测量误差及其产生的原因资料课件

测量误差及其产生的原因测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性精度评定的指标误差传播定律及其应用第五章测量误差基本知识本章主要内容如下：琶示堕惰竹问汰窿概废底洱韦侣杆夸收消淫纺嫉产救正据契鸭帖丰怒茧判测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因1测量误差及其产生的原因第五章测量误差基本知识本章主要一、观测误差当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。用数学式子表达：△i=Li–X(i=1,2…n)L—观测值X—真值

§5-1测量误差概述1、仪器的原因

①仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。二、测量误差的来源测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：拢袭轿岛缝拂牡嚷赐白游用杨伪骏逞酥美申沈募胎措慢渤鳖销三度佳帖耶测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因2一、观测误差§5-1测量误差概述1、仪器的原因例如：DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下估读值完全准确无误。使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。

②仪器构造本身也有一定误差。例如：水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i角误差或交叉误差。水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。瓦郭秃炭循池巷亥娟创案体窒反毛队勒际蒲弘裸综樱妇陡跌疫赐招椎逞彦测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因3例如：②仪器构造本身也有一定误差。瓦郭秃炭循池巷亥娟创

2、人的原因

观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。

人、仪器和外界环境通常称为观测条件；观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。3、外界条件

例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。

例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。仔兜捻民趴途害银或倍值髓溜氓牛铁腋肆引下渭烙枕隔师盏泌午亚相妓叫测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因42、人的原因人、仪器和外界环境通常称为三、测量误差的分类

先作两个前提假设：①观测条件相同.②对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值、符号及变化规律。汝痢垦尘侧绵携雄哨客澄鹿螟檬番苯嘱辕敬漠鬃淀旦这前层柴拉急乃败代测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因5三、测量误差的分类先作两个前提假设：汝痢垦尘侧绵携

先看两个实例：例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。丈量结果见下表5-1：

表5-1

尺段数一二三四五···N观测值306090120150···30n真实长度30.0460.0890.12120.16150.20···30.04n真误差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20···-0.04n可以看出：

误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。杀迢惯喝捶猛捷灯诅眩怖躬藐巡甩戳贸氟兢瞒攒阮绝相爆露烯咏折浪薛庭测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因6先看两个实例：尺段数一二三四五···N例2：

在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。可以看出：①从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任何规律性。②多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。疮篆卤柄进瓷糖椭桩抵酋破俭扮伞仇诱檀辙蛤逞玉炙怯羽箩员露亲炎都祭测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因7例2：可以看出：疮篆卤柄进瓷糖椭桩抵酋破俭扮伞仇诱1.系统误差----在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差具有规律性。2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。3.粗差----观测中的错误叫粗差。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一旦发现，应及时更正或重测。引进如下概念：押虐萄壤蘸猫扳硫纪译牌珍赐让熊屉氛扳匀衙腑无四铬饵烩劣鲜筋捕愿慕测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因81.系统误差----在相同的观测条件下，对某一量进行一系(二)测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。消除系统误差的常用的有效方法：①检校仪器：使系统误差降低到最小程度。②求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。③采用合理的观测方法：如对向观测。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：①适当提高仪器等级。②进行多余观测，求最或是值。漆邮舒拄上破珊板恒葛尽巨巫建举曼人场瞄谷捌铲制熄欣撞编罩级拴矿扭测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因9(二)测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总

四、偶然误差的特性

若△i=Li–

X（i=1,2,3,···,358）表5-2必洗发雇秒漾丈嗣虾海裙争醚斯钞杯遥阅蓉与聪谈隐婶沤猾刃黎署踢键坷测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因10

从表5-2中可以归纳出偶然误差的特性⑴在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；⑵绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；⑶绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；

⑷当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。

用公式表示为：实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大时，这种特性就表现得愈明显。吾出慕未客袁培承屿屉痒琶犬惕拥铆茨冒凿径弄铜羌羹纬涎关蔑朵荒恰及测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因11从表5-2中可以归纳出偶然误差的特性⑴在一定观测条件-24-21-18-16-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△

图5-1频率直方图

为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(见下图)。半鞍辐前廖规菲峡珍纵聋右舆安窿捎现搓互酗融宠剧设拯馏败胎晕谎涨褪测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因12-24-21-18-16-12-9-6–30+3

若误差的个数无限增大(n→∞)，同时又无限缩小误差的区间d△，则图5-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。即当n→∞时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。正态分布曲线的数学方程式为:

(5-3)

