2023届安徽省“皖南八校”高三上学期开学考试数学试题（含解析）

2023届“皖南八校”高三开学考试数学考生注意：.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。.本卷命题范围：孟」一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合M={»|y=2"）,N={y\y=/1—如},则MC|N=A.{x|0<Cj7<C1} B.{/10V/41)C./〈I}D.{11n>0}2.若之（l+2i）=2—i（i为虚数单位），则复数z=A.-i B.iC.1D.-13.已知向量。=（-2,加），。=（1,一2）,若。_£人则m的值为A.1 B.-1C.2D.-24.若。=0.7ll,1,6=logo50.7,c=logo,75，则A.b<Za<Zc B.a<Zb<ZcC.c<a<bD.c〈b〈a5.某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是频率A.该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间（25,30］内的最少B.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16C.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14D.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456.已知等差数列储“）的前”项和为S“，且出+恁=-10，段=-42,则Slo=A.6 B.10 C.12 D.20."〃?=一1”是“直线Z,g+2y+l=0与直线Z2：yx+/n>4-j=0平行”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件.若曲线y=ln工+三的一条切线的斜率为3,则该切线的方程可能为A.3彳一）-1=0 B.3x-y+l=0C. -2=0 D.3]—»—1—In2=0.函数/（z）=ian（2z—半）的图象的一个对称中心为a•（壶。） b.传,0）c.（-湖） ••（_nt0）.如图，在正方体ABCD-A出CQ中，AB=2,P为Cg的中点，点Q在四边形DCgd内（包括边界）运动，若AQ〃平面AiBP,则AQ的最小值为A.1 B.挈TOC\o"1-5"\h\zC.疗 D.y/7.已知点M在抛物线上,若以点M为圆心半径为5的圆与抛物线C的准线相切，且与了轴相交的弦长为6,则p=A.2 B.8 C.2或8 D.6.已知函数y=/（r+l）的图象关于直线Z=-3对称，且对VzCR都有"工）+/（一工）=2.当xE（0,2]Bt，/（x）=x+2.则f（2022）=A.-1 B.1 C.2 D.-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.卜一5）’的展开式中的常数项为已知OVaV^sina=-^-,tan（a-?）=一：,则tanR=已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3,高为2,若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为已知双曲线C哥一当=1的右焦点为耳，过点F2斜率为4的直线/与双曲线C的右支交于A,B两点，点P（-2痣,0）,若AABP的外心Q的横坐标为0,则直线/的方程为三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（10分）已知数列｛a"｝满足©=l,a“+i=3a“（”eN"）.（1）求｛a“｝的通项公式；TOC\o"1-5"\h\z„1 1 I 3（2）证明：1 •••H ＜丁・的a2 an L（12分）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a/,c,满足；=竿&11b73sinB（1）求角A；（2）若0+c=2a,且△ABC外接圆的直径为2,求△ABC的面积.（12分）产品的质量是一个企业在市场中获得消费者信赖的重要因素，某企业对出厂的每批次产品都进行性能测试.某检验员在某批次的产品中抽取5个产品进行性能测试，现有甲、乙两种不同的测试方案，每个产品随机选择其中的一种进行测试,已知选择甲方案测试合格的概率为［，选择乙方案测试合格的概率为,，且每次测试的结果互不影响.（D若3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案.（i）求5个产品全部测试合格的概率；（ii）求4个产品测试合格的概率.（2）若测试合格的产品个数的期望不小于3,求选择甲方案进行测试的产品个数.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中,48_1_8(1*8=8。=2,/<4=?8=「。=2原",()为4。的中点.(1)证明：ACJ_平面PBO；(2)若M为棱BC的中点，求二面角M-PA-C的正弦值.(12分)已知椭圆M，+/=l(a>6>0)的左、右焦点为B，B，且左焦点坐标为(一笈,o),P为椭圆上的一个动点，NFiPFz的最大值为毋.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若过点(—2,—4)的直线/与椭圆M交于A,B两点，点N(2,0),记直线NA的斜率为跖，直线NB的斜率为七，证明：J+；=LM々2(12分)已知函数f(x)=-ax~+zlnx-/.(1)若f(z)有两个极值点，求实数。的取值范围；(2)当a=0时，求函数/[(/)=/(/)—1+2的零点个数.

