轨迹方程的求法-通用课件

xyo轨迹方程的求法xyo轨迹方程的求法1常用方法1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用直接法.2.直接法的另一种形式称为定义法,即已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定系数法求解.3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、斜率、坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要

“多退少补”,多余的点要剔除,不足的点要补充.6.注意“求轨迹”和“求轨迹方程”的区别.常用方法1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,21.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则P点的轨迹方程是______________.2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP·OQ=1，则点P(x、y)的轨迹方程是_______________.3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是______________________.→→→→2y2-2x2=1y=0(x≥1)y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0)1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为34.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c

成等差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为__________________________________.5.动点M(x,y)满足

则点M轨迹是()(A)圆(B)双曲线(C)椭圆(D)抛物线6.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是______________.D4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、4例7.动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=-5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。O3-5Axym[解法一]轨迹法思考：如何化去绝对值号？PP点在直线左侧时，|PH|<|PA|,不合题意。故x>-5如图，PH

y2=12x例7.动点P（x，y）到定点A（3，0）O3-5Axym53-5Axym[解法二]定义法如图，-3n作直线n：x=-3则点P到定点A（3，0）与定直线n：x=-3等距离。P（x，y）故，点P的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线。An例7.动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=-5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。

y2=12x3-5Axym[解法二]定义法如图，-3n作直线n：x6例8.等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。xyACBOD[解]|BC|=如图，设椭圆的另一个焦点为D以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。设椭圆方程为（a>b>0)则|AD|+|AC|=2a，|BD|+|BC|=2a所以，|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a即例8.等腰直角三角形ABC中，斜边BCxyACBOD[7OxyACBO解得D|AD|+|AC|=2a|AC|=在ADC中|DC|2=|AD|2+|AC|2=（）2+16=242cc2=6，b2=a2c2=（2+）2-6=故所求椭圆方程为注：重视定义！例8.等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。|AD|=OxyACBO解得D|AD|+|AC|=2a|A89.已知Q点是双曲线C:上的任意一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，过任一焦点作∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为M。求点M的轨迹方程.E解:9.已知Q点是双曲线C:9

例10.长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程。x2+y2=a2xyoABM例10.长为2a的线段AB的两个端点x2+y2=1011.已知：A（-1,0），B（1，0），过A、B分别作直线l1、l2，交点是C，若l1⊥l2，求点C的轨迹方程。xyABCO由题意知：|OC|=|AO|=1，即C点在以O为圆心，以1为半径的圆上。故:x2+y2=111.已知：A（-1,0），B（1，0），1112.P为圆x2+y2=4上一动点，点Q（4，0），∠POQ的平分线交PQ于M，求M点的轨迹方程。xyoQPM解：∵|QM|：|PM|=|OQ|：|OP|=2。设P（x0，y0），M（x，y）。则由定比分点坐标公式得：x=（4+2x0）／3，y=2y0／3，即：x0=（3x-4）／2，y0=3y／2，又∵x02+y02=4化简得:(x-4/3)2+y2=16/912.P为圆x2+y2=4上一动点，点Q（4，0），1213.已知圆x2+y2=4，过点A（4，0）作圆的割线ABC，求弦BC中点M的轨迹方程。xyoADBCM·13.已知圆x2+y2=4，过点A（4，0）作圆的xy1314.设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B为直角顶点,逆时针方向作等腰直角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹.

BAxy

Co14.设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B14解：设动直线方程为：y=x+b，和椭圆方程联立得：x2+4y2-4x=0①y=x+b②5x2+8bx-4x+4b2=0设中点M（x，y），则x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与②联立消b，得：x+4y-2=0（椭圆内的一段）15.倾斜角为450的直线与椭圆（x-2）2/4+y2=1交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。xyoAB解：设动直线方程为：y=x+b，15.倾斜15解：设OA斜率为k（k∈R），由y=kxx2+4y2-4x=0得：（1+4k2）x2-4x=0设中点M（x，y），则x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2）k=y/x消参数得：x2+4y2-2x=016.过原点的直线与椭圆（x-2）2/4+y2=1相交，求弦中点的轨迹方程。oxyMA解：设OA斜率为k（k∈R），16.过原点的直线1617.抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于A,P是抛物线上除去顶点外的动点,O为顶点.连接FP并延长至Q,使|FP|=|PQ|,OQ与AP交于M,求点M的轨迹.

