列的公差，结合新定义得到数列｛4｝【答案】；，0,(答案小唯一)【分析】(1)根据新定义直接写出答案即可；(2)设出等差数列的公差，结合新定义得到数列｛4｝的通项公式，然后求解由⑼即可.【详解】a,+a»=0 i i i i i(1)写出一个满足条件1M-」I1的数列即可，如;，0,-;或I，-：，-7(答也|+网+电|=1 2 2 2 4 4案不唯一)；解法一：设等差数列外叼，4,…,%M(*l)为2八1阶''期待数列"，公差为d(d>0),所以数列｛(-1)”｝是等方差数列，故C正确：对于。中，数列｛”“｝中的项列举出来是：q,4,…，4,…,为I，…，数列｛为卜中的项列举出来是《，生*，4，L，因为(a*+i2-a?)=(at+22-a*+r)=...=<12?-aur=p所以(at+12-a*2)+(at+z2-at+12)+...+(aa2-ait.12)=kp所以刖+J-a«“2=kp,所以，数列｛以„｝是等方差数列，故O正确.故选；ACD.【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2,遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.三、双空题(2021•全国•模拟预测)定义：记满足下列两个条件的有穷数列q,…,a”(〃=23,4,…)为〃阶''期待数列''.①4+/+%+…+4=。；②同+同+|闻+…+㈤=1•试写出一个3阶“期待数列“；若2021阶“期待数列”｛%｝是递增的等差数列，51^2021=Va,+a,+<z3+•••+a2I+l=0,二(2Z+l)q+ =0,at+kd=0,即％“=0,...%+2=d(等差数列通项公式的应用)，d>0,a*+i=。，，％+2+4+3+…+。2£+1=3(根据数列递增及4+1=。而得)，...5+女伏T)"=L即"=岛^,2 2我6+1)由乐二°得《+册=°,即《=一告’1 ,n1 n1「 = +(〃-1)-7 r=—7 r—一."it+1、 〃(4+1)火化+1)k，令兼+1=2021,解得k=1010,. n 1_ 2021 __1 2021-1011 1""a"~1010x1011-1010*以%-I010X10111010-1010x1011-WH解法二：设等差数列｛4｝的公差为"，则%+4+4+…+生⑼=2021a,+2。21；2020a=。，即q+1010d=0,即须”=0.由等差数列的性质，得幺节以=生受亚=…=q。”=0.因为数列｛4｝为递增数列，闻+同+EI"1 bkaM=1,所以q+4+为■( ^^1010=—>TOC\o"1-5"\h\zB|J1010a,+l0l0xl009J=--,将q+1010d=0代入，解得d= 5 ,2 2 1011x1010所以W皿=即,“+(2021-1011)d=0+1010x ? =」一.2021 ,0"、 ' 1011x10101011故答案为：；，0,(答案不唯一)；—•/ 2 1011(2021•全国•高二课时练习)对于数列㈤｝,若任意肛〃gN*(〃〃)，都有今言(r为常数)成立，则称数列｛4｝具有性质(1)若数列｛。”｝的通项公式为。“=3",且具有性质。(r),贝打的最大值为；(2)若数列｛q｝的通项公式为a“=〃-?，且具有性质。(9),则实数”的取值范围是.【答案】6 [16,饮)【分析】(1)设加＞〃，可得:TT/nN3"-仅对任意，％"wN”(加＞〃)恒成立，即。=3"一5是单调递增数列，由心,-220恒成立可求；(2)由题得组二%=1+又-29恒成立，即可求出.tn-nmn【详解】(1)由题可得对任意北〃恒成立.m-n不妨令m>〃,则3"'-3"2加-5，即3'"一5123"-仞对任意”?，〃62(加>〃)恒成立.令4=3"-例，贝I]bntl-bn=2x3"-t>0时任意〃eN.恒成立，.-.Z<(2x3n)=6,即，的最大值为6.a(a)(2)由题得册-凡m(n),a、c对任意以〃eN(加工〃)恒成立，m—n m—n mnBPa>8/77/?>8x2x1=16,故。