浅谈初中数学中非负数的应用策略

浅谈初中数学中“非负数”的应用策略

摘

要：在初中数学中，”非负数”和方程是一个不可缺少的重要组成部分，从七年级的绝对值开始，非负数一直贯穿到九年级;同时，历届中考试题或平时的测试中，非负数和方程既是命题注重的难点又是重点。那么什么是非负数？所谓”非负数”，顾名思义，就是不是负数的数，也就是零和正数或是≥0的数;在数轴上，原点和原点右边的点所表示的数以及数轴上表示数的点到原点的距离都是“非负数”，这是非负数的几何意义。Key：初中;数学;非负数;应用在初中数学的教学过程中存在很多影响教学效果的问题，大部分教师将目光放在学生的学习成绩上，而忽略培养学生的数学能力，没有发挥数学教育对培养学生综合素质的重要作用。初中数学教材中“非负数”知识是在数轴、绝对值、二次根式、方程、方差等概念的教学中建立起来的，非负数的性质在解题中既非常重要又颇为实用。“非负数”的知识设计内容之广，时间之长是众所周知的。在教学中必须遵循学生的认知特征和数学学科特性，充分发挥学生学习的主观能动性，帮助学生积累总结解题规律，提高解决综合问题的能力，使学生在解题的过程中提高对“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，应用意识，创新意识”这十个核心概念的再认识再消化。在教學中教师要树立新的基础教育观、学生观、教学观、课程观、质量观，帮助学生学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考世界，会用数学语言表达世界，切实落实数学育人的目标。现就初中数学中常见“非负数”的应用浅谈几点自己的看法，供大家参考。所谓”非负数”，是指零和正数。“非负数”的性质在解题中颇有用处。常见的非负数有四种：有理数的偶数次幂、有理数的绝对值和非负实数的偶次方根，用二次根式表示的数。一、

初中数学中常用的非负数1.

任意一个实数的绝对值是非负数;我们知道一个正数的绝对值等于它本身;0的绝对值等于0;一个负数的绝对值等于它的相反数，也就是在这个数的前面加个“-”号。即：|a|=a（a≥0）-a（a≤0）2.

任意一个实数的偶次方是非负数，即：a2n≥0（n是整数）。3.

任意一个非负数的算术平方根是非负数，即：a≥0（a≥0）;a2=|a|=a（a≥0）-a（a≤0）4.

一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立。若二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，则b2-4ac≥0。若b2-4ac≥0（a≠0），则二次方程有两个实数根。5.

数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数。6.

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差，都是非负数。7.

非负数的性质：（1）非负数集合里，有一个最小值，它就是零。（2）如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零。（3）有限个非负数的和或积仍是非负数。（4）若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零。二、

非负数的运用（一）在方程中非负数的直接应用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的条件是Δ=b2-4ac≥0，此时为一个非负数。【例1】

若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根，则k的取值范围是（）A.

k>-74B.

k≥-74且k≠0C.

k≥-74D.

k>74且k≠0分析：要确定k的取值范围，必须先要把方程整理成一元二次方程的一般形式ky2-7y-7=0，再利用一元二次方程有实根的非负数条件Δ=b2-4ac≥0去确定，故答案是B。【例2】

求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根。证明：把方程左边分组配方，得（x4+2x2+1）+（x2+2x+1）+4=0即（x2+1）2+（x+1）2=-4;∵（x2+1）2>0，（x+1）2≥0，∴（x2+1）2+（x+1）2>0。但右边是-4。∴不论x取什么实数值，等式都不能成立。∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根。（二）在化简与计算题中的直接应用【例3】

a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c-a|-（b-a）2-|c-b|=。分析：要化简代数式，必须根据绝对值和算术平方根的非负性来解。根据数轴看出a<0<c0，b-a>0，c-b（三）在“0+0=0”模式中的应用由于任何一个实数的绝对值和平方（偶次方）是非负数，一个非负数的算术平方根也是非负数，因此我把“|a|+b2+c=0”就定义为“0+0+0=0”的模式。1.

在“0+0=0”模式中的直接应用【例4】

（1）已知|a+3|+b-2=0，求ab的值;（2）|x+y-1|+（2x-y-5）2=0，求（x+y）2015的值;（3）已知实数a，b，且（a+b-3）2与2-ab互为相反数，请你求出以a，b为根的一个一元二次方程。分析：（1）欲求ab的值，必须先要求出a，b的值。因为|a+3|≥0，b-2≥0，故满足“0+0=0”模式，所以就有a+3=0，b-2=0，即a=-3，b=2，ab=（-3）2=9。（2）欲求（x+y）2015的值，必须先要求出x，y的值。因为|x+y-1|≥0，（2x-y-5）2≥0，故满足“0+0=0”模式，所以就有x+y-1=02x-y-5=0，利用方程组的解法，求出x=2，y=-1，（x+y）2015=1。（3）欲求出以a，b为根的一元二次方程，必须先要求出“两个根的和与两个根的积”即a+b和ab的值。因为（a+b-3）2≥0，2-ab≥0，故满足“0+0=0”的模式，所以就有a+b-3=0，2-ab=0，即a+b=3，ab=2，以a，b为根的一个一元二次方程是x2-3x+2=0。2.

先将问题转化成两个（或有限个）非负数的和再应用【例5】

（1）已知三角形的三条边x，y，z满足x2+y2+z2+338=10x+24y+26z，则这个三角形是什么形状的三角形？（2）已知△ABC的三边a，b，c满足|a+b-7|+2a-b-2=10c-25-c2，求△ABC的面积。（3）若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状。分析：要得出三角形的形状和面积，必须要解出三角形各边的长，这就要根据已知条件想办法化成“0+0=0”的模式。（1）移项得x2-10x+y2-24y+z2-26z+338=0，此时等号的右边等于0了，下面用完全平方公式的特点“首平方，尾平方，首尾积的2倍放中央”把338分解成25+144+169，等号左边就化成了（x2-10x+25）+（y2-24y+144）+（z2-26z+169）=0，即（x-5）2+（y-12）2+（z-13）2=0，再用“0+0+0=0”的模式解得x=5，y=12，z=13，因为52+122=132，所以这个三角形是直角三角形。（2）移项得|a+b-7|+2a-b-2+c2-10c+25=0，利用完全平方公式把c2-10c+25写成（c-5）2的形式，这时就得到了|a+b-7|+2a-b-2+（c-5）2=0，根据“0+0+0=0”的模式得出a+b-7=02a-b-2=0c-5=0，解得a=3，b=4，c=5，因為3，4，5是最简单的勾股数，所以，以a，b，c为边的三角形是直角三角形，面积就等于6。（3）在a2+b2+c2-ab-ac-bc=0中有平方项和乘积项，根据完全平方公式的特点缺少了2倍，因此我们就想到两边同时乘2得，2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，再用拆项法得到（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0，这时可以化成（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，根据“0+0+0=0”的模式得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，从而解得a=b=c，这样就有三角形是等边三角形。总之，“非负数”在初中数学中的应用范围十分广泛，在教学中，老师应引起足够重视，善于总结，切忌碎片化的教学。根据学生的知识结构分阶段进行针对性的辅导，培养学生的数感和符号意识，特别强调有些题目中非负数比较明显，有些题目中比较隐蔽，需要化简、整理，要学会灵活应用。保障学生能够在不断的数学实践以及活动参与的过程之中提高个人的数学核心素养，真正地掌握良好的数学思维能力，实现数学理论知识学习与实践研究之间的紧密结合，提升