2023届高考数学练习（湖南）-考点11指数函数与对数函数提高题汇总（解析版）

考点11 指数函数与对数函数提高题汇总一、单选题(共15小题)(x+a)e'+ax,x40TOC\o"1-5"\h\z1.已知函数f(x)=\ ,若函数y=f(x)-ax-b恰有4个零点，则( )x2,x>0A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0 ，/、 (x+a)ex,x<0,【解答】解：(1)令g(x)=f(x)-ax,则g(x);{ ,x,-ax,x>0,则函数y=f(x)-ax-b恰有4个零点等价于方程g(x)=b有4个实数根.A 2当x>0时,g(x)=x2-ax=(x-|-)2-其图象为开口向上、以直线乂成为对称轴的抛物线的一部分，当xWO时，gz(x)=ex(x+a+1),令g'(x)=0,得x=-(a+1).若a>0,则g(x)在(-8,-(a+D)上单调递减，在(-(a+1),0］上单调递增，在(0,方)上单调递减，在(y,80)上单调递增，且g(-a-1)<0,g(0)=a>0,当xf-8时，g(x)-0,故可作出函数g(x)的大致图象，如图1所示，此时若方程g(x)=11有4个实数根，则b<0,故选项B正确；若-IVaWO,则函数g(x)在(-8,-(a+1))上单调递减，在(-(a+1),0］上单调递增，在(0,+8)上单调递增，且g(-a-1)<0,g(0)=a<0,当xf-8时，g(x)fO,故可作出函数g(x)的大致图象，如图2所示，显然此时方程g(x)=13不可能有4个实数根；若a<-1,分析可知函数g(x)在(-8,0］上单调递增，在(0,+8)上单调递增，且g(0)=a<0,x--8时，g(x)—0,故可作出函数g(x)的大致图象，如图3所示，此时显然方程g(x)=1)不可能有4个实数根.综上可知，选项A,C,D不正确，选项B正确，ffll故选：B.【知识点】函数的零点与方程根的关系2.若函数2.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意xCR,都有f(1-x)=f(1+x),且当xG[O,1]时，f(x)=(x)=2'若函数g(x)=f(x)-log.(x+2)(a>0且aWl)在(-1,7)上恰有4个不同的零TOC\o"1-5"\h\z点，则实数a的取值范围是( )A.(0,—)U(7,+8) B.(0,—)U(9,+8)7 7C.(0,4)U(7,+8) D.(0,4)U(9,+8)9 9【解答】解：•・•函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x£[0,1]时，f(x)=2X-1,・••当x£[-l,0]时,-x£[0,1],函数f(x)=-f(-x)=-2x+l,又对任意)(£匕都有f(1-x)=f(1+x),・・・f(x)=f(x+4),即函数f(x)的周期为4,又由函数g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>0且aNl)在(-1,7)上恰有4个不同的零点,得函数y=f(x)与y=loga(x+2)的图象在(-1,7)上有4个不同的交点，f(1)=1,当a>l时，由图1可得logs(5+2)<1,解得a>7；当OVaVl时，由图2可得log,(7+2)>-1,解得0<a<卷.故选：C.图I图I 图2【知识点】函数的零点与方程根的关系3.已知关于x的方程acos[x|+2sin|x|-a+2=0在x£(-2n,2n]有四个不同的实数解，则非零实数a的取值范围为( )A.(- 0)U(2,+8) B.(-°°,0)U(4,+8)C.(0,2) D.(0,4)【解答】解：当x=2九时，原方程可化为2=0,显然不成立；々t=sin|x|,作出在(-2n，2冗]的图象，如图：由图象可得t£[0,1)U(-1,0),t=sin|x|有四个实根.当1=±1时，t=sin|x|有两个实根；当(-8,-1)u(1,+8)时，t=sin|x|无实根；当t=0时，t=sin|x|有三个实根；原方程可化为a(1-t“)+2t-a+2=0,即at2-2t-2=0,令f(t)=at2-2t-2(aWO),

