2023北京版数学高考第二轮复习-3导数及其应用

2023北京版数学高考第二轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算

五年高考考点导数的概念及运算.（2021新高考1,7,5分，综合性）若过点（a,b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（）A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea答案D.（2022新高考I,15,5分，综合性）若曲线y=（x+a）e*有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是•答案（-8,-4）U（0,+oo）.（2022新高考11,14,5分，基础性）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案yWx;y=-%（不分先后）.（2020课标III文,15,5分，综合性）设函数f（x）=总若f'（1）=a则a=.答案1.（2021全国甲理.13,5分，综合性）曲线丫=筌在点（-1,-3）处的切线方程为.答案y=5x+2.（2019课标I,文13,理13,5分，综合性）曲线y=3（x2+x）e，在点（0,0）处的切线方程为.答案y=3x.（2020课标I文,15,5分，综合性）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.答案y=2x8.(2021新高考11,16,5分，综合性)已知函数f(x)=|eX-l|,xi<0,X2>0,函数f(x)的图象在点A(xi,f(x。)和点B(X2,f(X2))处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则需的取值范围是|o/V| 答案(0,1)9.(2017北京，理19,文20,13分，综合性)已知函数f(x)=excosx-x.⑴求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程：⑵求函数f(x)在区间［0,3上的最大值和最小值.解析⑴因为f(x)=e*cosx-x,所以f，(x)=e，(cosx-sinx)-l,f'(0)=0.又因为f(O)=l,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=l.⑵设h(x)=e*(cosx-sinx)-l,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x£(0《)时,h，(x)<0,所以h(x)在区间［0,同上单调递减.所以对任意x£(0,3有h(x)<h(O)=O,gpf'(x)<0.所以函数f(x)在区间［01］上单调递减.因此f(x)在区间［0身上的最大值为f(0)=l.最小值为f(乡=-=.数解后反思本题并不难,比一般意义上的压轴题要简单很多，第(2)问比较有特点的是需要二次求导，因为通过f<x)不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导，设h(x)=f<x),再求h，(x),这时可求得函数h〈x)的零点，或是h，(x)>0(h，(x)<0)恒成立，从而得函数h(x)的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断y=f(x)的单调性，最后求得结果.10.(2013北京理,18,13分，综合性)设L为曲线C:y=¥在点(1,0)处的切线.⑴求L的方程；⑵证明:除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方.解析⑴设心)=竽则L(x)工普.所以f'(1)=1.所以L的方程为y=x-l.⑵令g(x)=x-l-f(x),则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>O(Vx>O,xWl).g(x)满足g(l)=O,且g1(x)=l-f[(x)="：?nx.当(Xx<l0^,x2-l<O,lnx<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;当x>l时,x2-l>0,lnx>0,所以g<x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g⑴=0(Vx>O,xHl).所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.11.(2013北京文,18,13分,综合性)已知函数他)=*2^11x+cosx.⑴若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值；(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围.解析由f(x)=x2+xsinx+cosx彳导f'(x)=x-(2+cosx).