2023届四川省内江市高中零模考试文科数学试题【解析版】

2023届四川省内江市高中零模考试文科数学试题【解析版】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..椭圆2W+y2=8的长轴长是A.2 B.20 C.4 D.4&.在复平面内，设z=l+i(i是虚数单位)，则复数4z2对应的点位于zA.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.法国数学家费马观察到2*+1=5，2"+1=17,2*+1=257,2一+1=65537都是质数，于是他提出猜想：任何形如严+1(〃€1<)的数都是质数，这就是著名的费马猜想.半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数2?'+1=4294967297=641x6700417不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明A.归纳推理，结果一定不正确B.归纳推理，结果不一定正确C.类比推理，结果一定不正确D.类比推理，结果不一定正确.函数f(x)=gx2-[nx的单调递减区间为()A.(-1,1) B.(0,1) C.(1,+<») D.(0,2).“/W7<O”是“蛆2+"=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件C.A.充分不必要条件C.充要条件6.下面是两个变量的一组数据:D.既不充分也不必要条件X12345678y1491625364964则这两个变量之间的线性回归方程是( )A.y=16+9xB.y=31—xC.y=30—xD.y=15+9x7.函数Inx的最小值为A.—— B.- C. D.—e e 2e 2e8.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品.2021年前三个季度的收入情况如图所示，已知直播间每个季度的总收入都比上一季度的总收入翻一番，则下列说法正确的是（）收入百分比（%）。第一季度第二季度第三季度季度। ।化妆品收入r~i服装收入A.该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和.B.该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的!.C.该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的;.D.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍.2 2 pf.pf.已知尸是椭圆言+,=1上的点，F，、鸟分别是椭圆的左、右焦点，若"：布=,,则人的面积为（）A.373 B.96 C.73 D.9.已知函数/（x）=x3-x+l,对于以下3个命题：①函数Ax）有2个极值点②函数f（x）有3个零点③点（0,1）是函数f（x）的对称中心其中正确命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3.已知A,B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，AABM为等腰三角形，且顶角为120。，则E的离心率为A.75A.75B.2D.72.已知函数/(©ue'-gavO)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数。的取值范围二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..随机抽取某产品〃件，测得其长度分别为卬，出，…，则下图所示的程序框图输出的S表示这组数据的特征数是I开始II开始I［结认］.抛物线V=2x与过焦点的直线交于A8两点，。为原点，则丽.丽=..若函数f(x)=^-e"有两个零点，则％的取值范围为.2 1.若双曲线/-二=1上存在两个点关于直线/：y= +f对称，则实数，的取值范围为 3 2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运27动有兴趣的人数占总数的二，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.(1)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取9人作为冰壶运动的宣传员，求男生、女生各选多少人？(2)完成下面2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？有兴趣没有兴趣合计男女80合计.在aABC中，4-2,0),8(2,0),ac与BC斜率的积是.4(1)求点C的轨迹方程；⑵P(4,o),求PC的中点M的轨迹方程..已知函数/Xx)=x3-31nx+ll.(1)若/(x)在(a,a+l)上是单调函数，求"的取值范围；(2)证明：当x>0时，f(x)>-x>+3x2+(3-x)e'..