离散数学 第六讲new课件

第三章函数§3.1函数一、定义：设:AB上，若对所有的a∈A,均有b∈B,使得ab,而且b是唯一的，这样的就称为AB上的函数，又称映射。记为f:AB上.f的定义域Df=A,f的值域RfB,B称为f的值域包Rf通常记为f(A),则f(A)={b|b∈B,存在a∈A,使f(a)=b}称b是a的像，a是b的像源，a也称自变量1若A本身就是一个笛卡尔积A1×A2×…×An，那么A中元素在函数f作用下的像f((a1,a2,…,an))简写为f(a1,a2,…,an).注：判断一个关系是否是函数，主要看1.像的存在性2.像的唯一性例：书P56例1—32性质：定义在AB上的不同的函数有#B#A种。证明：f={(a1,?),(a2,?),…,(an,?)}?可取B中的任一元素，共有#B种不同的取法.∴共有#B×#B×…×#B=#B#A种不同的取法∴共有#B#A种不同的函数例：书P57例6证明：mn<2m×n,nm<2m×n(m,n为自然数)3二、函数的相等设f:AB上,g:CD上,若①A=C；②B=D；③对任一a∈A,均有f(a)=g(a),则称函数f与g相等。记为f=g三、三种特殊的函数5设f:AB上,若ai≠aj,有f(ai)≠f(aj),则称f是内射；(不允许多对一，像源唯一，#A≤#B)若Rf=B,则称f是满射；(B中每个元素均有像源，#B≤#A)若f既是内射，又是满射，则称f是双射(一一映射)(#A=#B)6例：书P57例7—9四、恒等函数：IA：A上的恒等关系，IA={(a,a)|a∈A},则IA是一个函数，且是一个双射函数，称IA是集合A上的恒等函数。

7§3.2函数的复合一、函数的复合：定义：设f1:AB上,f2:BC上,则f1对f2的复合记为：f2·f1：AC上,f2·f1={(a,c)|a∈A,c∈C,且存在一个b∈B,使

f1(a)=b,f2(b)=c}即:(f2·f1)(a)=f2(f1(a))=f2(b)=c例：书P59例1—38可结合性：f:AB上，g:BC上,h:CD上,则

(h·g)·f=h·(g·f)证明：①h·g:BD,(h·g)·f:ADg·f:AC,h·(g·f):AD②对任意的a∈A,有:((h·g)·f)(a)=(h·g)(f(a))=h(g(f(a)))(h·(g·f))(a)=h((g·f)(a))=h(g(f(a)))∴(h·g)·f=h·(g·f)10定理：(1)若f和g都是内射，则gf也是内射；(2)若f和g都是满射，则gf也是满射；若f和g都是双射，则gf也是双射；证明(1)设ai,aj

∈A,且ai

≠

aj,∵f是内射∴f(ai)≠

f(aj),又∵g是内射∴g(f(ai))≠g(f(aj))因此(gf)(ai)≠(gf)(aj)∴gf是内射12证明(3)∵f和g都是双射，因此它们既是内射，又是满射，由(1)和(2)知：gf既是内射又是满射，

∴gf是双射定理:(1)若gf是内射，则f是内射；(2)若gf是满射，则g是满射；(3)若gf是双射，则f是内射，g是满射。14证明(1)假设f不是内射,则必存在两个元素ai,aj∈A,ai≠aj,而f(ai)=f(aj)=b,则由复合函数的定义知：(gf)(ai)=g(f(ai))=g(b)(gf)(aj)=g(f(aj))=g(b)(gf)(ai)=(gf)(aj),与gf是内射矛盾∴f是内射15证明(2)对于任意的c∈C,

∵gf是满射∴必存在某一a∈A,使得c=(gf)(a)=g(f(a))而f(a)∈B,记b=f(a)∈B,从而有c=g(b)∴对任一c∈C,都存在b∈B,使得g(b)=c

∴g是满射

fg

ABCaf(a)bc16证明(3)∵gf是双射∴gf既是内射，又是满射∴由(1)、(2)可得结论正确。例：P61例6f:AB上，g:BC上,h:CD上,gf和hg都是双射，证明：f、g、h都是双射。证明：gf双射f内射，g满射hg双射g内射，h满射

只需证：f满射，h内射17证明(1)f满射：对任意b∈B

∵g是函数∴有g(b)=c又∵gf是满射∴对于c必存在a∈A，使得gf(a)=c即：gf(a)=g(b)∴g(f(a))=g(b)∵g是内射∴必有f(a)=b∴对任意的b∈B,必有a∈A,使f(a)＝b

∴f是满射fg

ABCabc18作业：P852，P869,10,15P8836习题：判断下列函数哪些是内射、满射、双射？g:R{-1,0,1}-1,x<0g(x)=0,x=01,x>0

20h:RR,h(x)=x2:B(其中B≠):f:IZ2|i|-1,x<0f(i)=2|i|,x≥000-1112(1)满射(2)既不内射，又不满射-23(3)内射(4)双射(5)双射2421#B#A=43=64(2)P43=4×3×2=244个中任取

3个，与A

中的3个元

AB素配对

(3)3!=6

元素1：3种选择元素2：2种选择

AA元素3：1种选择·············23(4)若将B中的2个元素“合并”成1个元素，则可认为是33个元素的双射函数，共有3!种.而4个元素“合并”成3个元素的方法共有C42=6∴共有C42·3！=36BA·········24证明：在B中任取一点b,∵g是BC上函数∴必有c∈C,使g(b)=c.又∵gf是AC上的满射，∴必有a∈A,使gf(a)=c∴g(f(a))=g(b)∵g是内射∴f(a)=b∴对任意b∈B,必有a∈A,使f(a)=b∴f是满射fg