⑴因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，所以f'(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a).解得a=O,b=f(O)=l.⑵令f'(x)=0,得x=0.f(x)与f<x)的情况如下：X(-oo,0)0(0,+oo)f'(X)-0+f(x)1/所以函数f(x)在区间(-8,0)上单调递减,在区间(0,+oo)上单调递增.f(0)=l是f(x)的最小值.当b<l时，曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当b>lKt,f(-2b)=f(2b)>4b2-2b-l>4b-2b-l>b,f(O)=l<b,所以存在xiW(-2b,0),X2£(0,2b),使得f(xi)=f(x2)=b.由于函数f(x)在区间(-oo,0)和(0,+oo)上均单调，所以当b>l时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知，如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1,+8).12.(2014北京文,20,13分，综合性)已知函数f(x)=2x3-3x.⑴求f(x)在区间［-2,1］上的最大值；⑵若过点P(l,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围：(3)问过点A(-l,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)解析⑴由f(x)=2x3-3x得f,(x)=6x2-3.令f<X)=0,得X=4或X=y.因为f(-2)=-10,f(1)=々，f(y)=-V2,f(l)=-l,所以f(x)在区间［-2,1］上的最大值为f(-孝)=y［2.⑵设过点P(l,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x(),yo),则y()=2就-3x(),且切线斜率为k=6*3,所以切线方程为y-yo=(6%o-3)(x-xo),因此t-yo=(6x^-3)(l-xo).整理得4%q—6xo+t+3=O.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则过点P(l,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切"等价于g(x)有3个不同零点g'(x)=12x2-12x=12x(x-l).g(x)与g'(x)的变化情况如下表：X(-8,0)0(0,1)1(l,+oo)g'(x)+00+g(x)Zt+3t+1 z所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(l)=t+l是g(x)的极小值.当g(0)=t+340,即t<-3时，此时g(x)在区间(-8,1］和(1,+8)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零当g(l)=t+l>O,BPt>-l时，此时g(x)在区间(-8,0)和［0,+8)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(0)>0且g⑴<0.即时，因为g(-l)=t-7<0,£2)=t+ll>0,所以g(x)在区间『1,0),［0,1)和［1,2)上分别有1个零点住于g(x)在区间(-8,0)和(1,+oo)上单调，所以g(x)在区间(-8,0)和［1,+8)上分别有1个零点.综上可知,当过点P(l,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).⑶过点A(-l⑵存在3条直线与曲线y=f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切：过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.三年模拟A组考点基础题组考点导数的概念及运算.(2021海淀一模.11)已知函数f(x)=x3+ax.若曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线的斜率为2,则实数a的值是.答案-1.(2022北京九中月考,14)若直线y=2x+b是曲线y=ex-2的切线，则实数b=.答案-21n2.(2021朝阳质量检测一,20)已知函数f(x)=(ax-l)ex(aGR).⑴求f(x)的单调区间；⑵若直线丫=2*+2与曲线y=f(x)相切,求证:解析(l)f'(x)=(ax+a-l)ex.当a=0时，「(*)=-d<0,丫=心)在(-8,+8)上单调递减；当a#0时，令f'(x)=0,得x=^.

当a>0时，「(x)和f(x)在R上的变化情况如下:X(-□尸)1—aJ码af'(X)-0+f(x)极小值z当a<0时，f，(x)和f(x)在R上的变化情况如下:f'(x) + 0