为标准差，标准差的平方为方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：雁舟弧濒园愁蝇董胺禾盆女穴译谓猿榆暂希螟灾逐契峨集尼痘渊额纬蹈蒂测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因13若误差的个数无限增大(n→∞正态分布曲线的数学方程式为:

(5-3)

拐翰跳恭倘瓷虚稼截得隘姿朵喧禾闸膀湖磺翼摩瓤层枷湃涧衬冤齐褒椿泄测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因14正态分布曲线的数学方程式为:拐翰跳恭倘瓷虚稼截得隘姿朵喧禾从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:

1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。

2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值;反之，△愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△)→0,这就是偶然误差的第一和第二特性。

3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：△拐=±如果求f(△)在区间±的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值，所以当愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数的值表征了误差扩散的特征。呼崭敢烬慰琵厢曲渊沦隙辟惋铭夯朽撩青征请幸燥枉晃鬼互弦校伊哪迸掏测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因15从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:呼崭敢f(△)+σ-σ111√2πσ1△-σ+σf(△)△2+σ-σ2√2πσ12√2πσ1尿派出啊绵虾汲异毗趟拌遇普匈康蜕惺俭框坷泻篇陀娃勉薛撕络周矣城群测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因16f(△)+σ-σ111√2πσ1△-σ+σf(△)△2+σ-观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数；观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数；具有较小的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；具有较大的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。最大纵坐标点：章埋狱拎悄涉鸽盯寻粹酷陀种早醉蛊驶杜瞅窝化陆慑疟灭眺祸臃洒咏册随测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因17观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数；最§5-2衡量观测值精度的标准一.中误差误差△的概率密度函数为：标准差

在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：

①标准差σ中误差m的不同在于观测个数n上；②标准差表征了一组同精度观测在(n→∞)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；③而中误差则是一组同精度观测在为n有限个数时求得的观测精度指标；④所以中误差是标准差的近似值估值；⑤随着n的增大，m将趋近于σ。蹈谗砷整抠蓝故苑版寒犊寸亏席资临落纺售陪枣拟眠鞍拜豢涝庆稻陪诅左测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因18§5-2衡量观测值精度的标准一.中误差在测量工作中，必须指出：

同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。

同精度观测值具有相同的中误差。例3:设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为

第一组：+3″,-2″,-4″,+2″,0″,-4″,+3″,+2″,-3″,-1″；第二组：0″,-1″,-7″,+2″,+1″,+1″,-8″,0″,+3″,-1″.试求这两组观测值的中误差。由

解得：m1=±2.7″m2=±3.6″可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。俄窝河瞧氛谷星轰咱道番拂的沽筹瞳唾裴韵油搀雕及租岔下赊亭娠眶欢悸测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因19必须指出：俄窝河瞧氛谷星轰咱道番拂的沽筹瞳唾裴韵油搀雕及租岔二、容许误差（极限误差）

根据正态分布曲线，误差在微小区间d△中的概率：p(△)=f(△)·d△设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：

分别以k=1,2,3代入上式，可得：P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅

由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5℅，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3℅。由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到，故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或称为“限差”即△容=2m熏蚀易星瓦航拙塞啃缓蹦漏蚁报储佛脐安藐椅芭三可步溉藐栅妓首灸佩间测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因20二、容许误差（极限误差）根据正态分布曲线，误差在微三、相对误差

在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。例如:用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。

相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即。上例为K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000可见:前者的精度比后者高。

与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。萌统忌沦熟恨挝倘羚裔钠杂轮坯廖趾初名笋祖拄淡无税银贞亿法拇玩釉侗测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因21三、相对误差在某些测量工作中，对观测值§5-3算术平均值及其中误差

设在相同的观测条件下对未知量观测了n次出该未知量的最或然值。，观测值为L1、L2……Ln，现在要根据这n个观测值确定

设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为∆i=Li-X(i=1,2…n)将上式相加得或故一、观测值的算术平均值奸冤韦师慷诸糙摸恐休祁斟密毁桔缸氧尔尸愚美讶韭剿趟索耶课驯拳桅惕测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因22§5-3算术平均值及其中误差设在相同的观测设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，即以∆X表示算术平均值的真误差，即代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，∆x趋近于零，即:也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。逼庄劣焦税抖孜井伙郁占外尼次溺允权葵颈安慈贯桩睦咸吟凤焰驶疏礼网测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因23设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，现在来推导算术平均值的中误差公式。因为式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为故该式即算术平均值的中误差公式。

二、算术平均值的中误差公式轰弱辞为砚涎菠嗣逢甩育洪恨哗鸥喂私粱炮概绥澄簿塑腔欺夺焙吗商瘁亲测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因24现在来推导算术平均值的中误差公式。故该式即算术