的取值范围为[16,+oo).故答案为：6；[16,4^).(2021•湖北•汉阳一中模拟预测)牛顿选代法又称牛顿一拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下：设>是函数y=f(x)的一个零点，任意选取七作为『的初始近似值，过点&,/&))作曲线产/(力的切线乙，设4与x轴交点的横坐标为为，并称占为/■的1次近似值；过点(不，/(xj)作曲线y=/(x)的切线12,设4与X轴交点的横坐标为称％为八的2次近似值.一般的，过点,))(〃eN)作曲线尸="x)的切线/向，记心与X轴交点的横坐标为X"”，并称X"+i为r的”+1次近似值.设/(司=/+X-1(X20)的零点为r,取Xo=O,则r的2次近似值为；设%= 尸:'"eN",数列｛q｝的前〃项积为?；•若任意恒成立，则整数义的2x“+1最小值为.3【答案】4 24【分析】(1)对函数求导，依次求出切点、斜率、斜线方程，即可得出结果.(2)由(I)可得/+|=务士1,进而可得勺4=；,即可得出结果.【详解】f(x)=x3+x-l,f\x)=3x2+lx„=0,/(x0)=-1,/'(0)=1,所以4:y-(-l)=xny=x-l当y=0=>X1=l,/(l)=l,/⑴=4,所以/?：yT=4(f=y=4x-33当y=o=>W=4/(x„)=x„3+xn-l,/'(x„)=3xl,2+l、 2x3+4：y一(X二+x“-1)=(3x；+l)(x-x„)=>x“+|=-y-3x；+x 2x2+1 1'x“ 3x：+x“anx.+iX,,x3X,x,I+1因为⑴>°n；<x"+i<lnl<L<2所以，丸为整数，4in=23故答案为：:；24【点睛】or3J-1 3r3+r X1关键点点睛：由天讨=广一和％=牛冲，观察得出」曰=一是本题的关键.本题考查了3七+12xn+1 xnan运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.(2021•全国•高二课时练习)数列｛q｝的前"项和为S"，定义｛凡｝的“优值”为““=q+2/+…+2”4,现已知｛凡｝的“优值”=2"，则/=S„=.n【答案】"+1 」——L2【分析】根据=2"列出等式，以〃-1代”得到另一个等式，两式作差可求得〃22时的％,再睑证〃=1即可:利用等差数列的前“项和公式求解出S.即可.【详解】因为",,=2",所以4+2%+…+2"%=2"，所以4+2/+…+2"-&=小2”,n当〃22时，q+24•+ 1-2"'an_\=(/i—l)-2n1,两式作差可得:2n-'an=(n+l)2"-1,所以4=〃+1,当〃=1时，耳=牛=2,所以q=2,符合〃22的情况，所以=〃+1；因为4,=〃+1,所以｛%｝是首项为2,公差为1的等差数列，所以s.=史普=曾1，故答案为：〃+1：%型.2四、填空题（2020.江苏.江阴市成化高级中学高二月考）对于数列｛%｝,规定｛△”,,｝为数列｛q｝的一阶差分数列，其中心“=4向-%（〃€%*）,对自然数4（422）,规定｛△%｝为数列｛4｝的左阶差分数列，其中△-。/△-。"「△"〜”.若囚之，且^/一4^+4=二乂〃^^）,贝IJ数列｛«„）的通项公式为%=.【答案】n-2"-'【分析】根据&阶差分数列的定义，结合已知条件等式可得$-券=1,写出｛券｝的通项，进而可得｛〃,,｝的通项公苴.【详解】由题设，知：（M“+i-A。”）-△a“+i+an=2。n-。“+|=-2",二紫-券=1，即｛告｝为首项为1，公差为1的等差数列，二3=1+（〃-1）=",即a"=〃.2"T（〃wN）故答案为：〃.2"T.（2021.河南三门峡.高三月考（理））在数列｛外｝中，如果对任意〃22（〃wN）,都有---（k为常数），则称数列｛2｝为比等差数列，出称为比公差.则下列结论：①等PnPn-\比数列一定是比等差数列；②等差数列一定不是比等差数列：③若4=〃!，则｛4｝是比等差数列，且比公差为1;④若数列｛4｝是公差不为零的等差数列，｛〃,｝是等比数列，则数列｛/也,｝一定不是比等差数列.其中正确的有.