2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点三十一余弦定理、正弦定理应用举例

三十一余弦定理、正弦定理应用举例“基础落实练• 3（）分钟60分一、单选题（每小题5分，共20分）.如图，两座灯塔4和6与海岸观察站。的距离相等，灯塔力在观察站南偏西40°,灯塔6在观察站南偏东60°,则灯塔力在灯塔8的（）A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东80° D.南偏西80°【解析】选D.由条件及题干图知，NCAB=/烟=40°,又N6徵=60°,所以/物=30°所以/的=10°,因此灯塔月在灯塔3的南偏西80°..已知力船在灯塔。的北偏东85°方向且力到。的距离为2km,6船在灯塔。的西偏北25°方向且6到。的距离为小km,则46两船的距离为（ ）A.y[13km B.y[15kmC.2y/3km D.3y/2km【解析】选A.画出图形如图所示，北I北I由题意可得/道方=（90°-25°）+85°=150°,又47=2,BC=y[i.在△/B。中，由余弦定理可得力#=月初一247・cos150°=13,所以,即A,6两船的距离为415km.3.一船以每小时15mkm的速度向东行驶，船在力处看到一灯塔6在北偏东60°,行驶4小时后，船到达。处，看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为（）A.60km B.60\y2km3O\/2km30km3O\/2km30km【解析】选A.画出图形如图所示，在△力应1中,/力。=30°,40=4X15【解析】选A.画出图形如图所示，在△力应1中,/力。=30°,40=4X15*=64，AB=45。，由正弦定理得二BC

sinABAC所以仁sinS6Mxsin30°

sin45°=60,所以船与灯塔的距离为60km.4.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°6Mxsin30°

sin45°=60,所以船与灯塔的距离为60km.15°第一排距离为5m米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上.则旗杆的高度为（）15°第一排A.1叭履米B.15米C.20米D.2073米【解析】选B.如图所示，由题意得，N4£C=45°,ZJ6F=180°-60°-15°=105°,所以NE4占180°-105°-45°=30°,由正弦定理可知.‘sinZ.EACsinZ.AECCE l所以47=一~~777•sinN4EC=g3（米），sinN.EAC v所以在Rt△力比'中，AB=AC-sinN4CB=10y[iX坐=15（米），即旗杆的高度为15米.最后卜杆•排砂"」15’。痂二排B二、多选题（每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）5.（2022•福州模拟）如图，A,6两点在河的同侧，且4月两点均不可到达，要测出4B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C,D,若测得当km,4ADB=/CDB=30°,N4W=60°,NACB=45°,则下列计算结果正确的有（）DTOC\o"1-5"\h\zA.AC=^~kmB.BC=~~km2 4omC./DBC=45°D. km【解析】选CD.在△腼中，/DBC=180°-ZCDB-ZACD-ZACB=45°,坐 r由正弦定理得6。==~,sinZ.BDC——~：匚。•sin30°=幸（km）.sinZz/oC sin45 4在切中，因为/ADC=/ADB+/CDB=60°,N477=60°,、巧所以/的a60°,所以弓-（km）,在△力比'中，由余弦定理得：AE>=AC+BC-2AC*BCcos45°=7 —2X坐X幸X坐4o ， 4 /_3=8•所以击中（km）..（2022•重庆模拟）重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡.如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端的高度力氏选取与点6在同一水平面内的两点。与。（8,C,〃不在同一直线上），画一条基线，测得Q=s,测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：/ACB,/ACD,4BCD,/ADB,NADC,4BDC,则根据下列各组中的测量数据可计算出45的高度的是（）

'DA./ACB,/BCD,4BDCB.£，/ACB,/BCD,N.ACDc./ACB,/ACD,/ADCD./ACB,/BCD,乙'DA./ACB,/BCD,4BDCB.£，/ACB,/BCD,N.ACDc./ACB,/ACD,/ADCD./ACB,/BCD,乙ADC【解析】选ACD.A：根据s,/BCD,ABDC,由正弦定理求比；再结合N/=可求45的高度,正确;B：茬MACD, 徵中都已知一边一角，不能求出其他角或边，无法求力6的高度，错误;C：根据s,Z.ACD,Z.ADC,由正弦定理求47,再结合N4%可求44的高度，正确;D：由N力笫，N腼可得：cosZJfl9=cos/ACB・cos/BCD,结合N4T由正弦定理求47,再由N4=可求46的高度，正确.三、填空题(每小题5分，共10分).某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点4处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点6处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上,则点8与电视塔的距离是则点8与电视塔的距离是km.15【解析】如题图'由题意知48=24X而=6(km),在△45S中，N劭S=30°,46=6km,N48S=180°-75°=105°,所以N4M=45°,由正弦定理知BSABsin由正弦定理知BSABsin30°sin45°cri,八AB'sin30° 「八、所以BS=sin45°—=3^(km)-答案：3^2.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20nmile的8处,海轮按北偏西60°的方向航行了30min后到达。处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为nmile/min.【解析】由已知得/〃»=45°,Z5=60°,由正弦定理得ACABsinBsinZ.ACB所以由正弦定理得ACABsinBsinZ.ACB所以AC=AB*sinBsin/ACB20Xsin600