当a<0时，f(t)=at-2t-2的图象为开口向下，对称轴为t=上的抛物线，a由f(0)=-2V0,可得要使原方程有四个不等实根，函数f(t)在(-1,0)有一个零点,只需f(-1)=a+2-2=a>0,即a>0,显然与a<0矛盾；当a>0时，f(t)=at?-2t-2的图象为开口向上，对称轴为t=工的抛物线，a由f(0)=-2<0,f(-1)=a+2-2=a>0,所以存在(-1,0),使得t=sin|x|有四个实根.要使原方程有四个实根，只需f(1)=a-2-2<0,即aV4,所以0VaV4,综上可得，a的范围是(0,4).故选：D.【知识点】函数的零点与方程根的关系4.已知函数f(x)=ex+a,g(x)=|lnx|,若Xi,X2都满足f(x)=g(x),则有( )A.xi*X2^e B.l<xi*X2<eC.0<xi*X2<—D.—<xi*X2<le e【解答】解：函数f(x)=e-x+a,g(x)=|lnx|,若Xi,X2都满足f(x)=g(x),则两函数图象有两个交点，如图：Vf(xi)=g(xi),f(xVf(xi)=g(xi),f(x2)=g(X2),不妨设OVxiVl,x2>L,一'• q・・e*+a=-lnxi*eeBP-1<-ei=InxiX2V0,工VxiX工VxiX2V19故选：D.5.已知函数g(x):<-4x2+8x,5.已知函数g(x):<-4x2+8x,x€(0,2],4x-8,x€(2,Q),f(x)=Ikx-21-g(x)(k>0)在(0,+8)上有3个不同的零点，则k的取值范围是(A.(0,4)A.(0,4)B.(1,+oo)C.(0,1)U(1,+oo)D.(0,1)U(1,4)【解答】解：因为函数f【解答】解：因为函数f(x)=|kx-2|-g(x)在(0,4-oo-2|=g(x)在(0,+8)上有3个不同的实数根.)上有3个不同的零点，所以关于x的方程1kx. 画出函数g(x)的图象，如图.y=|kx-2|的图象恒过点(0,2),且与x轴的交点为((，0).当即k》4时，y=|kx-2|与g(x)的图象在(0,+8)上仅有2个不同的交点,如图.当即l<k<4时，y=|kx-2|与g(x)的图象在(0,Z)上有i个交点，在2k k(p3)上有2个交点，如图.着）上有3个交点，在信-HDO）x）的图象在着）上有3个交点，在信-HDO）x）的图象在（0,+8）上有2个交点，如图.U(1,4).【知识点】函数的零点与方程根的关系px+16.px+16.已知函数f(x)=' 与g(x)=kx+l,2x+2^若函数F(x)=f(x)-g(x)有n个零点xi,x2则F（X：）+F（X2）+-+F（x„）的值为（A.0B.1A.0B.1C.nD.2n’一肝1 p-x【解答】解：函数f(-x)=上 =-^—2'+2"2*+2"