2023届“皖南八校”高三开学考试-数学

参考答案、解析及评分细则B因为M={y|y=2"}=(O,+8),N={y|y=M}=［0,□•所以“0.、=(0,口，故选B.A因为“l+2i)=2—i,所以z=需=J12二黑;二/=一等=_i.故选A.B由即可知•b=-2—2〃?=0,解得〃?=—1.故选B.Dc=log...75Vbgo.55Vlogo_5。.7=Y1,a=0.7一凡5>i,故a>b>c,故选D.C频率分布直方图中，最低小矩形所在的区间为(20.251，故选项A错误.由频率分布直方图可得•前三个小矩形的面积之和为(0.02+0.04+0.047)X5=0.535>0.5,所以估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15,故选项B错误；由频率分布直方图可得.1=0.02X5X2.5+0.04X5X7.5+0.047X5X12.5+0.06X5X17.5+0.013X5X22.5+0.02X5X27.5=14.15>14,故选项C正确；由频率分布直方图可得,该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为(0.06+0.013+0.02)X5=0.465,故选项D错误.故选C.6.B由题意，设数列公差为乩因为由十痣=25+6d=-10,S6=6%+15d=-42,解得幻=-17,4=4,所以S10=10«1+45d=-170+45X4=10•故选B.A因为"?=-1.所以直线八：—z+2y+l=0♦直线Z2:十1一》++=0・/|与上平行•故充分条件成立；当宜线2rm*+2y+l=0与直线小齐+初二十,=。平行时，川=1，解得m=l或加=一1,当m=l时，直线Zi：i+2y+l=0与直线Z2：x+2^+1=O重合，当〃?=一1时•直线h：1一2y一1=0•直线Z2：j—2j»+l=0平行，故充要条件成立.故选A.C设切线的切点坐标为(io,y»),丁=lni+M,y'=5+2i,y'II”=^~+2箝)=3,解得］ ，或［ •所以切点坐标为(1,1)或(J-・ln ,卜=心++”=1所求的切线方程为3Z一^-2=0或3N—y一等一In2=0.故选C.D由21一长=竽收Z,可得L竽+专/GZ当氏=0时,1=(,当员=1时，］=手+1~=卷，当仁一】时,工=一孑+于=一佥,所以(一盍,0)为/(z)图象的一个对称中心，故选D.B取DR.DC的中点分别为M・N•连接AM.MN.AN,则易证明AM//BP.因为AM<t平面A13P.3PU平面AMP.所以AM〃平面A》P,又因为A}B//MN,MNU平面A,BP,A,BU平面A,BP,所以MN〃平面A,BP,MNPlAM=M,所以平面A|BP〃平面AMN,AQU平面AMN,所以AQ〃平面A］P,当AQ_LMN时,AQ有最小值•则易求出AM=ANf、MN=&,Q为MN的中

点.AQ=Ja.M-(等2=挈.所以AQ的最小值为挈.故选B.C设M(，因为点M在抛物线C：，=20.r上，所以”2=2切”.以点M为圆心的圆与C的准线相切•所以，”+套=5,圆M与丁轴相交的弦长为6,所以+"2=5、所以02—10/>+16=0.解得力=2或0=8.故选C.D\•函数丫=/(工+1)的图关于直线工=-3对称.二函数了=八1)的图关于直线，=-2对称.**/(-2H-J-)=/(—2~-r).・•对V/WR有/(x)+/(-x)=2,工函数了=/(工)的图象关于(0,1)中心对称.•・/(-2+7+2)=/[-2一(i+2)【•即/(z)=f(一4一1)=2一/(一1).又・・"(一4一1)+八1+4)=2,即八一4一])=2—/(1+4)././(x+4)=/(-x),・・/[(/+4)+4]=/[—(/+4才=/(才)，即f(z+8)=/(/),•・/(“)的周期T=8,.*./(2022)=/(252X8+6)=/(6)=/(2+4)=/(-2)=2-/(2)=2-(2+2)=-2.13.6 (7一5)’的通项为a=CX1r(-y)r=Q・(-1)’,才『令4-2「=0.得r=2,所以常数项为「=Q•(-1)2=&.苧 因为0<a<C-^-,sina="^~，所以cosa=x/\-sin2a=Jl-/=1・y L □ V25 5所以tana=:=年・因为tan(a—)3)=--与所以tan8=tan[a-(a~fl)]=lana-lan(a—8)所以tan8=tan[a-(a~fl)]=.也如图所示，该四棱锥为P-A3CD,底面中心为。・外接球球心为O.设(X),=d.由题意OA=OP,即6=<+2,解得d=春，因为△跳、是等腰三角形,BC=3,BC边上的高为".所以S3=早，设点O到平面PBC的距离为〃，则三棱锥O-PBC的体积为［"Sapbc•〃=♦()P.即9XA="1"X(■|■+2),解得/i=7^..成，一y—3V=0或企，+y—3代=0设直线/的方程为y=6(1—3),|y=A(才-3).联立方程组 得(2工- 公”+18£2+6=0,1/—2/=6,