已知函数/(x)=e*cosx-x.(I)求曲线y=/(x)在点(oj(o))处的切线方程；TT(n)求函数f(x)在区间［0,］］上的最大值和最小值..已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2贬的直线交抛物线于A(%，x),8(9,%)(为<2两点，且|阴=9.(1)求该抛物线的方程；(2)。为坐标原点，求aOAB的面积..已知函数/(x)=x+Hnx,aeR⑴讨论的单调性；(2)若不等式+x对任意xe(1,e)恒成立，求。的最大值.参考答案:D【解析】【分析】现将椭圆的方程化为标准方程，由此求得”的值，进而求得长轴长2a.【详解】椭圆方程变形为三+二=1，"=8,•\a=2应，长轴长为2a=4&-故选D.4 8【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质.要注意长轴是2a而不是人属于基础题.A【解析】【详解】试题分析：根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论.解：Vz=l+i,9 9 2(1-i)•■--+z2=t-t+(l+i)2= -+2i=l-i+2i=l+i.z l+i (.1+1J(Li)对应的点为(1,I),位于第一象限，故选A.点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化筒是解决本题的关键.B【解析】【分析】根据归纳推理的概念去理解和判断.【详解】由于费马猜想是由几个数值，根据几个数值的特点得到的结论，是由特殊到一般的推理过程，所以属于归纳推理.由于得出结论的过程没有给出推理证明，所以归纳推理的结果不一定正确，故选：B.【点睛】本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系.B【解析】【分析】求导，解不等式(“)<。可得.【详解】/(X)的定义域为(0,+8)解不等式r(x)=」二区-3+J<o,可得o<x<i,X X故函数/(X)=g-InX的递减区间为(0,1).故选：B.C【解析】【分析】先求方程皿2+〃y2=1表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程wx?+〃y2=1表示双曲线，所以mw<0,又当时，方程+〃y2=]表示双曲线，因此“机〃<0”是“方程g2+〃y2=1表示双曲线，，的充要条件.故选：CD【解析】【详解】试题分析：由表格数据可知线性正相关，因此x系数为正，...,=1+2：-+8=45,y=1+4+1：…+64=25$,代入回归方程可知y=-]5+9x成立8 8C【解析】【分析】函数的定义域为(0，内)，再根据函数单调求得最小值.【详解】由题得x£(0,+°°),1(x)=2xlnx+x=M21nx+l),令21nx+l=0解得工=”，则当xc(O,e3)时f(x)为减函数，当xe(eW,+oo)时，f(x)为增函数，所以x=-5点处的函数值为最小值，代入函数解得f(e2)=--L，故选C.【点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.C【解析】【分析】利用条形统计图求解判断.【详解】设第一季度的总收入为。，则第二季度的总收入为2a,第三季度的总收入为4a.对于选项A,第一、二季度服装收入和为(a-0.la)+(2a-0.4a)=2.5a,第三季度服装收入为4«-1.2a=2.8a,故A错误：对于选项B,第一季度化妆品收入为axl0%=0.1a,第三季度化妆品收入为4ax30%=1.2a,第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的绊=1，故B错误；1.2a12对于选项C,第二季度的化妆品收入为为x20%=0.4a,第三季度的化妆品收入为4ax30%=1.2a,第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的喀=:，故C正确：1.2a3对于选项D,第三季度总收入是第一季度总收入的"=4倍，故D错误.a故选：C.A【解析】【分析】由已知可得N耳尸K,然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】Q<^FxPF2<7tQ<^FxPF2<7t因为因固一西网-C°S12-2因为7T又c=y/a2-b2=4记|尸用=叫尸闾=〃,记|尸用=叫尸闾=〃,则＜nT+n2-mn=4c2=64-①，〃+〃=24=10…②②2一①整理得：…,所以％鸣=料峭=H2xJ=36故选：A10.C故选：A10.C【解析】【分析】利用导数研究f（x）的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根据/（x）+/（-x）=2判断对称中心.【详解】令尸（x）=3x2-1=0,可得尸土@,3所以（TO,一且）、（正,+8）上/（x）＞0,/（X）递增；（一#，¥）上尸（x）＜0,/（X）递减;所以X=±且是f（x）的极值点，3又八一2）=一5＜0,/（_§=孚+1＞0,/（当=1一孚＞0,所以f（x）在（-2,-亭）上存在一个零点，所以f（x）有2个极值点，1个零点，①正确，②错误；f(x)+f(-x)=x3-x+l-x3+x+l=2,故(0,1)是函数f(x)的对称中心，③正确.