PFQMAyOx[思路分析1]本题中的动点M是由两条动直线相交而得,而它们的运动又都依赖于动点P,因此选择P的坐标为参数,写出两直线的方程,解方程组,得点M的轨迹的参数方程,再化为普通方程,从而得出M的轨迹.(交轨法)[思路分析2]既然M的运动依赖于P的运动,可否用相关点法,用M的坐标表示P的坐标,而P又在已知曲线上运动,代入已知曲线得出M的方程.M和P是什么关系?回到图中仔细分析,连接AQ会怎么样?点M与ΔAFQ是什么关系?本题答案:

轨迹为以(-1/3,0)顶点,开口向右的抛物线(除去顶点).17.抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于A,P是17[思路分析]:坐标系的建立是本题的突破口,由于L1⊥L2,故可选择它们为坐标轴;也可以以线段MN的垂直平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由题设可知曲线段C为抛物线的一部分,L1为准线,N为焦点,很显然选择标准方程y2=2px(p>0).下面的关键是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角形及|BN|=6又起什么作用呢?请大家认真思考.本题答案:y2=8x(1≤x≤4,y>0)

BAMNL1L2xy18.已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N∈L2,(如图)以A,B为端点的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN为锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(1998)[思路分析]:坐标系的建立是本题的突破口,由于L1⊥L2,故1846．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！

47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践．

48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星．

49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价．

50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。

51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子．

52．为成功找方法，不为失败找借口．

53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。

54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！

55．不一定要做最大的，但要做最好的．

56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！

57．成功是动词，不是名词！28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也；立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。68、找不到路不是没有路，路在脚下。69、幸福源自积德，福报来自行善。70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。74、今天学习不努力，明天努力找工作。75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。78、技艺创造价值，本领改变命运。79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！82、校兴我荣，校衰我耻。83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。84、不想当老板的学生不是好学生。85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。88、知技并重，德行为先。89、生活的理想，就是为了理想的生活。——张闻天90、贫不足羞，可羞是贫而无志。——吕坤46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做19xyo轨迹方程的求法xyo轨迹方程的求法20常用方法1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用直接法.2.直接法的另一种形式称为定义法,即已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定系数法求解.3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、斜率、坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要

“多退少补”,多余的点要剔除,不足的点要补充.6.注意“求轨迹”和“求轨迹方程”的区别.常用方法1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,211.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则P点的轨迹方程是______________.2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP·OQ=1，则点P(x、y)的轨迹方程是_______________.3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是______________________.→→→→2y2-2x2=1y=0(x≥1)y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0)1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为224.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c

成等差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为__________________________________.5.动点M(x,y)满足

则点M轨迹是()(A)圆(B)双曲线(C)椭圆(D)抛物线6.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是______________.D4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、23例7.动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=-5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。O3-5Axym[解法一]轨迹法思考：如何化去绝对值号？PP点在直线左侧时，|PH|<|PA|,不合题意。故x>-5如图，PH

y2=12x例7.动点P（x，y）到定点A（3，0）O3-5Axym243-5Axym[解法二]定义法如图，-3n作直线n：x=-3则点P到定点A（3，0）与定直线n：x=-3等距离。P（x，y）故，点P的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线。An例7.动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=-5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。

y2=12x3-5Axym[解法二]定义法如图，-3n作直线n：x25例8.等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。xyACBOD[解]|BC|=如图，设椭圆的另一个焦点为D以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。设椭圆方程为（a>b>0)则|AD|+|AC|=2a，|BD|+|BC|=2a所以，|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a即例8.等腰直角三角形ABC中，斜边BCxyACBOD[26OxyACBO解得D|AD|+|AC|=2a|AC|=在ADC中|DC|2=|AD|2+|AC|2=（）2+16=242cc2=6，b2=a2c2=（2+）2-6=故所求椭圆方程为注：重视定义！例8.等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。|AD|=OxyACBO解得D|AD|+|AC|=2a|A279.已知Q点是双曲线C:上的任意一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，过任一焦点作∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为M。求点M的轨迹方程.E解:9.已知Q点是双曲线C:28