2・2x2,2乂则数f(-x)+f(x)=/一一+=上一=22*+2口2*+2口即f(-x)+f(x)=2,可得f(x)关于(0,1)对称,直线y=kx+l,直线恒过(0,1),/.f(x)与g(x)均关于(0,1)中心对称，可得f(x)+可得f(x)+g(x)=2,且gAg(X|)+g(x2)+…+g(xn)那么f(x)=2-g(x),：.F(Xi)+F(x2)+・・・+F(xn)故选：C.【知识点】函数的零点与方程根的关系(Xl)+g(Xn)=g(X2)+g(Xn-1)=・・・=2,__ri-T=2n-2[g(xi)+g(x2)+…+g(xn)]=2n,当x£[-1,I的取值范围为7.设函数f(x)是定义在R上的周期为,当x£[-1,I的取值范围为0]时，f(x)=x2,若g(x)=f(x)-log.在x£(0,+oo)上有三个零点，则实数w()A.(3,5) B.(2,3) C.(3,6) D.(4,5)【解答】解：:丫(x)-f(-x)=0,：.f(x)为偶函数，又函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且当x£[-1,0]时，f(x)作出函数f(x)的图象如图：Vg(x)=f(x)-log.在x£(0,+8)上有三个零点,Ay=f(x)与y=logaX在x£(0,+°°)上有三个交点，\>1Ioga3<l,解得3Va<5.log5>1a・・・实数a的取值范围是(3,5),故选：A.【知识点】函数的零点与方程根的关系8.已知函数f(x)Ix+8.已知函数f(x)Ix+2|,x<0|log2xI,x>0若方程f(X)=2有四个不同的解Xi,Xz,X3,x&,且XiVx2VX3<X1,则X1+X2X3<X1,则X1+X2+工」的取值范围是( )x3x4A.(-2,+8)B.(-2, C.(0,争D.[-2,"Ix+2I,x40【解答】解：作出f(x)=1. . 、△的图象如图,|log2xI,x70由图象的对称性可知，xi+x由图象的对称性可知，xi+x2=-4,又|10g2X3|=|10g2Xl|,A10g2X3=-10g2Xl,贝lj10g2X3+10g2X4=10g2(X3X4)=0, X3X1=1,乂3勺TOC\o"1-5"\h\zX1+X2+ + =-4+ =-4+x3+xi=-4+x.+ .x4X3X4 x4Vlog2x4e(0,2],.\x4e(1,4],贝ljXi+Xz4^-4^-=-4+x，4^-G(-2,4-3.X3x4 4X4 4故选：B.【知识点】函数的零点与方程根的关系9.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当xe[-1,1]时，f(x)=x2；令g(x)=f(x)-kx-k,若在区间［-1,3］内，方程g(x)=0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是(A.(A.(0,+8)B.(0,y]C.(0.1]D,[1,1【解答】解：(x)满足f(x+1)=-f(x),：.f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),则f(x)是以2为周期的周期函数，当x£［-l,1］时，f(x)=x\由g(x)=f(x)-kx-k=0,得f(x)=kx+k=k(x+1),设y=k(x+1),做出y=f(x)在［-1,3］上的函数图象如图所示:•・•直线y=k(x+1)经过定点(-1,0),且直线y=k(x+1)与y=f(x)的图象有4个交点,.•.OVkw],即实数k的取值范围是(0,1].故选：C.【知识点】函数的零点与方程根的关系sin兀x(-l<x<0)10.已知函数f(x)=<4x2-4x(0<x<1),若h(x)=f10.已知函数f(x)=<-loggxCx^l)值范围是((0,2)(0(0,2)(0,1)(1,2)(-1,2)【解答】解：作出函数y=f(X)的图象,则h(x)的零点即为直线y=a与函数y=f(x)的交点的横坐标,欲使h(x)有5个零点，则-l<a<0,设此五个零点依次为Xi,Xz,X3,Xi,X5,由y=sinnx和y=4x2-4x的对称性可知xi+x2=-1,x3+xi=l,而l<xsV2,因此5个零点之和的取值范围是(1,2).故选：C.【知识点】分段函数的应用、函数的零点与方程根的关系TOC\o"1-5"\h\z'|lnx|,x>0 9 1IL设函数f(x)=4 j，若方程［f(x)］2-af(x)C=0有六个不等的实数根，则实数a可ex(x+l),x<0 16取的值可能是( )9 2- 2-A.— B.—或1 C.1 D.—或23 3 3【解答】解：当x<0时，f(x)=(x+1)ex,则f'(x)=(x+2)ex,当xV-2时，口(x)<0,函数f(x)单调递减，当x>2时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增，故当x=-2时，函数取得极小值f(-2)=-其函数大致图象如图所示:由图象可知，OVf(x)<1时，有3个不同的x与f(x)对应，设t=f(x),则方程［f(x)］2-af(x)+3=0有6个不同的实数根，16所以tJat+±=0在tW(0,1］上有2个不等的实数根,16设g(t)=t2-at+±,16g(0)16,、17*g(l)lo则a21、C，△=a7>0a<1

解可得(，所以a的可取值是多1.故选：B.【知识点】函数的零点与方程根的关系12.已知函数f(x)=，Ilog12.已知函数f(x)=，Ilog2x|,x€(0,

3-x,x€(2,Q)2]若方程f(x)=k有三个实数根xi,xz,x3,则X1X2X3的取值范围是( )(0,2)(0,1)A.(0,2)(0,1)'Ilog9xI,x€(0,2]【解答】解：作出函数f(x)= 2 的图象如图,3-x,x€(2,+℃>)不妨设X]Vx2VX3,则X|£(0,1),X2W(b2),X3e(2,3),由f(X1)=f(x2)>得Ilog2XiI=Ilog2X2I,EP-log2Xi=log2X2>得log2(X1X2)=0,则X1X2=1.；・XiX2X3=X3的取值范围是(2,3),故选：A.【知识点】函数的零点与方程根的关系13.若函数f(x)=ex(ex-m)-mx有两个不同零点，则实数m的取值范围是( )A.(y,-moo)B.(1,+8)C.(f.3)D.(e,+°°)【解答】解：f(x)=e2x-mex-mx,f*(x)=2e2x-mex-m=2e2x-m(ex+l),显然m<0时，f*(x)>0,f(x)在(-8,+oo)上单调递增，f(x)至多只有一个零点,不符合题意；m>0时，y=f'(x)=2e"-mex-m,令t=e",t>0,则y=2t」-mt-m,易知，函数y=f'(x)在(0,+8)上有且仅有一个零点，记为to,设”=/°，则2e2x°-meXQ-m=0①，te(°，％)时，y<0，即x£(-8,Xq)时，f'(x)<0,te(to,+8)时，y>0,即xW(Xo,+8)时，f'(x)>0,Af(x)在(-8,Xo)上单调递减，在(Xo,+°°)上单调递增，又X--8时，f(x)—+oo；X—+8时，f(x)-+OO.Vf(x)有两个不同零点，：•f(x5/f-mx0<O②,2x0 2x0又由①得—③，代入②式得：e°-(eX°+xn)'——<0-BPeX°+2xn-l>0*e°+l e°+l记g(x)=ex+2x-1,g'(x)=ex+2>0,Ag(x)在R上单调递增,又g(0)=0,Xo>O,.••t0=eX°>l>TOC\o"1-5"\h\z.Ze2*。2t°? 2 、・ = = /1•,Xo/t0+l1 1 ，e+1u ——+—Iqt0的取值范围为(1,+8).故选：B.【知识点】函数的零点与方程根的关系14.已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x-2)=f(x),且函数y=f(x+1)为偶函数.当xG［0,1］时，f(x)=2X-1,则方程f(x)-£=0在［-1，2］上的实根之和为( )A.4 B.3 C.2+log23 D.3-log23【解答】解：由f(x-2)=f(x)得，f(x+2)=f(x),则f(x)是周期为2的周期函数，又函数y=f(x+1)为偶函数，•••函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称，二函数y=f(x)的图象关于直线x=l对称，又当xG［0,1］,f(x)=2X-1,作出函数y=f(x)的图象如下图所示，▲.IcI3•・•函数f(x)的图象关于直线x=l对称，二方程f(x)-］=O在［-1，2］上的实根之和为2加上方程f(x)-］=O在［-1，0］上的实根，