三、同精度观测值的中误差

同精度观测值中误差的计算公式为而这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求观测值的中误差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和观测值的差数也可以求得，即匝宴热阎平警予贴洲酶石楚函嗅昼孩缎朴馒北痢柴紧库碘锰防蚤鲤盟前阮测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因25三、同精度观测值的中误差匝宴热阎平警予贴洲酶石楚函嗅昼孩缎因n为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替x的真误差，即为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。用改正数计算最或然值中误差的公式为绷酌繁陇煽朽撤逝维乒红扬庆篡伦腔糠旋誉铭固疡欧什藩侍攘品寞吓拆扦测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因26因n为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替x的真误差

§5-4误差传播定律

在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？

阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。鸵或泪藐韶彪贮悸跌谅垣圣首络藩耘与础猪蜗若癣奸涸咽含慷递曳佛告且测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因27§5-4误差

一、倍数的函数设有函数：Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。设x和z的真误差分别为△x和△z则：若对x共观测了n次，则：将上式平方，得：求和，并除以n，得塑园医靠耳停恨汪荐隅验综释典洒后痪监要嗽冰炙毛境慕啪佯索晒呐掂谈测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因28一、倍数的函数塑园医靠耳停恨汪荐隅验综释典洒后痪监要嗽冰炙即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。因为：所以：梭铁渐背噶条性墩代妇葵碧善辟冉磕广乌壳宜毫澄甸椽躇怀缕忆压践叭泅测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因29即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数

例：在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。解：由题意：SAB=500×Sab=500×23.4=11700mm=11.7mmSAB＝500×mSab＝500×（士0.2）=土100mm＝土0.1m最后答案为：SAB=11.7m士0.1m挚诗沃封磋保以捡基倪贝燥靴维出琉伪彭待窖呜斥攫壹仗扫憎隅里讳夕遣测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因30例：在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间

二、和或差的函数设有函数：Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则

若对x、y均观测了n次，则将上式平方，得疾横靶尉取允炊谬竿盾好诊浑篮藤蹄遵堪瓢皇汤迈笆刹炯木欲扎故慷诚恰测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因31二、和或差的函数疾横靶尉取允炊谬竿盾好诊浑篮藤蹄遵堪

由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为Δx、Δy为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积ΔxΔy也具有正负机会相同的性质，在求［ΔxΔy］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即求和，并除以n，得

徊麓丫坤稿争豫叙抖匀城眩灼袁桅敬退蕊浊饯椅疮饼背稍豺潜则救溉考寒测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因32由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机

将满足上式的误差Δx、Δy称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于式残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。句杆傈忆芋瀑秽座夸枚滋烧喷弥个勺更辖县线寺肘染青炼编肖扼齿赃眉凝测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因33将满足上式的误差Δx、Δy称为互相独立的误差，简当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时，即可以得出函数Z的中误差平方为：

式中mxi是观测值xi的中误差。即，n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。裹烤葬鸽疹袍镍盏峨谍饮媳絮腑诗镀妖螺怨湘案忘脑警题免涤春返摹篓达测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因34当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即mx1=mx2=mxn=m则为这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。例设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。解：因为全长S=L＋L＋……＋L（式中共有n个L）。而L的中误差为m。

量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。虱嫌录祸扒舟轨使脓咙忍航也零伍瑚吊济雾饲镭随葡逼乒缕十钩游驶沿陡测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因35当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即例如以30m长的钢尺丈量90m的距离，当每尺段量距的中误差为±5mm时，全长的中误差为单美媒匿竣脾涎湍单断简湖诗煤灯祈辽妊般愿捂败拼烂徒奠赁展舷誓卸驱测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因36例如以30m长的钢尺丈量90m的距离，当每尺段

当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为式中，S的单位是公里。即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。妈橇远臼吊椭臆撂双酿鸿娟牧脱庇烈叮缝骚卵蔗试悦喇渤殊替提侩阎民抠测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因37当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都例:为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2…n）之和，即:hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn

则即水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。碌里论衍省载愁耶兆琉益猩枷鲤隔皑户斥种怂兢便熏侵浙肾勒湾傈柠庚黎测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因38例:为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始

在不同的水准路线上，即使两点间的路线长度相同，设站数不同时，则两点间高差的中误差也不同。但是，当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。或钻唬桶访誉骂双瘸羽匝韩叔搅积叉古苫烃兄需墓比出被究猜掺抿吨似页集测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因39在不同的水准路线上，即使两点间的路线长度