（填序号）【答案】①@④【分析】根据数列的新定义，由比等差数列的定义：对任意〃22（〃eN*）,都有心-4=&（%为PnPn-\常数)，对各个命题逐一分析判断即可得出答案.【详解】解：对于①，设等比数列｛凡｝的公比为9，#0,所以等比数列一定是比等差数列，故①正确；对于②，若4=1,则数列｛4｝是等差数列，则乎-广=°,则此等差数列为比等差数列，故②错误；对于③，。“=〃!，则%L="+l，&=",an an-i所以幺*---=7?+l-n=l,anan-\所以｛《,｝是比等差数列，且比公差为1,故③正确；对于④，设数列｛(｝的公差为d,d#o,数列｛〃,｝的公比为q，qx。，则4=a｝+(〃-l)d也=L'，则。向也“_a“也=(4+〃d)g_'anbnan.\bn-\ q+(〃-2)d_a^+ndfl]+(«-))(/%+(n-l)Jq+(〃_2)d qd?-qd2因为二^二不是定俗.，所以数列｛%•〃｝•定不是比等差数列,故④正确.故答案为：①(③④.(2021•江苏•高二单元测试)取出数列｛%｝,(〃24)的任意连续四项，若其中奇数项之和，偶数项之和均为同一个常数力(如连续四项4，%，«3，%,满足4+4=4+4=〃)，则称数列｛%｝,(〃24)为错位等和数列，其中常数〃是公和.若S"表示｛(｝的前"项和，有如下命题：(1)若一个等差数列是错位等和数列，则«„=«.；(2)若一个等比数列是错位等和数列，则S“=日；(3)若则错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列;(4)在错位等和数列(4)在错位等和数列｛4｝中，力=5，且。233+“234=6,若〃是偶数，则S“=J10k-4,〃=软-2110k,”=4%其中，真命题的序号是【答案】(I)(2)(3)(4)【分析】在(1)(2)中根据等差、等比数列的性质即可知｛4｝为常数数列，即可判断正误；由«4»-3+«4„-1=«4n-2+«4n=«4„-1+«4n+lW«4„-2=«4n+21结合已知即可判断正误；由(3)的结论及已知得4+6=6、q+«2+4+%=1。即可得S”,进而可知正误.【详解】(1)山。|+03=%+4=/7得d=。，即｛《,｝为常数数列，所以4=4正确；(2)由4+4=%+%=〃得q=1,所以｛4｝为常数数列，4=%所以S,,=与，正确；(3)任取四项，则a4„_3+*=*+%,=3且。4“-2+%”="+4"+i=〃，即有叫=，同理4-=为“+2,又a尸4,所以错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列，正确；(4)由(3)及。2013+。2014=6,得《+。2=6,又h=5,即q+4=4+4=5,所以4+4=4,且4+%+%+4=1。，而错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列，[10k—4,n=4k—2所以 4, •[1。必,〃=4k故答案为:(1)(2)(3)(4)【点睛】本题考查了数列新定义，综合应用了等差、等比数列的性质，以及数列的周期性，属于中档题.(2021•广东•东莞市光明中学高三开学考试)若有穷数列q,%,…，am(m为正整数)满足条件：4=4“，%=4—，…，册=4，则称其为‘'对称”数列.例如，数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数例J｛c“｝中，c”，小，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，则。2=.【答案】19【分析】根据"对称''数列可知=，20,再利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】根据题意可得。2=。20,%,cl2 c?1是以1为首项，2为公差的等差数列，所以=4=1+(20-11)x2=19.