sin45°=1076，所以海轮航行的速度为与©=半(nmile/min).JUO答案:幸四、解答题(每小题10分，共20分).在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°+a方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角。的正弦值.【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在。处追上蓝方的小艇,则力仁14x,BC=\Qx,/440=120°.根据余弦定理得(14x)2=12?+(IO*)?一240xcos120°,解得x=2.故4C=28,比'=20.nr ac根据正弦定理得示二定所以sin20sin120°5所以sin20sin120°5小a= - =-—2814所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,5、夜角。的正弦值为宣.如图，当甲船位于力处时获悉，在其正东方向相距20nmile的8处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30。，相距10nmile的。处的乙船.|北|北(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离;(2)设乙船沿直线笫方向前往8处救援,其方向与万成〃角，求f(x)=sin""sinx+乎cos2"cosx(x£R)的值域.【解析】(1)如图，连接3。,|北c|北c由余弦定理得BC=AE+AC-2ABXACcosZCAB=700.所以a1=10小，即所求距离为1丽nmile./、EdSin0sinNCABcri,.八百⑵因为-=~nc，所以sin0=a-,Ad dl \lI因为。是锐角，所以cos0=\片，所以f（x）=sin2sinx+~-cos29cosx=,sinx+~~cos sin（x+豆）（xGR）.所以f（x）的值域为一平，明.•素养提升练 2。分钟3（）分.（多选题）（2022•潍坊模拟）甲，乙两楼相距20m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则下列说法正确的有（）A.甲楼的高度为2MmB.甲楼的高度为1项mC.乙楼的高度为第mD.乙楼的高度为1琲m【解析】选AC.如图所示，在RtZU朋中，/月初=60。，BD=20m,所以AD=BDtan60°=2073m,BD,、AB= ^Ao—=40(m)9cosbO在△力夕。中，设AC=BC=x,由余弦定理得：AE=AC+BC—2AC・BC・cos/ACB,即1600=^+^+^,

解得：*=呼，则乙楼的高度为呼m..（能力挑战题）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km4处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）北码头o453'：'、、、'、、、「”4①热带应意中心A.14hB.15hC.16hD.17h【解析】选B.记现在热带风暴中心的位置为点A,th后热带风暴中心到达点6位置，在4以6中，＜24=600km,AB=20tkm,ZOAB=45°,由余弦定理得C!6i=6002+400t2-2X20tX600X斗，令组W4502,g|J412-120^2t+1575^0,解得竺g二更 30^|+15,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为"跳坦3M所以该码头将受到热带风暴影响的时间为"跳坦3M—15 ,、——=15(h)..如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到［处时测得公路北侧一山顶〃在西偏北30°的方向上，行驶600nl后到达月处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°,则此山的高度CD=m.【解析】由题意，在△力比'中，/胡片30°,N48C=180°-75°=105°,故N〃»=45又46=600m,故由正弦定理得.6)。=. ,sin45sin30解得为C=30S\pm.在口△M?中，CD=BC*tan30°=300^2Xg=10琲(m).答案：100^6.如图所示，在一个坡度一定的山坡”1的顶上有一高度为25m的建筑物切，为了测量该

山坡相对于水平地面的坡角夕，在山坡的［处测得/的C=15°,沿山坡前进50m到达6处,又测得N〃%-45°,根据以上数据可得cos0=.【解析】由/%C=15°,NM7=45°,可得/物=135°,NADB=30°.在劭中，根据正弦定理可得BDsin15AB BDBDsin15sinAADB=sinABAD'即sin30°所以劭=100sin15°=100Xsin（45°-30°）CD bd 25=25（乖—木）.在■△BCD中'由正弦定理得sin4DBC=sin/BCD'即sin45°2525（加一弧

sin/BCD,解得sin -1.所以cos0=cos(NBCD-9G)=sin/BCD=小-1.答案：小-1.郑州市某广场有一块不规则的绿地，如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△46G/XABD,经测量49=〃=7米，BC=5米，］。=8米，ZC=ZD.(1)求的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)