TOC\o"1-5"\h\z因为0＜人＜".所以一+＜人一会(浮所以八一备=9所以人=■1•. 6分0 0 0 oo o(2)设△人3C的外接圆半径为R,则R=l.u=2RsinA=x/3,由余弦定理得♦・从+1一2儿cosy=—一3枕,即3=12—3加.所以6=3, 8分所以△人BC的面积为S=}/“sinA=乎. 10分19.(1)(i)因为3个产品选择甲方案.2个产品选择乙方案.所以5个产品全部测试合格的概率为/〉=(；)\(:)2=1%： 2分(II)4个产品测试合格分两种情况.第一种情况，3个产品甲方案测试合格和1个产品乙方案测试合格.此时概率为/。=(十)XC；X等X(1—*)=9； 4分第二种情况,2个产品甲方案测试合格和2个产品乙方案测试合格.此时概率为A=c；x(9'x(i_/)x仔)=备.所以4个产品测试合格的概率为R+/"得+备=爵 6分(2)设选择甲方案测试的产品个数为"("=0.1.2.3.4.5),则选择乙方案测试的产品个数为5—”.并设通过甲方案测试合格的产品个数为X.通过乙方案测淡合格的产品个数为Y.当”=0时.此时所有产品均选择方案乙测试.则丫〜8(5.予)，所以E(X+Y)=E(y)=5X~^-=竽＞3,符合题意； 8分当"=5时.此时所有产品均选择方案甲测试.则X-B(5.y).所以E(X+Y)=E(X)=5X^=5＜3,不符合题意； 10分当»=1.2.3.4时.X〜B("fy〜B(5—"仔).所以E(X4-y)=E(X)4-E(y)=yH+3(5j-M)=—若使.E(X+y)=15j”＞3.解得"43.则”=1.2,3综上.选择甲方案测试的产品个数为0.1.2.3时.测试合格的产品个数的期望不小于3. 12分(1)证明：VPA=PC.O为AC的中点，:PO_LAC.•：AB=IiC.()^jACW)^,^,,：.AC±()B. 2 分"P()±AC.AC±013.()13^^0=0.013.1^)^^^PHO..../ICI平面IJBO. 4 分(2)解：•・•人31.3(1,八8=改：=2"，八=/4=。(?=磁。为八。的中点,人C=26.a：.BO=y/2・PO=y/6：.PCP+OB2=PB2,：.P()±()B.又,：ACA_OB.ACr\PO=O.AC.P(KZ平面PAC.图1方法一：如图2.作于点E.；.E为OC的中点.作EF±PA交/M于点F.连接MF.方法二：分别以为工轴、>轴、工轴建立空间直角坐标系.如图3.易知二面角」"-/,人力的平面角为锐角记为6.烟（9=|eos<n./n>|=। =^I=方法一：如图2.作于点E.；.E为OC的中点.作EF±PA交/M于点F.连接MF.方法二：分别以为工轴、>轴、工轴建立空间直角坐标系.如图3.易知二面角」"-/,人力的平面角为锐角记为6.烟（9=|eos<n./n>|=। =^I=3^.sin8=21.⑴解：由题意可知r=—.当点P在上、下顶点时./居/叩2最大,则6=，=々.（2）证明：设直线/的方程为，，“工一2）+”=1.似40）.BF»）.联立直线I的方程与椭圆方程.得C•-2*+2/=—4（X—2）［〃心―2）+”［，因为直线/过定点（-2,-4）,所以,"+"一十,代人*+,•22.（1）解：/（公的定义域为1一2g••由题意得/（x）=O在（0・+8）上有两解.即In 2ai=O•即2a=有两解.・・・O3_L平面PAC.・・・MFJJ,八，工/MFE即为所求二面角M-PA-C的平面角・cosNMFE=^=WMsinNMFE=Jl-(^)由公="+/得公=4•所以椭圆m的标准方程为4+成=14 4由椭圆M的方程［2+2丁=.1.得（工一2户+2；/=—43—2）.即(1+4/h)(j—2)2+4h(j,-2)y+2y'=0.(1+4wi)(~~)+4”(1.?)+2=0,「皖八”高三开学•数学试卷参考答案第5页（共6页）】「ME，ef=^ae=272x4x2 4 2 4, ✓KATT_ME y.・・tan/M卜E=py=XM(亨岑,o)..•.涵=(率挈.o)内=(o.M.-的)记"=C、y.z）为平面AMP的法向量.则n-9=0即a-7v0=o[―x+—2 2平面APC的法向//〃=(1・0・0).所以4+：=卫二十卫二^岛3M 丫24〃1+4，〃4〃_1+4，〃_1+4/〃=1+4/〃=-z=1•则jc=3伍.y=一瓜・〃=(3伍・一依.1).,4Q：.・・・O3_L平面PAC.♦・方法一：如图2,作ME_LAC・・・O3_L平面PAC.♦・方法一：如图2,作ME_LAC于点E,・・・E为()C的中点,作EF±PA交PA于点F・连接MF.:.MF_LPA,：.^MFE即为所求二面角M-PA-C的平面角.■:ME平面APC的法向量易知二面角M-PA-C的平面角为锐角记为。，cos8=方法二:分别以OB,OC,OP为彳轴、夕轴门轴建立空间直角坐标系，如图3(1)解：由题意可知当点P在上、下顶点时，NBPFz最大•则方=c=7f,由a?=〃+「2得/=4,所以椭圆M的标准方程为亍+卞=1. 4分(2)证明：设直线Z的方程为"?(了-2)一”=1,A(力，y।),B(X2»j2)，由椭圆M的方程彳2+2*2=4•得（z—2）2+2;/=-4（/—2）, 6分联立直线/的方程与椭圆方程，得(1-2)2+2/=一4(1-2)[>(1—2)+”：|,即（1+4〃?）即（1+4〃?）（X—2¥+4〃（彳一2）》+2/=0,（1+4〃/）+2=0, 8分 9分4% 9分因为直线/过定点(一2,—4)•所以j*i-2j*i-2.X2-2 r_JZL_=1±1