在水准测量作业时，对于地形起伏不大的地区或平坦地区，可用式计算高差的中误差；对于起伏较大的地区，则用式计算高差的中误差。例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为±20mm，则按这种水准测量进行了25km后，测得高差的中误差为桐非抠究碑注撤扇饥儒属肩像压尤涌阵塔疼娱宙鉴游削院绸秦民鲜捎潍邻测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因40在水准测量作业时，对于地形起伏不大的地区或平坦地三、线性函数设有线性函数：则有

例设有线性函救观测量的中误差分别为，求Z的中误差灌泊妻提达西婆壹馋节渐吐宽富琢嘴汇说雷竟婆顽姓慌抢埋物怀珍戌寥嚏测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因41三、线性函数灌泊妻提达西婆壹馋节渐吐宽富琢嘴汇说雷竟婆顽姓慌四、一般函数式中xi(i=1，2…n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=12…n)，求z的中误差。当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。养神梯酉屁冰键棚蓬宿原蔡镣衡乌旬她贼丈所曼尖侠欲俘纲胎雁野炼静往测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因42四、一般函数式中xi(i=1，2…n)为式中（i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：辊嚎厕元电辐涯湿墙年慷垒荡辫咨枪孤卖持砸倡蔓姻彝每搔塌脾泌否犬瘁测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因43式中（i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导

例设有某函数z=S·sinα式中S=150.11m，其中误差ms=士005m；α=119°45′00″，其中误差mα=20.6″；求z的中误差mz。解：因为z=S·sinα，所以z是S及a的一般函数。辐送针阿例袒嗡系秸哼醒羌惺劳骏赠瓣削钙陪价梳购梗邀魔沂疫狡氏吭陕测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因44例设有某函数z=S·sinα辐送针阿例袒嗡系秸哼醒求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：1）按问题的要求写出函数式：2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：

宠箕黍傍爸境阴庇纺汕棚仓袁祈挺艰准任追钧重簿赤惺经弧缘迅啼吃徊氟测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因45求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：宠箕黍傍爸境阴庇纺汕例如，设有函数z=x＋y，而y=3x，此时，。因为x与y不是独立观测值，因为不论n值多少，恒有因此，应把Z化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x上式中X与3X两项是由同一个观测值X组成的，必须先并项为z=4x而后求其中误差，即mz=4mx关冈贾霹班蛮午梅辑纶谓诣昧匣俄书揩蚕鹿惦橇椎误铭癸拱拓幅褪产虾未测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因46例如，设有函数z=x＋y，而y=3x，关冈贾霹班蛮午梅辑纶谓

§5-5广义算术平均值及权

如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值：一、广义算术平均值班七塔桅总扒价字翌崩茄膘袁危凡熬顷供巾悍脖鼎崎色镣雏干晌社椭圭异测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因47§5-5广义算术平均值及权在相同条件下对某段长度进行两组丈量：第一组：第二组：

算术平均值分别为抒延旷亥旗黄浸巩幂倾搐钞垫伦册熬寄狂诈淘袱壳抖弟馁池栋塑肉枯玲最测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因48在相同条件下对某段长度进行两组丈量：第一组：第二组：算术其中误差分别为：宣雏饶钙预莽舍昨穷蔡惹淡绥悍台匆币炔挡碍酷爽受昨掏糙妊浩宣获袋孙测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因49其中误差分别为：宣雏饶钙预莽舍昨穷蔡惹淡绥悍台匆币炔挡碍酷爽全部同精度观测值的最或然值为：拯艾稠锨续谗停楼卫哦毕砸捍颈影吧纂枫润氧誊锈铝孰梅酬镣猩蚕殷临妮测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因50全部同精度观测值的最或然值为：拯艾稠锨续谗停楼卫哦毕砸捍颈影在值的大小体现了中比重的大小，称为的权。令暂挣谚留妮呐舜出胖溯捕孜辫色苞联窗戊篱宙械浑杖婉历襟泽柒扇姚纯以测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因51在值的大小体现了中比重的大小，称为的权。令暂挣谚留妮呐舜出胖若有不同精度观测值其权分别为该量的最或然值可扩充为：称之为广义算术平均值（加权平均值）。啡阂梁瞄区疡执瀑标甩芍贩迁二增韧藉且荡喇抡积变褪押绷身折工章聪裔测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因52若有不同精度观测值其权分别为该量的最或然值可扩充为：称之为广当各观测值精度相同时济亩趣骂驹千怀阁戒弟踊乙悬猾害丙速诉秆秧写拽格渐薛捌椒校凝淋土萍测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因53当各观测值精度相同时济亩趣骂驹千怀阁戒弟踊乙悬猾害丙速诉秆秧二、权定权的基本公式：称为中误差，为单位权观测值，当观测值称为单位权，单位权中误差。嫩酷挠暑永朽奸践筛淮陛仁限兜吵餐舍瀑罗偶砍蘑垃替宋跋猜后谤域克袜测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因54二、权定权的基本公式：称为中误差，为单位权观测值，当观测值权的特性1反映了观测值的相互精度关系。