f(x)/极大值综上，当a=0时,y=f(x)的单调递减区间为(-8,+00),无单调递增区间；当a>0时,y=f(x)的单调递减区间为(-口,9).单调递增区间为(9,+□);当a<0时,y=f(x)的单调递增区间为(-口,丫),单调递减区间为(9,+口).(2)证明:f'(x)=(ax+a-l)ex.设直线y=ax+a与曲线y=f(x)相切于点(xo,yo),.r(axo-l)ezo=a(x0+1),□人［(ax。+a-l)ez°=a.□由①-②得-aexo=ax0,即a(ex°+xo)=0.若a=0厕f(x)=-e，,ax+a=0,直线y=0与曲线y=f(x)不相切，不符合题意，所以aM.所以eXo+x()=O,即eXo=-x().③令<p(x)=ex+x,则0(x)=eX+l>O,所以<p(x)单调递增.因为=^-1>0,(p(-l)=e'-l<0,所以存在唯一xo4-l,-。使得eXo+x()=O.将③代入①得aXo+axo-xo+a=O.所以anETTM—VXq+xq+1 Fl易知在(-1,-：)内,y=xg+l单调递减，且x+^+l<0,所以y=£、在(口彳)内单调递增.因为x°«U，T),所以所以痣(-1,1)..(2022东城二模.19)已知函数f(x)=x+^-+alnx(aGR).⑴当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；⑵当xW[e,+8)时，曲线y=f(x)在x轴的上方,求实数a的取值范围.解析函数f(x)的定义域为(0,+8).⑴当a=l时,f(x)=x+『lnx,f'(x)=l,所以f(l)=3,f'(1)=0.所以曲线y=f(x)在点(1,f⑴)处的切线方程为y=3.⑵当a>0,x>e时,f(x)>0,故曲线y=f(x)在x轴的上方.当a<0时,「(x)=l-等+?=(弋产).令f'(x)=0,得x=-2a或x=a(舍去).当x变化时,L(x),f(x)的变化情况如下：x (0,-2a) -2a (-2a,+8)f'(x) - 0 +f(x)\ /^-2a<e,BP-|<a<0时,f(x)在区间[e,+8)上单调递增，则f(x)>f(e)=^a2+a+e=|(a+§+注>0,所以曲线y二f(x)在x轴的上方.当-22>孰即2芍时,如在区间62)上单调递减,在区间(-24+8)上单调递增，贝！Jf(x)Nf(・2a)=・3a+aln(・2a).由xW[e,+8)时，曲线y=f(x)在x轴的上方，有-3a+aln(-2a)>0,解得a>-^-.所以<a<-综上，实数a的取值范围为(-日,+口).B组综合应用题组时间：50分钟分值75分解答题(共75分)1.(2022东城期末,20)曲线y=lnx在点A(t,lnt)处的切线I交x轴于点M.⑴当t=e时,求切线I的方程；(2)0为坐标原点，记△AMO的面积为S,求面积S以t为自变量的函数解析式,写出其定义域.并求单调增区间.解析⑴由y=lnx,求导得yW，当t=e时,切点为A(e,l),切线1的斜率k=y1x=e=*则切线1方程为y-l=3x-e),即x-ey=0.(2)由y=lnx,求导得产3,切点A的坐标为(t,lnt),切线斜率k=y==；厕切线方程为y-lnt=；(x-t),令y=0,则x=t-tlnt,所以切线1与x轴的交点M的坐标为(t-tlnt,0)A|OM|=|t-tlnt|,|yA|=|lnt|.所以△AMO的面积S(t)=；|OMHyA|=3t-tlnt|.|lnt|.当l<t<e时,S(t)=；(t-tlnt)-lnt=；tlnt(l-lnt);当0<t41或tNe时,S(t)=-«t-tlnt)-lnt=-%lnt(l-lnt).fitlnt(l-lnt),l<t<e,所以S(t)=2^--tlnt(l-lnt),0<t<1或t>e.由s⑴表示面积知S(t)>0,a<t<e,ro<t<1,(t>e,即gtlnt(l-lnt)>0或1-1tlnt(l-lnt)>0或1gtlnt(l-lnt)>0,解得l<t<e或0<t<l或t>e.所以函数S⑴的定义域为(0』)U(1,e)U(e,+8).令f(t)=tint(l-lnt)=elnl(lnt-ln2t),^Int=x,贝!Jt二则g(x)=e'(x・x2),求导得g*(x)=ex(x-x2)+ex(1-2x)=ex(-x2-x+1).令或x)>0,即-x2-x+l>0,解得竽<x<芋，所以g(x)在区间(殍，竽)上单调递增在区间(口,芋),(竽,+口)上单调递减.-1-V5-1+V5 -1-V5 -1+V5所以f(t)在区间(eF,eF)上单调递增在区间(-oo,eT),(ek,+00)上单调递减，1 -1-V5 -1+V5又S⑴弓|f(t)|,且f⑴=0,f(e)=0,所以由图象的翻折变换可知,S(t)的单调递增区间为(o,ek)和(LeF)和(e,+8).2.(2022朝阳期末,20)已知函数f(x)=2lnx-x-lna,a>0.(I)求曲线y=f(x)在(I,f(I))处切线的斜率；(2)求函数f(x)的极大值；⑶设g(x)=ae*-x2,当aW(l,e)时,求函数g(x)的零点个数.解析⑴由题意得f<x)=；I厕f,(1)=1,所以曲线y=f(x)在(l,f(l))处切线的斜率为1.