故选：CD【解析】【详解】设双曲线方程为:■-多■=l(a>0,b>0),如图所示，同却=怛M，ZABM=120P>过点M作MNJ_x轴,azb~垂足为N,在他AfiMN中，怛N|=a,|MN|=6a,故点M的坐标为M(2a,Qa),代入双曲线方程得a2=b2=a2-c2»即/=2/,所以e=&，故选D.考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.B【解析】【详解】函数“X)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点，即/(-x)=g(x)有解，即函数y=/(-x)与函数y=g(x)的图象有交点，在同一坐标系内画出函数y=/(-x)=e-'-g与函数y=g(x)=ln(x+a)的图象.由图象，得Ina<—,即0<。<五；故选B.点睛：函数图象的对称问题主要涉及以下情形：①函数y=/(x)与y=/(-x)的图象关于y轴对称；②函数y=/(x)与y=-/(x)的图象关于x轴对称；③函数y=/(x)与y=-/(-x)的图象关于(0,0)对称;④函数y=fM与y=尸(x)的图象关于直线y=x对称.平均数【解析】【分析】根据流程图可知，该程序的作用是计算依次输入〃个数卬%，…，%的算术平均数.【详解】由题意知，当』4〃时，>(1-1)；0+4=%TOC\o"1-5"\h\z当i=24〃时，S=生"上生=怔”，2 22-4+出+〃当i=3K〃时，_(3—l)xs+〃3_~ 2 ，_4+〃2+。3，S— — —3 3 3以此类推，」=/+%+・一+。〃,表示样本的平均数.n故答案为：平均数3一4【解析】【详解】(1)当直线人8，工轴时,在丁=2》中,令》=3，有丫=±1,则1 1 1 3A(a/),8(a，i),得"o5=q,D(东一d=一;(2)当直线AB与x轴不互相垂直时，设AB的方程为:>=&(x-g)由｛‘=""-5),消去儿整理得22/-(公+2及+1公=0,显然£*0.y'2x 4设A(x,,y,),B(x2,必)厕x,+x2=$2小.%=；,得OAOB=(占，％)•(8,%)=%飞+%％=3.、2+封％-1)k(x2-^)，2、吃、1,2_lz1，2、公公+21,2_3一(1+火)X1-Xj—(Xj+ i——(1+k) --j—――1，综(1),(2)所述，有07-砺=一巨4(e,+oo)【解析】【分析】分离常数，将问题转化为y=：与尸三的图象有两个交点，令g(x)=.(X6R),利用导数求出g(x)的最值，再给合g(x)的正负分析即可得答案.【详解】解：因为/(x)=fcr-e*有两个零点，1r即区=0有两个零点=7==有两个解，ke即、=?与的图象有两个交点，ke令g(x)=?(xeR)，则 >所以当xe(-℃,l)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当时，g'(x)<0,g(x)单调递减：所以g(x)a=g6=又因当x<0时，g(x)=2<0,e当x>0时，g(x)=、>0,当x=0时，g(x)=、=0,要使尸;与尸之的图象有两个交点，ke所以ov；v，，即故k的取值范围为(e,y).故答案为：(e,+oo).(<4)【解析】【分析】设对称的两点为A(ax),以电,力),直线A8的方程为y=-2x+6与双曲线联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求A5的中点M(x。,%),利用判别式A〉。以及在直线y=gx+f上即可求解.【详解】设双曲线/-q=1存在关于直线y=gx+r对称的两点为4(X1,yJ,8(%,%),根据对称性可知线段AB被直线y=gx+r垂直平分，且A8的中点M(Xo，%)在直线y=gx+r上，且心8=-2,故可设直线AS的方程为y=-2x+b,y=-2x+b联立方程2V2，整理可得/-4版+/+3=0,x--=13x,+工2=4b,y}+y2=2Z?-2(x(+刍)=-6&,由A=16bJ4(/+3)>0,可得T<6<1,.•i=心=见%=江A-'0 2 2•；A8的中点M(次一3。)在直线y=；x+f上，-3b=b+t,可得t=-4b,-4<r<4.故答案为：(Y,4).【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用直线A8与直线y=gx+f垂直可得直线A8的斜率为-2,可设直线48的方程为y=-2x+b,代入双曲线可得关于x的一元二次方程，利用判别式A>0,可以求出匕的范围，利用韦达定理可得A8的中点再代入y=；x+f即可/与b的关系，即可求解.(1)男生选5人，女生选4人.(2)有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.