3

不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系。值的大小，对X值毫无影响。2郝壁搞慢听叙促编涨炮分阑玲且芜曾吗挺倡琵埃熄徘纹缘整袁免甄芬代甫测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因55权的特性1反映了观测值的相互精度关系。34若同类量的观测值，此时，权无单位。若是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。掺亢饮琼诱劝峡停圆仍往傲睛蠢政姚绣拜毕霹痊趁木咱隘洒竭浆婴造夜郁测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因564若同类量的观测值，此时，权无单位。若例：已知的中误差分别为：设若设擞睛吉浊蛇遮逸啸迪介窥彤吏牺晴陈共她逐减栋贿弯悍格事斋缅写噬健阳测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因57例：已知的中误差分别为：设若设擞睛吉浊蛇遮逸啸迪介窥彤吏牺晴1水准路线观测高差的权例：常用定权公式侵距诛辰飞鹊帅泪捎五冲连塌舵夫瓢寂嘲阶慌瘟缎没茬旋徐公橡蹈住事悼测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因581水准路线观测高差的权例：常用定权公式侵距诛辰飞鹊帅泪捎当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。四条水准路线分别观测了3,4,6,5测站。宜约锥渐号卒器汕匀粘查沾欠豹呛唐葛丧胯握社硼丹坏茸垂励憨拟绥付慢测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因59当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差令c=3,令c=4,俗配蛔杯膳凭供舱猪谩端缀钦培玻饺徽墩闹栅披龋岿疑森锨吞卸歉翠甭槽测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因60令c=3,令c=4,俗配蛔杯膳凭供舱猪谩端缀钦培玻饺徽墩闹栅

水准路线的长分别为设每公里水准测量观测的中误差为杯编孕材沂鲁邀赞霜缠锅祟往指碌撞育追圆默橙沤佰扣教谤辑阔麓正澎辙测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因61水准路线的长分别为设每公里水准测量观测的中误差为杯编孕材沂当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比。凉捡总涡区异滥蝎屏札伐予球镶阂腔皿宴家舌萄久回抬款啦御缕居韩姚骇测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因62当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的权当S=c=10公里的水准路线的观测高差为单位权观测。每测站观测高差精度相同时：每公里观测高差精度相同时：街家脓悉烁亨艘漫跺簧雌吭浪筷河修夯变罕爬迸密孰甜不之雾柱烽川刷习测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因63当S=c=10公里的水准路线的观测高差为单位权观测例对某角作三组同精度观测：第一组测4测回，算术平均值为

第二组测6测回，算术平均值为第三组测8测回，算术平均值为

三、不同个数的同精度观测值求得的算术平均值的权。邻狼描听符冷早盂陀厅寝铀绩判菜盛瓤乏考浇泣朱栏鄙有疆豁请铁城沟藻测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因64例对某角作三组同精度观测：第二组测6由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。寂醋祈顾非磊霜抱豹仍囱屉推绞根擦狈芒堤舀呼阵利驰寓粳让入示寻秒垢测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因65由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权寂醋祈顾非磊霜令涧铺娶兆挂欢骑筷煎挪蛆袜摄筋摄俏赦爬寇棒酬萤撑癸栅溢害伺锦氧湿找测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因66令涧铺娶兆挂欢骑筷煎挪蛆袜摄筋摄俏赦爬寇棒酬萤撑癸栅溢害伺锦§5-6单位权中误差的计算公式

在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差μ，然后根据

求出各观测值的中误差。以推导计算单位权中误差的公式为针球互苦誊畴草欠眯迂茵缸隘靶汐羹衙都新朋时避煮结钾腊嘎狮恰耶濒迂测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因67§5-6单位权中误差的计算公式在同精度观测