(2)函数f(x)的定义域为(0,y),求导得f〈x)W-l,令f，(x)=0彳导x=2,当*日0,2)时0在)>0,函数单调递增:当*£(2,+«>)时,「/)<0,函数单调递减.故当x=2时.函数取得极大值,f(2)=21n2-2-lna=lnQ所以函数f(x)的极大值为1*.(3)g'(x)=aex-2x,aG(l,e),当x«时,g，(x)>0,故函数在(。⑼上单调递增，又g(0)=a>0,g(-l)=?l<0,所以方程g(x)=O在x£(-l,O)有且仅有一？根，即函数g(x)在x£(-8,0］上有一个零点当x>0时，讨论函数g(x)的零点个数，即讨论方程aex=(的根的个数即讨论方程a卷的根的个数，即讨论, v2 .函数h(x)=下的图象与直线y=a的交点个数，求导得厅⑴上共令h'(x)=O,得x=0或x=2,当*£(0,2)时由心)>0,函数单调递增:当*£(2,+8)时,叱)<0,函数单调递减.又h(O)=O,h(2)=9<l,又a£(l,e),所以函数h(x)=1^的图象与直线y=a没有交点，即函数g(x)在x£(0,+oo)上无零点.综上可知，当aG(l,e)时，函数g(x)的零点个数为1.3.(2022密云二模,19)已知函数f(x)=xln(2x+1)-ax2.⑴求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；⑵当a<0时，求证:函数f(x)存在极小值：(3)请直接写出函数f(x)的零点个数.解析(l)f'(x)=ln(2x+1)+^、2ax,则L(0)=0,又f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是y=0.⑵证明:函数f(x)的定义域为(1,+口),由(1)知,f'(xRnQx+D+^Zx,因为a<0厕当-1<x<0时Jn(2x+l)<0，Wj<0,-2ax<0厕有f，(x)<0,函数f(x)在(2。)上单调递减，当x>0时,ln(2x+l)>0石石':必③*〉。,贝！|有f'(x)>0,函数f(x)在(0,+8)上单调递增，于是得当x=0时.函数f(x)取得极小值，所以当a<0时，函数f(x)存在极小值.⑶当a<0或a=2时.函数f(x)有一个零点；当0<a<2或a>2时,函数f(x)有两个零点.详解:函数f(x)的定义域为G，+口)，f(x)=O<=>xln(2x+l)=ax2,显然x=0是函数f(x)的零点当xHO时，函数f(x)的零点即为方程2=必答的解，令g(x)=i^^,xG(-1,0)U(0,+8),贝!］故)=矗：产+1),令h(x尸备32X+1),则h'(x尸舟-高二一舟.当-±x<0时,h<x)>0,当x>0时,h<x)<0,所以函数h(x)在(弓,0)上单调递增，在(0,+oo)上单调递减，所以Vx£(-")U(0,+oo),h(x)<h(0)=0,即有g'(x)<0,所以g(x)在(-“),(0,+oo)上单调递减，令(p(x尸ln(2x+l)-2x,贝！］(p'(x)=^--2=一爵，当-*x<0时,<p'(x)>0,当x>0时,(p'(x)〈0,所以<p(x)在(彳，0)上单调递增在(0,+8)上单调递减，所以(p(x)<(p(0)=0,即Vxe(J,+口)，恒有ln(2x+l)42x,当且仅当x=0时取，当-1<X<0时,皿2；+1)>2,当x>0时0<ln(2;+l)<2,因此g(x)在信,0)上单调递减g(x)取值集合为(2,+oo),g(x)在(0,+8)上单调递减g(x)取值集合为(0,2),于是得当0<a<2或a>2时，方程2=吗里％唯一解，当a<0或a=2时,此方程无解，X所以当a<()或a=2时，函数f(x)有一个零点，当0<a<2或a>2时，函数f(x)有两个零点.4.(2022房山二模.19)已知函数f(x)=(x-l)-ex-jax2(aeR).⑴当a=0时,求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程：(2)求函数f(x)在［1,2］上的最小值.解析⑴当a=0时,f(x)=(x-1H,f'(x)=xex.所以f'(0)=0,f(0)=-l.所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=-l.(2)f,(x)=xex-ax=x(ex-a).①当a4)时,eX-a>0.所以x£［l,2］时,L(x)>0.所以f(x)在［1,2］上是增函数所以f(x)min=f(1)=-1a.当a>0时，令f'(x)=0,解得xi=lna,X2=0(舍).当Ina41,即0<a4e时,xW［l,2］时,f'(x)>0.所以f(x)在［1,2］上是增函数.所以f(X)min=f(l)=-1a.当l<lna<2,即e<a<e?时，f'(x)与f(x)的变化情况如下.X(l,lna)Ina(Ina,2)f'(X)-0+f(x)极小值7所以f(x)min=f(lna)=-1aln2a+a(lna-1).当Ina>2,BPa2e?时,x£［l,2］时,f'(x)<0.所以f(x)在［1,2］上是减函数.所以f(x)min=f(2)=e2-2a.综上，当a<e时,f(x)min=-；a;当e<a<e2Bit,f(x)min="|aln2a+a(l