故答案为：19【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列的新定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.五、解答题(2021•江苏•高二单元测试)对于数列｛q｝,定义｛Va“｝为数列｛q｝的差分数列，其中Aa„=«„+l-«„，neN*.如果对任意的”wN*,都有V4.DV4,则称数列｛4｝为差分增数列.(1)己知数列1，2,4,x,16,24为差分增数列，求实数x的取值范围；(2)己知数列｛%｝为差分增数列,且4=%=1,%eN*.若q=2021,求非零自然数无的最大值；(3)已知项数为2A的数列｛log?4｝("=L2,3,L,2«)是差分增数列，且所有项的和等于k,证明：W“i<3.【答案】(I)8Vx<10；(2)65；(3)证明见解析.【分析】(1)利用差分增数列的定义可得关于》的不等式组，即可求解：(2)根据△。“+|>△%，at=a2=l,a„eN*,可得△%>△《=°.△/•」，△4-2,…，△ kwN*,从而可得2021.」+如二答二^,即可求解；(3)利用反证法推出矛盾，即可得证.【详解】(1)数列1,2,4,X,16,24的差分数列为1,2,x-4.16—X,8,'4+16>2x由题意可得<2+x>8,解得8<久<10，x+24>32故实数x的取值范围是(8,10).(2)由题j意，△q=。，△““eN,因为数列｛。,,｝为差分增数列，所以对任意的〃eN*,都有所以△%>△4=。，△叼•」,同理，△4-2,…，kwN*,所以当A..2时，ak=4+△《+△/+…+△%t..1+1+2+…+(无-2)=1+所以2021..1+/-2)(2二1).,2解得鼠65,所以非零自然数人的最大值为65.(3)证明：假设。*%讨.3,由题意知4,>0(〃=1,2,3,…，2k),因为项数为2«的数列｛log4,,｝所有项的和等于所以log3《+log3a2+log3+...+log3a2k=k,即log3a｝a2a3…02k=k、所以4a2a3…。2A=3",因为数列｛1叫必｝(〃=1，2,3,…，2k)是差分增数列，所以logs4+1-log?an<l°g34+2-logsa"+i，所以也<吐，因此竺<幺<4.<…<马_,an。”+1 4a2。3 a2k-\所以对任意的肛，k-1,mcN*,都有乎〈竽1工，即分+外1.<4/3』，am所以aia2k>a2a2k-l>a3a2k-2>…> •3)所以qa2a3…>3”与a｝a2a3...a2k=3/矛盾，故假设不成立，所以44“<3.【点睛】关键点睛：对于数列的新定义的题，解题的关键是理解清楚题意，熟练掌握数列中常见的解题方法.(2020•江苏•模拟预测)对数列｛斯｝,规定｛△%｝为数列｛斯｝的一阶差分数列，其中△斯=an+\-an(neM),规定为｛%｝的二阶差分数列，其中△2a〃=Z\a/I+i-AaB(〃CN*).(1)数列｛为｝的通项公式。"=”2 试判断｛△3｝,｛Z^^｝是否为等差数列，请说明理由？(2)数列仍,｝是公比为q的正项等比数列，且4与，对于任意的"GM,都存在znGN*,使得△2儿="“，求q所有可能的取值构成的集合；(3)各项均为正数的数列｛以｝的前〃项和为S”，且△ZglO,对满足根+〃=2比机初的任意正整数m、n、k,都有c〃#C”,且不等式5+5”>6*恒成立，求实数r的最大值.【答案】(1)是，是；理由见解析；(2)｛2,止叵):(3)2.2【分析】(1)推导出M,=a“+[-。,=5+1)2-〃2=2〃+1,从而=2,由此得到｛△%｝是首项为3,公差为2的等差数列，由得到是首项为2,公差为0的等差数列.(2)推导出"二人闻""，(q-1)2=qm~n,〃，-九.0,根据帆-〃=0,m-n=\»m-n..2,进行分类讨论，能求出q所有可能的取值构成的集合.(3)推导出c“+2-c“+]=c“+1 ，从而｛%｝是等差数列，设｛c,J的公差为d,则c.=G+(〃-1)4,由等差数列前〃项和公式可得S.=g〃2+(C]-g)〃，从而2+5”,=((〃2+>)+(。