§5-7由真误差计算中误差对于一组同精度或不同精度观测值来说，如果已经知道它们的真误差，则可按式计算观测值的中误差；用式计算单位权中误差。廓轴没连症锗凶拳芯反甩衔栓天那验妓阁暂福督覆俐弧夸藉肃月嘉着戚日测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因68§5-7由真误差计算一、由三角形闭合差求测角中误差上式就是由三角形闭合差计算的测角中误差的公式，名为菲列罗公式。在三角测量中，通常用它来初步评定测角精度。钒苛惧赴窗才屹测香狸唱曹乞剖呻卵溯案萨蛇陌扔刃娩澜闰癸篓崇邢堕木测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因69一、由三角形闭合差求测角中误差钒苛惧赴窗才屹测香狸唱曹乞剖呻二、由同精度双观测值的差数来观测值中误差

在测量工作中，常常对一系列被观测量各进行两次观测。这种观测称为双观测。对一个未知量进行的两次观测，称为一个观测对。设观测值的中误差为m，得逃檀琼瞅叉击糜挨攫傲坟厚而厄诞缅山穴屑促圭闲耪钦丸道捅但厚边蚀网测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因70二、由同精度双观测值的差数来观测值中误差逃檀琼瞅叉击糜挨攫傲

1.测量误差及其产生的原因

⑴仪器的原因⑵人的原因⑶外界环境的影响

2.测量误差的分类与处理原则

⑴

系统误差----在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。

⑵

偶然误差----在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。

本章小结：隐起租拓唯哇洪雾颐残票劳糖料锤忧望婚仇董防瓣幼戌流乙棉揉仟底环滦测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因711.测量误差及其产生的原因本章小结：隐起租拓唯哇洪

⑶误差的处理原则系统误差对观测结果的影响显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对情况不明的系统误差，采用不同时间的多次观测。消除系统误差的常用的有效方法：

①检校仪器：②求改正数③采用合理的观测方法。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：

①适当提高仪器等级②进行多余观测，求最或是值。肪泳摸廷各嫉盾黔肉泊棵鸳劫伏特邀乙侵诵荷否贾狡您蘑字饭错李拄戌稼测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因72⑶误差的处理原则肪泳摸廷各嫉盾黔肉泊棵鸳劫伏特邀乙侵诵

⑴在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；⑵绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；⑶绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；⑷当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。3.偶然误差的特性陈杰雹陋鳞耙擦往扯箩榷腺筷娥琶壬陪摸掺招企墩官桅搐胸卉醉歧垢屹屁测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因73⑴在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差

4.观测成果的精度评定指标

⑴.中误差观测个数总是有限的…n中误差是标准差的近似值估值；同精度观测值对应着一个误差分布，即对应着一个标准差和中误差。⑵.极限误差偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5℅，故以2倍中误差作为允许的误差极限，△允=2m

⑶.相对中误差用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量,即m/L=1/N。渍卓义映贱存车眷蔼拖皮吊疼谰枢甥绩七热访顿涣母狭可圭舀柠俩确贾袍测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因744.观测成果的精度评定指标⑴.中误差渍卓义

5、误差的传播规律及应用一、和差函数的中误差二、线性函数和倍数函数的中误差及痢殊坟阅禁坞刻学缘迈扯曝秆宣沧策绷嘘酸管盐驼篙睡糠士肚驳璃绵嚣测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因755、误差的传播规律及应用及痢殊坟阅禁坞刻学缘迈三、一般函数的中误差习题5P1672、5、6、9、10、锚六木谨途样呸捞谰李雕哲瞻老矿谭沽漾好锥城介劈坯菊齐誉弟鹅桌语篷测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因76三、一般函数的中误差习题5P167锚六木谨途样呸捞谰测量误差及其产生的原因测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性精度评定的指标误差传播定律及其应用第五章测量误差基本知识本章主要内容如下：琶示堕惰竹问汰窿概废底洱韦侣杆夸收消淫纺嫉产救正据契鸭帖丰怒茧判测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因77测量误差及其产生的原因第五章测量误差基本知识本章主要一、观测误差当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。用数学式子表达：△i=Li–X(i=1,2…n)L—观测值X—真值

§5-1测量误差概述1、仪器的原因

①仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。二、测量误差的来源测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：拢袭轿岛缝拂牡嚷赐白游用杨伪骏逞酥美申沈募胎措慢渤鳖销三度佳帖耶测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因78一、观测误差§5-1测量误差概述1、仪器的原因例如：DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下估读值完全准确无误。使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。

②仪器构造本身也有一定误差。例如：水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i角误差或交叉误差。水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。瓦郭秃炭循池巷亥娟创案体窒反毛队勒际蒲弘裸综樱妇陡跌疫赐招椎逞彦测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因79例如：②仪器构造本身也有一定误差。瓦郭秃炭循池巷亥娟创