【解析】【分析】对于小问1,由题意计算对冰壶感兴趣的男女生人数，根据其比例，再分别计算抽取的9人中男女生人数;对于小问2,完成列联表，代入市二:~ (〃=a+%+c+d),计算其近似值，与6.635比(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)较大小，进行判断.27对冰壶运动感兴趣的人数为400'丽=270人’女生中有8。人对冰壶运动没有兴趣,所以女生中有-200-80=120人对冰壶运动有兴趣，所以男生中有270-120=150人对冰壶运动有兴趣,按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取9人作为冰壶运动的宣传员,其中抽取的男生为詈也5人,女生为羞也4人，即男生选5人，女生选4人⑵由题意，完成下面2x2列联表如下有兴趣没有兴趣合计男15050200女12080200合计2701304002_n(ad-bcf_400x(150x80-50x120)2~~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~~200x200x270x130所以有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.j-2⑴一+y2=i(x*±2)4⑵史卫+/=]("0)4【解析】【分析】(1)设点C坐标，根据题意直接列方程可得：(2)由相关点法可得.设点C坐标为(x,y),由题知原厂原。=一;x-=x+2x-2 4整理得点C的轨迹方程为—+/=l(x^±2)4设点M坐标为(x,y),点C坐标为(x。,%)2 =8-x由中点坐标公式得 2 ,即〜y+y。,0 [%=-y将[*=8,1代入X+y2=](y*0)得点用的轨迹方程为：任电+>2=1("0)1%=7 4 4(1)ae{O}U[h+°°)；(2)证明见解析.【解析】(1)求导r(x)=3W_」=3('J)，xe(O,-KQ),判断其导函数取得正负的区间，从而得出函数〃力的XX单调性，继而建立关于a的不等式组，可得答案.(2)由(1)知/(X)min=〃1)=12.设/1(制=-》3+3乂2+(3-乂)/。>0),求导，分析得出函数的人(X)的单调性，求得其最大值，从而有/")而“A4Wmax，可得证.【详解】(1)解：f\x)=3x2--= >xe(0,+co),XX当x>l时，/,(x)>0；当0<x<l时，/f(x)<0..../(x)在(0,1)上递减，在―)上递增.,.,, 、 , .. |a>0又/(x)在(a,a+l)上是单调函数，.•.[+]<[或aNl,即a=0或aNl,ae{0}UU,+°°).(2)证明：由⑴知f(x)mM=/⑴=12.设h(x)=-x3+3x2+(3-x)e*(x>0),贝ijZi'(x)=—3x?+6x+(2—x)e"=(2—x)(e'+3x),令〃(x)>0得0<x<2；令A'(x)<0得x>2.〃(x)11rax=/i(2)=/+4・Ve<2.8,e2<8,,-e2+4<12,fWmi„> ,f(x)>-x*+3x?+(3-x)c'.【点睛】方法点睛：I、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2,利用导数解决不等式恒成立问题,应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.7T(I)y=l；(II)最大值1；最小值一万.【解析】【详解】试题分析：(I)根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式广/(0)=/S^0)(x-0)中即可；(II)设〃(x)=/'(x),求“(x),根据〃'(x)<0确定函数〃(x)的单调性，根据单调性求函数的最大值为〃(0)=0,从而可以知道Mx)=/'(x)<0恒成立，所以函数/(力是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：(I)因为/(x)=e*cosx-x,所以r(x)=e*(8&r—sinr)-l，r(0)=0.又因为"0)=1,所以曲线y=〃x)在点(OJ(O))处的切线方程为y=l.i5^(-^)=eA(cosx-sinx)-l,则〃(x)=eX(cosx-sinx-sinx-cosx)=—2ersinx.当时，"(x)<0,所以〃(x)在区间0弓上单调递减.所以对任意xe(呜有心)<〃(0)=0,即■jr所以函数〃X)在区间0,-上单调递减.因此“外在区间0个上的最大值为"0)=1,最小值为/6)=-].【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过尸(x)不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设M6=ra),再求〃'(x),一般这时就可求得函数〃'(x)的零点，或是〃'(x)>0(〃(x)<0)恒成立，这样就能知道函数〃(x)的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断y=/(x)的单调性，最后求得结果.(1)y2=8x；(2)6应.【解析】【分析】(1)由题意设直线A8的方程为丫=201-5)，然后将直线方程与抛物线