又x£[0,1]时，f(x)=2X-1,由对称性可知，当x£[1,2]时,f(x)=22x-1,令x£[-l,0],则x+2£[l,2],故f(x)=f(x+2)=2-1(x£[-l,0]),令2-1号=0,即2磴,解得x=l-log23,二方程f(x)-/=0在[-1，2]上的实根之和为2+1-logz3=3-logz3・故选：D.【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数奇偶性的性质与判断15.已知函数f(x)=x」，若方程f(|2、-l|)+2a・(-_(■1)-3=0有3个不等的实根，则实数a的取x |2X-1|值范围是( )A.(-8,苧)U(竿)C.(-8,-1)【解答】解：令⑵-l|=t,贝Ijf(t)+2a(3+1)-3=0,即tf+2a(1+1)-3=0,亦即/+(2a-3)t+2a+l=0,作出函数|2=作出函数|2=l|=t的图象如下图所示，要使方程f(|2X-l|)+2a・(-~bl)-3=0有3个不等的实根，由图象可知，方程/+(2a|2X-1|-3)t+2a+l=0必有两个解t“t2①当ti=0,t2e(o,1)时，代入可得a=A，t,=4不合题意

2 /+12>°②当ty(0②当ty(0,1),t2^[1»+8)时，依题意，只需满足，,即△=(2a-3)2-4(2a+l)>0‘l+(2a_3)+2a+l<C0r3-2a>02a+l>0 1 1’(2a-3)2-4(2a+l)>0f解得下。0r4a-l<C0故选：B.【知识点】函数的零点与方程根的关系二、填空题(共10小题).已知y=f(x)是奇函数，定义域为［-1,1］,当x>0时，f(x)=|8) -x°|-1(a>0,aEQ),当函数g(x)=f(x)-t有3个零点时，则实数t的取值范围是.【解答】解：当xC(0,1］时，易知函数y吗产11单调递减，且x-0时，y-2,x=l时，y=-^-,又函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数，故函数f(x)的图象如下,要使函数g(x)=f(x)-t有3个零点，只需函数y=f(x)的图象与直线y=t有且仅有3个交点，由图象可知，-y]U{O)U[y»D.故答案为：(-1,-y]U{o}U[1.D.【知识点】函数的零点与方程根的关系.设函数f(x)=|x-a|-2+a,若关于x的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为【解答】解：由方程f(x)=1,得|x-a|+a=?+l有两个不同的解，令h(x)=|x-a|+a,g(x)—+1.X则h(x)=|x-a|+a的顶点(a,a)在y=x上，而y=x与g(x)=4+l的交点坐标为(2,2),(-1,-1),xy=-x+2a联立＜ 9得x"+(1-2a)x+2=0,y=^-+l由4=(1-2a)2-8=0,解得aJ-药反或I卡2加，2 2作出图象，数形结合，要使得|x-a|+a=?+l有两个不同的解，则实数a的取值范围是a，2返或.1+2退或2.2 2故答案为{与返.，髭匹，2).【知识点】函数的零点与方程根的关系18.对于定义域为D的函数f(x),若存在Xi,乂2£。且也#:*2,使得f(xi2)=f(x22)=2f(X1+X2),则称函数f(x)具有性质M,若函数g(x)=|log2x-11,具x£(0,a]有性质M,则实数a的最小值为.【解答】解：设X1VX2,由f(xi2)=f(X22)得，|lox12-1111。gx，-1|,则l-lo\ 故；•X]纭之屋奴乂[2<2,乂22>2),又2f(X1+X2)=|21og2(X[+X2)-2|=|log2(x[+X2)2-2|，log2(xj+x2)2-2=l-log2x1,/X12=-^-，Alog2(x12-t-^-+4)-2=l-log2x12.x2 X1则lo§2(xj4+4xj2+4)=3>xi，+4x12+4=8,X1=7272-2,故X2=7272+2,a>V2V2+2.则实数a的最小值为12a+2.故答案为：V2V2+2.【知识点】函数的零点与方程根的关系19.已知函数f(x)=x|x-a|+3x.若存在a®[-3,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是.