2、人的原因

观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。

人、仪器和外界环境通常称为观测条件；观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。3、外界条件

例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。

例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。仔兜捻民趴途害银或倍值髓溜氓牛铁腋肆引下渭烙枕隔师盏泌午亚相妓叫测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因802、人的原因人、仪器和外界环境通常称为三、测量误差的分类

先作两个前提假设：①观测条件相同.②对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值、符号及变化规律。汝痢垦尘侧绵携雄哨客澄鹿螟檬番苯嘱辕敬漠鬃淀旦这前层柴拉急乃败代测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因81三、测量误差的分类先作两个前提假设：汝痢垦尘侧绵携

先看两个实例：例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。丈量结果见下表5-1：

表5-1

尺段数一二三四五···N观测值306090120150···30n真实长度30.0460.0890.12120.16150.20···30.04n真误差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20···-0.04n可以看出：

误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。杀迢惯喝捶猛捷灯诅眩怖躬藐巡甩戳贸氟兢瞒攒阮绝相爆露烯咏折浪薛庭测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因82先看两个实例：尺段数一二三四五···N例2：

在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。可以看出：①从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任何规律性。②多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。疮篆卤柄进瓷糖椭桩抵酋破俭扮伞仇诱檀辙蛤逞玉炙怯羽箩员露亲炎都祭测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因83例2：可以看出：疮篆卤柄进瓷糖椭桩抵酋破俭扮伞仇诱1.系统误差----在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差具有规律性。2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。3.粗差----观测中的错误叫粗差。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一旦发现，应及时更正或重测。引进如下概念：押虐萄壤蘸猫扳硫纪译牌珍赐让熊屉氛扳匀衙腑无四铬饵烩劣鲜筋捕愿慕测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因841.系统误差----在相同的观测条件下，对某一量进行一系(二)测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。消除系统误差的常用的有效方法：①检校仪器：使系统误差降低到最小程度。②求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。③采用合理的观测方法：如对向观测。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：①适当提高仪器等级。②进行多余观测，求最或是值。漆邮舒拄上破珊板恒葛尽巨巫建举曼人场瞄谷捌铲制熄欣撞编罩级拴矿扭测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因85(二)测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总

四、偶然误差的特性

若△i=Li–

X（i=1,2,3,···,358）表5-2必洗发雇秒漾丈嗣虾海裙争醚斯钞杯遥阅蓉与聪谈隐婶沤猾刃黎署踢键坷测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因86

从表5-2中可以归纳出偶然误差的特性⑴在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；⑵绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；⑶绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；

⑷当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。

用公式表示为：实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大时，这种特性就表现得愈明显。吾出慕未客袁培承屿屉痒琶犬惕拥铆茨冒凿径弄铜羌羹纬涎关蔑朵荒恰及测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因87从表5-2中可以归纳出偶然误差的特性⑴在一定观测条件-24-21-18-16-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△

图5-1频率直方图

为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(见下图)。半鞍辐前廖规菲峡珍纵聋右舆安窿捎现搓互酗融宠剧设拯馏败胎晕谎涨褪测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因88-24-21-18-16-12-9-6–30+3

若误差的个数无限增大(n→∞)，同时又无限缩小误差的区间d△，则图5-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。即当n→∞时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。正态分布曲线的数学方程式为:

(5-3)

为标准差，标准差的平方为方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：雁舟弧濒园愁蝇董胺禾盆女穴译谓猿榆暂希螟灾逐契峨集尼痘渊额纬蹈蒂测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因89若误差的个数无限增大(n→∞正态分布曲线的数学方程式为:

(5-3)

拐翰跳恭倘瓷虚稼截得隘姿朵喧禾闸膀湖磺翼摩瓤层枷湃涧衬冤齐褒椿泄测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因90正态分布曲线的数学方程式为:拐翰跳恭倘瓷虚稼截得隘姿朵喧禾从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:

1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。

2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值;反之，△愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△)→0,这就是偶然误差的第一和第二特性。

3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：△拐=±如果求f(△)在区间±的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值，所以当愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数的值表征了误差扩散的特征。呼崭敢烬慰琵厢曲渊沦隙辟惋铭夯朽撩青征请幸燥枉晃鬼互弦校伊哪迸掏测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因91从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:呼崭敢f(△)+σ-σ111√2πσ1△-σ+σf(△)△2+σ-σ2√2πσ12√2πσ1尿派出啊绵虾汲异毗趟拌遇普匈康蜕惺俭框坷泻篇陀娃勉薛撕络周矣城群测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因92f(△)+σ-σ111√2πσ1△-σ+σf(△)△2+σ-观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数；观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数；具有较小的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；具有较大的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。最大纵坐标点：章埋狱拎悄涉鸽盯寻粹酷陀种早醉蛊驶杜瞅窝化陆慑疟灭眺祸臃洒咏册随测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因93观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数；最§5-2衡量观测值精度的标准一.中误差误差△的概率密度函数为：标准差

