2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点十指数、指数函数

指数、指数函数…基础落实练•一 3（）分钟60分一、单选题（每小题5分，共20分）.若a>l,-1<伙0,则函数y=H+6的图象一定不过（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为a〉l,且一1〈沃0,故其图象如图所示.函数尸a",（0<aVl）的图象为（）【解析】选C.由函数的解析式知，此函数图象关于x=l对称，当x>l时，函数解析式为y=a1,（OVaVl）,这是一个减函数，最大值在x=l处取到，由函数图象的对称性知函数在xVl时是递增的，综上讨论知，C图象符合条件..（2021•渭南模拟）已知a=（；） ,6=3-，c=log-3,则（）A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<c<a【解析】选C.因为0<H <1,3^>3°=1,log13<logll=0,所以cVaVA.【加练备选】已知a=4°」，b=Q.4°5,c=Q.4°%则&b,c的大小关系正确的是( )A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b【解析】选C.因为4°”>4°=1,而0V0.4°8Vo.4°5Vo.4°=1,即a>l,0<c<b<l,所以a>b>c>F(x),x>03.已知奇函数y=,、 /八，如果〃x)=Hg>0且aWl)对应的图象如图所示，那么、gkx),K0g(x)=( )C.2r D.-2X【解析】选D.当x>0时，函数单调递减,则OVaVl,因为f(l)=4,所以a=J,即函数f(x)=13,当xVO,则一x>0,则/'(一x)==一g(x),则g(x)=—13 =—2、，即即才)=-2",xVO.4.若偶函数满足=2'—4(x20),则不等式F(x—2)>0的解集是()A.{x|-1VxV2} B.{x\0<x<4}C.{x|xV—2或x>2} D.{x|xV0或x>4}【解析】选D.由偶函数/'(*)满足f(x)=2'—4(x20),可得/1(x)=f(|x|)=2'—4,则f(x—2)=f(|x—2|)=2i-4,要使/X|x—2|)>0,只需2T—4>0,所以|x-2|>2,解得xVO或x>4.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分).设指数函数f(x)=a'(a>0且aWl),则下列等式中正确的是()f(x+y)=f(x)f(y),、/(%)f{x—y)—r(>,fky)/1(/?*)=[f(x)]"(〃WQ)D.[f(xy)r=[f(x)]""(y)r(〃GN*)【解析】选ABC.f{x+y)=a+'=ad=f{x}f(y),A正确；a*f(v)f(x~y)=a'~y=aa~r=——~7TZ~~,B正确；af(<y)f(nx)=a"=(a")"=[f(x)]C正确；"(x)]，[f(y)r=3)〃⑷〃=(aTN(a),D不正确..已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f[x)+g(x)=a*—a-"+2(a>0且aWl),若g(2)=a,则下列结论正确的是( )A.a的值为2B.函数M的解析式为/Xx)^ax-aC.函数g(x)的解析式为g(x)=2D.函数f(f+2x)的单调递增区间为(-1,+8)【解析】选ACD.依题意得f(x)+g(x)=ax—a~'+2①，/"(—x)+g(—x)=a~'~a+2=—f(x)+g(x)②，①一②得/1(x)=a、-所以g(x)=2.又g(2)=a,所以a=2,f(x)=2X—2~X,/Xx)在R上单调递增.所以函数+2x)的单调递增区间为(-1,+8).三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知函数底五-1,则/Xx)的单调递增区间为,值域为.

【解析】令*—2x20,解得x22或x〈0,所以f(x)的定义域为(-8,0]u[2,+8),令t—y/^—2x—1,则其在(一8,0]上递减，在[2,+8)上递增,又尸停)为减函数，故/'(x)的增区间为(-8,0].因为t=y/f_2x-12—1,所以年)G(0，2].故/1(x)的值域为(0,2].答案：(-8,0](0,2]对于函数f(x)=2"定义域中任意X”X2(XiW/2)有如下结论:(l)f(%+莅)=_f(xi)+f(x2)f(为)+f(A2)Xi+f(为)+f(A2)Xi+舅其中正确结论的序号是.【解析】函数f(x)=2、定义域中任意X”莅(汨£莅)，由于f(x+*2)=2用+苞=2乂•2而=•/1(%),故(1)不正确、(2)正确.由于函数/■(*)=2,是定义域内的增函数，故有一! ->0正确，故(3)正确.3一上由于函数的图象是下凸的，故有 ,故(4)正确.答案：(2)(3)(4).已知2*=8rH,9'=3-,则x+尸.【解析】由2'=8川，得2'=2"+3,所以x=3y+3.①由9'=3厂9,得3"=3k'所以2y=x-9.②由①②联立方程组，解得x=21,y=6,所以x+y=27.