x2+(3-a)x,x>a【解答】解：由题意f(x)= ，且关于X的方程f(x)=3at有三个不相等的实数'-x"+(3+a)x,x<a根，(1)当-3WaW3时，专<a4衅，且与404衅，2 2 2 2可得f(x)在(-8,+8)上是单调递增函数，所以方程f(x)=3at没有三个不相等的实数根，(2)当3<aW4时，2 2可得f(x)在(-8,等)，(a)+8)上是单调递增函数，在(3整，a)单调减增函数,(如图)2当且仅当3a<2at<(a+3)时,方程f(X)=3at没有三个不相等的实数根，可得 )-=心(ad+6)，令g(a)=a」■,aS(3,4],

a可得g(a)在区间(3,4]上单调递增函数，则t<g(4)=至4所以则实数t的取值范围是(1,黑).48故答案为(1,笑).48'|x|,x<m20.'|x|,x<m20.已知函数f(x)=.x4-2mx+4m,的取值范围是—;若存在实数b,【知识点】函数的零点与方程根的关系,其中m>0.若f(x)在区间(0,+8)上单调递增，则mx〉m使得关于X的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是fixI,x^m【解答】解：当m>0时，函数f(x)={ 的图象的大致形状如图,x"-21nx+4m,x〉m要使f(x)在区间(0,+8)上单调递增，贝解得0《m《3,又m>0, 则m的取值范围是(0,3]；要使关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则4m-m,Vm,即—>3111(m>0),解得m>3,则m的取值范围是(3,+°°).故答案为：(0,3]；(3,+8).【知识点】函数的零点与方程根的关系.函数y=a"z+3(a>0且a#l)的图象恒过定点.【解答】解：根据题意，数y=a?…+3中，令2x-2=0,解可得x=l,此时f(1)=a2-2+3=4,即函数的图象恒过定点(1,4),故答案为：(1,4).【知识点】指数函数的图象与性质.已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且f(x+l)=f(x-1),当xC[0,1]时，f(x)=x\则关于X的方程f(x)=|cosnxl在[-/,趣■]上所有实数解之和为.【解答】解：因为f(x+1)=f(x-1),则f(x+2)=f(x),所以f(x)的最小正周期为2,当xC[-1,0]时，-xG[0,1],贝！If(-x)=(-x)=-x3=f(x),则f(x)=-x\x€[-1,0],又由f(x+2)=f(-x)得f(x)的图象关于x=l对称，y=IcosJtx)的图象也关于x=l对称，

作出函数y=f(x)和y=|cos”x|在［上图象如图：由图象可得，y=f(x)和y=|cosnx|在"l"］上有7个交点,取x=l外，两两关于x=l对称，则所有实数解的和为2X3+1=7,故答案为：7.【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系23.已知函数f(x)=<若关于x的方程f2(x)+3af(x)+a2-5=0有923.已知函数f(x)=<实数根，则实数a的取值范围是【解答】解：首先将f(x)整理，去绝对值符号，可得ln(-x-l),x<-2-ln(-x-l),-2<x<T,作,作f(x)的图象如下,关于x的方程f2(x)+3af(x)+a2-5=0有9个不相等的实数根，令f(x)=t,则g(t)=t2+3at+aJ-5=0,由△=9a-'-4(a2-5)=20+5a2>0,可得方程g(t)=0有两个不等实根，设为t1，t2,由图可知，要满足题意，则需OVtiVl,t2>l,或t2=0,若0Vt】Vl,t2>l时，则g(0)>0,g(1)<0,即a2-5>0,且a2+3a-4V0,解得-4VaV-V5；若OVtVl,t2=0时，则g(0)=0,g(1)>0,即a2-5=0,且a2+3a-4>0,解得a=V5；综上可得，a的取值范围是｛a|-4VaV-遥或a=&｝.故答案为：｛a|-4VaV-&或2=遍｝.