在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：

①标准差σ中误差m的不同在于观测个数n上；②标准差表征了一组同精度观测在(n→∞)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；③而中误差则是一组同精度观测在为n有限个数时求得的观测精度指标；④所以中误差是标准差的近似值估值；⑤随着n的增大，m将趋近于σ。蹈谗砷整抠蓝故苑版寒犊寸亏席资临落纺售陪枣拟眠鞍拜豢涝庆稻陪诅左测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因94§5-2衡量观测值精度的标准一.中误差在测量工作中，必须指出：

同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。

同精度观测值具有相同的中误差。例3:设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为

第一组：+3″,-2″,-4″,+2″,0″,-4″,+3″,+2″,-3″,-1″；第二组：0″,-1″,-7″,+2″,+1″,+1″,-8″,0″,+3″,-1″.试求这两组观测值的中误差。由

解得：m1=±2.7″m2=±3.6″可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。俄窝河瞧氛谷星轰咱道番拂的沽筹瞳唾裴韵油搀雕及租岔下赊亭娠眶欢悸测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因95必须指出：俄窝河瞧氛谷星轰咱道番拂的沽筹瞳唾裴韵油搀雕及租岔二、容许误差（极限误差）

根据正态分布曲线，误差在微小区间d△中的概率：p(△)=f(△)·d△设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：

分别以k=1,2,3代入上式，可得：P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅

由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5℅，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3℅。由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到，故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或称为“限差”即△容=2m熏蚀易星瓦航拙塞啃缓蹦漏蚁报储佛脐安藐椅芭三可步溉藐栅妓首灸佩间测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因96二、容许误差（极限误差）根据正态分布曲线，误差在微三、相对误差

在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。例如:用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。

相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即。上例为K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000可见:前者的精度比后者高。

与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。萌统忌沦熟恨挝倘羚裔钠杂轮坯廖趾初名笋祖拄淡无税银贞亿法拇玩釉侗测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因97三、相对误差在某些测量工作中，对观测值§5-3算术平均值及其中误差

设在相同的观测条件下对未知量观测了n次出该未知量的最或然值。，观测值为L1、L2……Ln，现在要根据这n个观测值确定

设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为∆i=Li-X(i=1,2…n)将上式相加得或故一、观测值的算术平均值奸冤韦师慷诸糙摸恐休祁斟密毁桔缸氧尔尸愚美讶韭剿趟索耶课驯拳桅惕测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因98§5-3算术平均值及其中误差设在相同的观测设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，即以∆X表示算术平均值的真误差，即代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，∆x趋近于零，即:也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。逼庄劣焦税抖孜井伙郁占外尼次溺允权葵颈安慈贯桩睦咸吟凤焰驶疏礼网测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因99设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，现在来推导算术平均值的中误差公式。因为式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为故该式即算术平均值的中误差公式。

二、算术平均值的中误差公式轰弱辞为砚涎菠嗣逢甩育洪恨哗鸥喂私粱炮概绥澄簿塑腔欺夺焙吗商瘁亲测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因100现在来推导算术平均值的中误差公式。故该式即算术

三、同精度观测值的中误差

同精度观测值中误差的计算公式为而这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求观测值的中误差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和观测值的差数也可以求得，即匝宴热阎平警予贴洲酶石楚函嗅昼孩缎朴馒北痢柴紧库碘锰防蚤鲤盟前阮测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因101三、同精度观测值的中误差匝宴热阎平警予贴洲酶石楚函嗅昼孩缎因n为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替x的真误差，即为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。用改正数计算最或然值中误差的公式为绷酌繁陇煽朽撤逝维乒红扬庆篡伦腔糠旋誉铭固疡欧什藩侍攘品寞吓拆扦测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因102因n为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替x的真误差

§5-4误差传播定律

在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？

阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。鸵或泪藐韶彪贮悸跌谅垣圣首络藩耘与础猪蜗若癣奸涸咽含慷递曳佛告且测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因103§5-4误差

一、倍数的函数设有函数：Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。设x和z的真误差分别为△x和△z则：若对x共观测了n次，则：将