北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》三角形中的几何计算(二)

第五课时三角形中的几何计算（二）一、授课目的：1、会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2、搞清利用解斜三角形可解决的各种应用问题的基本图形和基本等量关系；3、理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方向角等；4、经过解三角形的应用的学习，提高解决实责问题的能力。二、授课重点：实责问题向数学问题的转变及解斜三角形的方法授课难点：实责问题向数学问题转变思路的确定三、授课方法：启示引导式四、授课过程：（一）．复习回顾：1．正弦定理：abcRsinAsinB2sinC2．余弦定理：a2b2c22bccosA,cosAb2c2a22bcb2c2a22cacosB,cosBc2a2b22cac2a2b22abcosC，cosCa2b2c22ab3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有特别广泛的应用，若是我们抽去每个应用题中与生产生活实质所联系的外壳，就裸露出解三角形问题的实质，这就要提高解析问题和解决问题的能力及化实责问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实质中的一些应用（二）、探析模范：例1:某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在

A处获悉后，马上测出该渔船在方向角为

45°、距离

A为

10海里的

C处，并测得渔船正沿方向角为

105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛

B靠拢，我海军舰艇马上以

21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应依照怎样的航向前进

?并求出凑近渔船所用的时间解析：设舰艇从A处凑近渔船所用的时间为ｘｈ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看作是一个已知两边夹角求第三边问题ｘ后，所求舰艇解：设舰艇从A处凑近渔船所用的时间为ｘｈ，则AB＝21ｘ海里，BC＝9ｘ海里，AC＝10海里，∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°，依照余弦定理，可得222AB＝AC＋BC－2AC·BC·cos120°得(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘcos120°，即36ｘ2－9ｘ2×10＝0解得ｘ1＝2，ｘ2＝－5(舍去)312∴AB＝21ｘ＝14，BC＝9ｘ＝6再由余弦定理可得cos∠BAC＝AB2AC2BC2142102620.9286,2ABAC21410∴∠＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′所以舰艇方向角为66°47′，2小时即BAC340分钟答：舰艇应以66°47′的方向角方向航行，凑近渔船则需要40分钟议论：解好此题需明确“方向角”这一看法，方向角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）在利用余弦定理建立方程求出方向角就转变成一个已知三边求角的问题，故依旧利余弦定理例2:以下列图，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值解析：要求四边形OPDC面积的最大值，这第一需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB＝θ作为自变量建立函数关系四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，Ｓ△OPC可用1·OP·OC·sin2θ表示，而等边△PDC的面积重点在于边长求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则经过三角函数知识解决解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：222PC＝OP＋OC－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝112sin＋3(5－4cosθ)24＝2sin(θ－)＋5334∴当θ－＝即θ＝5时，ｙmax536432议论：此题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积供应了可能，可见正、余弦定理不但是解三角形的依照，一般地也是解析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性别的，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应要修业生予以重视（三）．随堂练习：

1．已知

A,B

两地的距离为

10km,B,C

两地的距离为

20km，现测得ABC

120o，则

A,C

两地的距离为（

）

A.

10km

B.

103km

C.

105kmD.107km2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB解：在△ADC中，cosC＝AC2DC2AD272325211,2ACDC27314又0＜C＜180°，∴sinC＝53在△ABC中，ACAB14sinBsinC∴AB＝sinCAC532756.sinB142议论：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要修业生注意正、余弦定理的综合运用2、如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135求BC的长。解：

在△

ABD

中，

设

BD=x

则BA2

BD2

AD2

2BD

AD

cos

BDA即142

x2

102

210x

cos60

整理得

：x210x960解之：x116x26（舍去）由余弦定理：BCBD16sinCDBsinBCD∴BC82sin30sin135（四）．小结：经过本节学习，要求大家在认识解斜三角形知识在实质中的应用的同时，掌握由实责问题向数学问题的转变，并提高解三角形问题及实质应用题的能力(五）、课后作业：课本本节2-1B组2、3补充题：在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，所以在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝

bsinAsinB2bcosC＝bsinA，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinCsinB∴sinBcosC－cosBsinC＝0即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形证法二：依照射影定理，有a＝bco