【知识点】函数的零点与方程根的关系24.已知函数f(x)=⑷-3|+2,若函数g(x)=［f(x) -2mf(x)+n?-1有4个零点，则m的取值范围是.【解答】解：g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0,即[f(x)-(m+1)][f(x)-(m-1)]=0,解得f(x)=m-l或f(x)=m+l.由f(x)的图象，可得，2<1-Hn<5可得，2<1-Hn<5,解得3<mV4,即m的取值范围是(3,4).故答案为：(3,4).【知识点】函数的零点与方程根的关系25.设f(x)是定义域在R上的偶函数，对VxGR,都有f(1-x)=f(1+x),且当xG［-1,0］时，f(x)=(《)x-l,若在区间［-1,3］内关于x的方程f(x)-a(x-1)2=0有4个不同的实数根，则实数2a的取值范围是.【解答】解：由f(1-x)=f(1+x),得f(-x)=f(2+x),又f(x)是定义域在R上的偶函数，，f(2+x)=f(-x)=f(x),可得f(x)是周期为2的周期函数.•.,当xG［-1,0］时，f(x)=(―) 1,2...作出函数f(x)在区间［-1,3］内的图象如图,方程f(x)-a(x-1)2=0有4个不同的实数根，即y=f(x)与y=a(x-1)’的图象在区间［-1,3］内有4个不同交点.当y=a(x-1),过(3,1)时，解得a=—,4又随着a的减小抛物线y=a(x-1)?的开口变大，可得若在区间［-1,3］内关于x的方程f(x)-a(x-1)2=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是(0,1］.故答案为：(0,-y］.【知识点】函数的零点与方程根的关系三、解答题(共10小题).已知函数g(x)=lg(Jv2.-x)若g(x)是定义在R上的奇函数.VXTa(1)求a的值；(2)判断函数的单调性，并给出证明，若g(bx2+2)>g(2x+l)在［2,3］上有解，求实数b的取值范围；(3)若函数f(X)=1-2|x-y|,判断函数y=f［f(x)］-g(-X)在区间［0,1］上的零点个数，并说明理由.【解答】解：(1)Vg(x)=lg(Jv2.-x)是定义在R上的奇函数，VX'a.*.g(0)=lg(Va)=0，即a=l,当a=l时，验证可知g(x)=lg(爪2+］-x)是定义在R上的奇函数，

故a=l；(2)函数g(x)=lg(爪2+1-x)在R上单调递减.证明如下：令u(x)=4乂2n-x,设X2>xi,则u(x2)-u(x1)=^22+1-x2-JxJ+l+x12_2.,.u(x2.,.u(x2)<u(XI),即u(x)为R上的减函数,又又y=lgu为定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，函数g(x)=lg<7x^+1-x)在R上单调递减.由g(bx2+2)>g(2x+l)在［2,3］上有解，得bx2+2<2x+l,bx2<2x-1,也就是3］上有解，xx2令》t,贝Ute号，-1］,求得(2t-t?)111ax=总，贝！Ib<-y；4(3)g(3)g(-x)=lg(^x2+|+x),1<X1<X<14 22-4x,当xe[0,1]时，f(f(x))='4x-2,f7<x<1