-g)(m+〃)，推导出S“+S”,=T(n2+m2)+(q-g)(m+〃)>g・0〃；〃)+(q-d)(m+〃)=2sA，则当4,2时，不等式S削+S“>0都成立；当，>2时，令6=左+1,n=k-l,(keN*,k..2),则S“+S,=g(2公+2)+2k(q-g),$=鹃+(。-夫，进而得到工+5“<电，由此推导出f的最大值为2【详解】(1) a„=n2,：.Aa„=a„^-a„=(n+l)2-n2=2n+\,△4=2,•.•△q=3,.•.｛△4｝是首项为3,公差为2的等差数列，•.•△2a„=Aan+l-Aan=2,・•・｛△%,,｝是首项为2,公差为0的等差数列.♦.•数列出)是公比为q的正项等比数列，.•.Z=M"T,4*1-△包=b“q-2+1-(£+1-2)=4+2-»“+1+bn,且对任意的“wN”,都存在/neN,，使得如"*'-2&g"+如"'=如"'，(q-1)2=qm~", q--2,：.m-n..O,1°.若m-〃=0,则q2_2g+l=l,解得q=0(舍)，或q=2,即当q=2时，对任意的〃e”，都有△也=,.2°.若机―〃=1,则/_3q+I=0,解得g=±2叵(舍)，或q=±L近，即当4=柠叵时，对任意的〃wN*,都有△/.=%.3°.若则W>(g-l>,・••对任意的〃eN”,不存在mwN*，使得综上所述，q所有可能的取值构成的集合为｛2,苧｝.⑶=0, △2c„=△£„,-△<?„=c„+2-C„u-(c„,-£„)=c„t2-2c„tl+c„=0,二c*+2 =q“-q，,｛c“｝是等差数列,设｛c“｝的公差为d,则c.=q+("-l)d,■Jd=。，,•。=c”，d<0»・,・当n>1—J■时，%<0,a与数列｛g｝的各项均为正数矛盾，故d>0,由等差数列前〃项和公式可得s“=g〃2+(c「f〃,••・S〃+S,“=^n2+(q— +g加2+(q-g)m=?(/+帆2)+(。-3)(帆+〃),eCd,2 2、/ d、, 、d(m+〃)~ / ... 、co..sit+Sm=-(n+//r)+(C|--)(/«+/1)>-._--+(j-d)(m+n)=2Sk,则当k2时，不等式2+S.>0都成立,另一方面，当，>2时，令m=女+1,n=k-T,(kwN*,k..2),则鼠+s”=3[(&+1)2+(k-l)21+(q-g)X2A=g(2二+2)+2如-g),St.=gk。+(q-g)A,则tSk-(5„,+S.)=g也2+g-^泯-g(2X+2)-2k(c「|),=(^t-d)(k2-k)+(t-2)ctk-d,k2-k..O,;.当k> J时,电-(S.+S”)>0,2 Q-2)j即Sn+S"<tSk,综上，f的最大值为2.【点睛】本题考查等差数列的判断，考查实数的取值范围、实数的最大值求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.(2020•黑龙江•哈师大附中高二开学考试(理))若数歹ij｛4｝满足4向=4：，则称数歹U｛A｝为“平方递推数列已知数列｛〃"｝中，4=9,点(。,,,。田)在函数f(x)=/+2x的图象上，其中〃为正整数.(1)证明数列｛。“+1｝是“平方递推数列“，且数列｛lg(q,+D｝为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列''的前〃项积为「，即7；=(4+1)(/+1)…(4+1),求电却IsT(3)在(2)的条件下，记么=］房：八，求数列｛〃｝的前〃项和3,并求使S“>4026的”的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)lg7；=2B-l：(3)口=2014【解析】试题分析：(1)根据—=a：+2%,得到4“+1=&+1尸，即｛《,+1｝是“平方递推数列进一步对4+i+1=(4+1)2两边取对数得lg(a.+i+l)=21g(a“+l),利用等比数列的定义证明.(2)苜先得到1虱为+1)=2"-',应用等比数列的求和公式即得.(3)求通项〃=2-《尸、求和S”=2〃-2+击，根据5“>4026,得到2”-2+$=>4026,〃+*>201