例10.长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程。x2+y2=a2xyoABM例10.长为2a的线段AB的两个端点x2+y2=2911.已知：A（-1,0），B（1，0），过A、B分别作直线l1、l2，交点是C，若l1⊥l2，求点C的轨迹方程。xyABCO由题意知：|OC|=|AO|=1，即C点在以O为圆心，以1为半径的圆上。故:x2+y2=111.已知：A（-1,0），B（1，0），3012.P为圆x2+y2=4上一动点，点Q（4，0），∠POQ的平分线交PQ于M，求M点的轨迹方程。xyoQPM解：∵|QM|：|PM|=|OQ|：|OP|=2。设P（x0，y0），M（x，y）。则由定比分点坐标公式得：x=（4+2x0）／3，y=2y0／3，即：x0=（3x-4）／2，y0=3y／2，又∵x02+y02=4化简得:(x-4/3)2+y2=16/912.P为圆x2+y2=4上一动点，点Q（4，0），3113.已知圆x2+y2=4，过点A（4，0）作圆的割线ABC，求弦BC中点M的轨迹方程。xyoADBCM·13.已知圆x2+y2=4，过点A（4，0）作圆的xy3214.设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B为直角顶点,逆时针方向作等腰直角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹.

BAxy

Co14.设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B33解：设动直线方程为：y=x+b，和椭圆方程联立得：x2+4y2-4x=0①y=x+b②5x2+8bx-4x+4b2=0设中点M（x，y），则x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与②联立消b，得：x+4y-2=0（椭圆内的一段）15.倾斜角为450的直线与椭圆（x-2）2/4+y2=1交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。xyoAB解：设动直线方程为：y=x+b，15.倾斜34解：设OA斜率为k（k∈R），由y=kxx2+4y2-4x=0得：（1+4k2）x2-4x=0设中点M（x，y），则x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2）k=y/x消参数得：x2+4y2-2x=016.过原点的直线与椭圆（x-2）2/4+y2=1相交，求弦中点的轨迹方程。oxyMA解：设OA斜率为k（k∈R），16.过原点的直线3517.抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于A,P是抛物线上除去顶点外的动点,O为顶点.连接FP并延长至Q,使|FP|=|PQ|,OQ与AP交于M,求点M的轨迹.

PFQMAyOx[思路分析1]本题中的动点M是由两条动直线相交而得,而它们的运动又都依赖于动点P,因此选择P的坐标为参数,写出两直线的方程,解方程组,得点M的轨迹的参数方程,再化为普通方程,从而得出M的轨迹.(交轨法)[思路分析2]既然M的运动依赖于P的运动,可否用相关点法,用M的坐标表示P的坐标,而P又在已知曲线上运动,代入已知曲线得出M的方程.M和P是什么关系?回到图中仔细分析,连接AQ会怎么样?点M与ΔAFQ是什么关系?本题答案:

轨迹为以(-1/3,0)顶点,开口向右的抛物线(除去顶点).17.抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于A,P是36[思路分析]:坐标系的建立是本题的突破口,由于L1⊥L2,故可选择它们为坐标轴;也可以以线段MN的垂直平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由题设可知曲线段C为抛物线的一部分,L1为准线,N为焦点,很显然选择标准方程y2=2px(p>0).下面的关键是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角形及|BN|=6又起什么作用呢?请大家认真思考.本题答案:y2=8x(1≤x≤4,y>0)

BAMNL1L2xy18.已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N∈L2,(如图)以A,B为端点的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN为锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,