2 3Vf(f(0))=g(0)=0,f(f(—))=1,而g(-4)=lg2<l,4 4如图，函数y=f[f(x)]-g(-x)在区间[0,1]上有4个零点.【知识点】函数单调性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系.已知函数f(x)—logi(4X+1)+kx与g(x)=lo(a ，其中f(x)是偶函数.(I)求实数k的值：(II)求函数g(x)的定义域；(III)若函数F(x)=f(x)-g(x)只有一个零点，求实数a的取值范围.【解答】解：(I)Vf(x)是偶函数，(x)=f(-x),log4(4x+l)+kx=log4(4x+l)-kx-4X+1 4X(4X+1)••log4^z-^-=-2kx---log4―+~~=x=-2kx，4「+l 4X+1即(2k+l)x=0对一切XWR恒成立,(II)要使函数g(x)有意义，需当a>0时，2x>4-解得X>log总3 43当a<0时,2X<p解得*<—2母，综上可知，当a>0时，g(x)的定义域为(log芸，XA),(HI)VF(x)=f(x)-g(x)=1口84(441)-"1。8•2*冬)只有一个零点，当aVO当aVO时，g(x)的定义域为(-8,lo二方程logqg4(a・2'-Ja)有且只有一个实根，即力程1。84fDXogd/+lo§4^a*2x—^a)=log4a*2x(2X—y)有且只有一个实o o根，亦即方程(2*)2+l=a(2x)2-粤-2X有且只有一个实根，令t=2*(t>0),则方程(a-1)t2号t-l=0有且只有一个正根，①当a=l时，t=3,不合题意；②当a#l时，因为。不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根.Q由△=()有a=4•或-3若a=|，则t=-2不合题意，舍去;若a=-3,则满足条件，若方程有两根异号，则二<0,...aAl,综上所述，实数a的取值范围是{-3}U(1,+8).【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数奇偶性的性质与判断.已知函数f(x)=x2-2ax+9.(I)当a《0时，设g(x)=f(2*),证明：函数g(x)在R上单调递增；(II)若VxG[l,2],f(2*)W0成立，求实数a的取值范围：(III)若函数f(x)在(-3,9)有两个零点，求实数a的取值范围.【解答】证明：(I)g(x)=f(2X)=4S-2a«2x+9,设Xz>XiGR,则g(x2)-g(xi)=4,2-2a・2“2+9-(4%-2a・2”：+9)X〉X.zX,X,、 , X,、/XcX,、 ，Xcx.s=42-42a(22-2】)=(22-2】)(22+21)-2a(22-2J)=(22-2J)[(22+2])-2a]，•.•函数y=2*在R上单调递增，二2町〉2%，即2~-2%>0，又(2叼+2。)>0,a<0.A(2町+2〜)-2a>0，(2X2-2X1)[(2X2+2X1)-2a]>0«得g(x2)>g(Xi),...函数g(x)在R上单调递增；解：(II)设t=2*(l<x<2),则2<tV4,f(2D《0成立，即对任意2VtV4,都有t2-2at+9《0成立，即2aAt—,令h(t)=tT，由对勾函数的单调性，可得h(t)在(2,3)单调递减，在(3,4)单调递增,又h(2)=~^*，h(4)=~^''•小(t)最大值为贝!12a,即a)；,实数a的取值范围为[券，+8)；•.•函数f(x)在(-3,9)有两个零点且对称轴为x=a,'-3<a<94a2-36>0•••'q/c、、c，解得3<a<5.f(-3)>0f(9)>0故实数a的取值范围为(3,5).【知识点】函数的零点与方程根的关系、二次函数的性质与图象29.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当xG[25,1600]时，①f(x)是增函数；②f(x)W90恒成立：③f(x)成立.(1)现有两个奖励函数模型：(I)f(x)=-^x+10；(II)f(x)=2垢-6.试分析这两个函数模型15是否符合公司要求？(2)已知函数f(x)=aV^-10(a22)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.【解答】解：(1)对于函数(I).Vf(30)=12>6,即函数(I)不符合条件③，.••函数f(x)=±x+10不符合公司奖励方案函数模型的要求；对于函数(H),当xG[25,1600]时，f(x)是增函数，且f(x)„x=f(1600)=2X40-6=74<90,：.f(x)<90恒成立.设h(x)=2V^-6*=】G/^-5)2-1，D0v^e[5,40],.,.当4=5时，h(x)s=-IWO,得f(x)《尚■恒成立.5...函数(II)f(x)=2«-6符合公司要求.

（2）•；a22,.•.函数g（x）满足条件①，由函数g（X）满足条件②得：aV1600-10<90,解得a</由函数g（x）满足条件③得，■对xe［25,1600］恒成立,即❷对xG［25,1600］恒成立，一5Vx•.•£提）2后，当且仅当五芈，即x=50时等号成立,54 5«:.a<2V2.综上所述，实数a的取值范围是［2,【知识点】根据实际问题选择函数类型30.根据市场调查，位于阳逻开发区的大明金属新产品投放市场的30天内，每件产品的销售价格P（单位:元）与时间t（单位：天）的关系如图，日销量Q（单位：件）与时间t之间的关系如表所示.t/天5152030Q/件35252010（1）根据图示写出该产品每件的销售价格P与时间t的函数解析式.（2）在所给的平面直角坐标系（如图）中，根据表中提供的数据描出实数对（t,Q）的对应点，并确定日销量Q与时间t的一个函数解析式.（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销售金额=每件产品的销售价格X日销量）5IOI52O253O354O5IOI52O253O354OU天\+30\+30,0<t<20,50,20Vt<50,t€N'【解答】解：（1）根据题图知每件产品的销售价格P与时间t的函数解析式为P=<（2）描出实数对（t,Q）的对应点如图所示.