答案：27四、解答题(每小题10分，共20分).已知函数/'(x)=a*+6(a>0,且aWl).(1)若/'(x)的图象如图①所示，求a,6的值；(2)若/'(x)的图象如图②所示，求a,6的取值范围；(3)在(D中，若"(x)|=/有且仅有一个实数根，求力的取值范围.【解析】(l)f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),[ab—0,所以“一9[a十5=-2,又因为a>0,且a#l,所以a=4,6=—3.(2)f(x)单调递减，所以0〈水1,又/'(0)<0.即a°+伙0,所以从一1.故a的取值范围为(0,1),6的取值范围为(—8,-1).⑶画出|f(x)|=|(d5尸一3|的图象如图所示，要使"(x)|=/有且仅有一个实数根，则m=0或朋23.故"的取值范围为[3,+故"的取值范围为[3,+°°)U{0}.10.(2022•龙岩模拟)已知函数/<*)—2，+]⑴求实数a的值，并证明//x)的单调性；(2)若实数满足不等式fI—2)+f(D>3工,/2x为奇函数.,求1的取值范围.【解析】⑴因为尸/'（X）是定义域为R的奇函数，由定义/'（一Q=-fG），所以乙I12"-a2'+1所以2,(a—1)—1—a,所以a=L所以f（X）=所以f（X）=2-12r+l证明：任取一8<X]<*2<+8,因为f(x因为f(x)—/'(及)=2小一1 2x2—12*+112及+12（2x]2上2）（2x+6（2%+1）.因为-8<为<属<+8,所以2为〈2及，所以f（M）—/■&）<0,即/'（汨）"屋）.所以f（x）在定义域内为增函数.>—f(―1)=f(l)>—f(―1)=f(l)= >1=> t-2 >1=> t-2 t-2所以te（2,3）.素养提升练1.素养提升练1.（2022•金华模拟）函数尸2,的定义域为[a,20分钟45分b],值域为[1,16],当a变动时，函数6【解析】选B.根据选项可知【解析】选B.根据选项可知a<0,所以2"=16,6=4.6],值域为[1，16],y5■4y5■43■.(能力挑战题)(多选题)设x,y,z为正实数，且log2^=log3y=log5z>0,则捺，《f的大小关系可能是(xyzA-xyzA-2q<5=y-3z_5D.xD.<2【解析】选ABC.设log2“=log3y=log5Z=A>0,可得x=2">1,y=3*>l,z=5">l,所—X—qA-1 4_c*-1—乙，c-O， ——O3 5①若0VAV1,则函数/U)=一单调递减，所以］>|>f,即2<! ,故C正确;②若〃=1,则函数f(x)=x"'=l,所以J=《=1,Zab故B正确；③若4>1,则函数/■(*)=/-'单调递增，所以3<(<f,故A正确.乙JU综上可知391的大小关系不可能是D.2 3 5.(2022•广州模拟)已知函数/■(x)=(2a—l)a'—a(其中a>0且aWl),若当—1时，9恒有"(Ml<7,则a的取值范围是()A.(0,1］B.(0,{IC.［”D.R1)9【解析】选D.因为函数f(x)=(2a—Da-a,且当—1时，恒有"(x)|V彳，①当a>l时，/Xx)是［-1,+8)上的增函数，所以f(x)的值域为2—a-5+8),不满足条件；②当;VaVl时，/'(*)是［―1,+8)上的减函数，所以/'(X)的值域为(一a,2-a--,TOC\o"1-5"\h\z， k a\( 1"| 9因为一a,2—a—c(—1,0),满足"(才)|〈彳；\ a 49③当a=-时，/'(x)=--,满足|f{x)|<-；④当OVavg时，f(x)是［―1,+8)上的增函数，所以f(x)的值域为2—a——aj,f1 9f,117TOC\o"1-5"\h\z2-a—> a+~<—a 4 a 4 i i由题意，可得' 1 ，即J ］,解得［<a<.0<a<- 0<a<~、乙 I/综上所述，所求a的取值范围是1)..放在衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a,经过1天后4体积与天数I的关系式为：勺a・ef,若新丸经过50天后，体积变为wa,那么经过一天后，体积变为得a.,4【解析】由题意得y=a-e-50A="a@,o可令「天后体积变为百a,Q即有V=a•e*/=—乙I4由①可得。一则=6③，y2又②・①得e-(,-50U=1,4两边平方得屋(21⑼，,与③比较可得2£—100=50,解得t=75.y答案：75.若函数/'(x)=2"RawR)满足/'(l-x)=f(l+x),/Xx)在区间［加，加上的最大值记为f(x)皿X,最小值记为若/'(X)皿一f(x).in=3,则〃一加的取值范围是.【解析】因为/u—x)=f(l+x),所以/■(*)的图象关于直线X=1对称，所以a=-l,所以/U-作出函数y=f(x)的图象如图所示:

当成或1《水〃时，离对称轴越远，力与〃的差越小，由尸2-与7=2一的性质知极限值为0.当水1<〃时，函数/'(x)在区间[加，句上的最大值与最小值的差为/'(x""一"")/：?±21-2°=3,则〃一力取得最大值2—(-2)=4,所以〃一力的取值范围是(0,4].答案：(0,4]e*a.设函数f(x)=—+—(e为无理数，且e—2.71828)是R上的偶函数且a>0.ae(1)求a的值；(2)判断f(x)在(0,+8)上的单调性.【解析】(1)因为/Xx)是R上的偶函数，e1 a e a 1 a e所以/'(—1)=f(l),所以一+—=一+一，即一一一 ae.a e a e ae e a所以，=e1—a],所以，—a=0,所以3=1,eyaJ\aja又a>0,所以a=L(2)f(x)=e*+er.设X,取>0,且Xi〈尼，丹场)—=e莅+e一即-e%-e—Xi=e^-ex+工——={ex2—ex2eXiexi)fl——~.Iextexzj因为X,%2>0,为<用，所以ex2>e*且exie*2>l，所以(e而一exj(l 1>0,即/'(而)>f(xj,\QX\QXi)所以/'(x)在(0,+8)上单调递增..已知函数/'(x)=6•a'(其中a,6为常量，且a>0,aWl)的图象经过点4(1,6),8(3,24).(1)求f(x)的表达式；⑵若不等式I+([) —“NO