40JS•40JS•O5io"202$)03sst/k从图中可以发现，点(5,35),(15,25),(20,20),(30,10)可能在同一条直线上,设它们所在直线1的解析式为Q=kt+b(k,b为常数).将点(5,35),(30,10)代入方程,得(35=5k+b,解得(k=-l,I10=3Ok+blb=40所以Q=-t+40.经检验，点(15,25),(20,20)也满足上式.因此日销量Q与时间t的一个函数解析式为Q=-t+40(0<t,30,tCN*),(3)设日销售金额为y(单位：元)，则(t+30)(-t+40)<0<t<20,t€N*7(3)设日销售金额为y(单位：元)，则Rn|-t2+10t+1200,0<t<20,t€h即y=< ,-50t+2000,20<t<30,t€N当0<t<20时，y„=1225,此时t=5；当20<t<30时，y<1000.所以在这30天内，第5天的日销售金额最大.【知识点】根据实际问题选择函数类型.某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a(0<a《4,adR)亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x(天)的变化的函数关系式近似为丫=窄1，其中f学、0<x<2,x€R(x)=<3-x ,若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次7-x,2<x<7,x€R投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.(1)若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；(2)政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%,试求m的最小值.【解答】解：(1)依题意，a=2,y=*1,5要使y》o.4,则f(x)22.当0<x<2时，芭区>2，得l〈x<2；3-x当2VxW7时，7-x22,得2VxW5.

.二1«5,即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；(2)设再次投放m亿元消费券x天,mil -7-(x+4)-3-x -m3+xnvy?贝以一^-丁丫2丁字7082‘出. 3-xm3+x、八A由丫产2口-不・有24,得m》2(x-l)(3r),3+x令t=3+x,tG[3,5],t£N*,则^2(x-l)(3-x),2(t-4)(6-t)=-2(t+24_10),3+x t t而-2(t--10)<-2(2^t-^-10)=20-8灰，当且仅当t咛，即t=2正，即x=23时，上式等号成立,.•.m的最小值为20-876.【知识点】根据实际问题选择函数类型、分段函数的应用.“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的局度f(x)(单位：米)与生长年限x(单位：年)满足关系f(x)=^――T—(x20).1+3k"b树木栽种时的高度为2■米；1年后，树木的高度达到冬•米.2 28(1)求f(X)的解析式；(2)问从种植起，第几年树木生长最快？【解答】解:(1)f(x)【解答】解:(1)f(x)=41由题意，f(0)=5，f(1)=矣，2 28T_n2l+3b得］41 41，解得k=7,b=4.28-1+3k4b•e-f(x)=-411+34-x•e-f(x)=-411+34-x(x20)；(2)设g(x)为第x+1年内树木生长的高度,则g(x)=f(x+1)-则g(x)=f(x+1)-f(x)1+33^-i+34-x-(1+33^)(1+34-x)令3-=u(0VuW27),则h(u)=7--管0、=~—=——.(14u)(l+3u)3u2+4u+13ud+4uTOC\o"1-5"\h\z令e(u)=3uJ，则巾(u)在(o,返)上单调递减，在(返，27)上单调递增,

u 3 3.•.当U=YQ时，巾(U)有最小值，得h(u)有最大值，3-L 7由33r=32,得X=],又xGN,故x的值可能为3或4,41 4.1又g(3)=—,g(4)=—,g(3)=g(4),4 4因此，从种植起，第4年或第5年树木生长最快.【知识点】根据实际问题选择函数类型33.新冠肺炎疫情的发生促进「医药科研的发展.某医药研究所研发了一种治疗新冠肺炎的新药，经临床试验,该药物在病人血液中的含量不低于2克时,它才能起到有效的治疗作用，且每服用且mGR)(小时)变化的函数关系式近似为y=mf(x),个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(小时)变化的函数关系式近似为y=mf(x),其中f(x)10其中f(x)10

4+x0<x<66<x<8(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时?(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，在有效治疗时间末端再服用m个单位的药剂.要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，求m的最小值.衿0<x<6【解答】解：⑴【解答】解：⑴Vm=3,/.y=3f(x)=<12" >6<x<8当0Wx<6时，-^->~^-=3>2,x+44+6当6《x<8时，由12—*x>2，解得乙 O...一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达晋小时;

(2)当第一次服用2个单位的药剂时，y(2)当第一次服用2个单位的药剂时，y=<普。<x<6

8-x,6<x<8此时，20>20x+46+4=2>8-xW8-6=2,.•.有效治疗时间末端为第6小时结束.•••在有效治疗时间末端再服用m个单位的药剂，.•.6《x《8,x+10mx-2‘Y x+10mx-2‘Ay=2X(4^-)+mX—产、=82' 4+(x-6)2.•.87+耍22对*6[6,8]恒成立，则m》-—8x+12对xe[6,8]恒成立,x-2 10...mN，J-8x+1210...mN，J-8x+1210)同且短［6,8],.