2023北京版数学高考第二轮复习-综合测试一

2023北京版数学高考第二轮复习综合测试一(时间：120分钟，分值：150分)一、选择题(共10小题,每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项).(2022人大附中统练一,1)设集合人=卜|/>0},B={x|x42或心5},则(CrA)。B=()A.{x|-2<x<2} B.{x|-2<x<2}C.{x|x44或x>5}D.{x|x<2sJcx>5}答案B震>0,即(x-4)(x+2)>0*解得x<-2或x>4,故A={x|x<-2或x>4}JJ!KrA={xK24x*}^!](CrA)DB={x卜24x42}.故选B..(2022北京一零一中学怀柔校区模拟,2)已知i为虚数单位，复数z=^a£R)是纯虚数.则|函疝|=()TOC\o"1-5"\h\zA.V5B.4 C.3 D.2答案C由2=舁黜=竺竽空为纯虚数，得产；。，解得a=2则的+2i|=J(四2+22=3,故选c.__IU, \.(2022顺义二模,3)在12_)6的展开式中常数项为()A.-15 B.15 C.30 D.-30答案BTk+尸魔(x2)6."(1)”=(-l)kC标"k,令i2.3k=0,得k=4,所以常数项为T’+尸(・1尸第=15,故选B..(2022海淀期末,9)如图,A,B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度蝶，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是()A.1:A.1:3B.2：5 C.3：5 D.3：4答案B因为两个杯子形状相同，且B杯高度是A杯高度的*所以B杯与A杯的底面半径之比是3：4,所以两个杯子的底面积之比为SB:Sa=32:42,所以B杯容积与A杯容积之比为第=(丁x1=g«0.4=2:5,故选B.\4/ 4 64.(2021石景山统练一,10)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其欧拉线"与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r?相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为()A.2V2B.3V2 C.4V2 D.6答案A因为在&ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高线、垂直平分线和中线三线合一,则其欧拉线"为aABC中边BC的垂直平分线，设D为BC的中点.因为点B(-l,3),点C(4,-2),所以琥,%因为直线BC的斜率为言=-1,所以BC的垂直平分线的斜率为1,所以BC的垂直平分线方程为y-1=x-1,即x-y-1=0,因为欧拉线"与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=F相切，所以圆心(a,a-3)到欧拉线"的距离故口也圆心(a,a-3)到直线x-y+3=0的距离为此护=3企,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为3V2-V2=2近，故选A.思路分析由等腰三角形的性质可得BC边上的高线,垂直平分线和中线三线合一，故欧拉线"为△ABC中边BC的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直斜率的关系.求得BC边上的垂直平分线方程，再由点到直线的距离公式结合点与圆的位置关系得出答案..(2022北京十五中月考,6)已知函数*>0若f(a-l)2f(-晨+1),则实数a的取值范围是()A.[-2,l] B.[-l,2]C.(-oo,-2]U[l,+oo) D.(-oo,-l]U[2,+oo)答案A函数f(x)=F：\W，，、拉各段自变量的取值范围内都是减函数，并且e%l,-02-2x0+1=1,(±・2x+l,x>0所以f(x)在R上递减，又f(a-l)2f(-a2+l),所以a-14同+1,解得-24a41,故选A..(2022东城期末,7)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1,P为C上一点，过P作I的垂线，垂足为M.若MF|=|PF|,则|PM|=()A.2 B.V3C.4 D.2V3答案C由抛物线的定义知：|PF|=|PM|,又|MF|=|PF|,二△PMF为等边三角形，易知|PM|=2p=4.故选C..(2021大兴一模,8)等差数列⑶｝的前n项和为S0.已知ai=-5,a3=-l.记悦=辿片12..工则数列｛悦｝的()anA.最小项为b3 B.最大项为b3C.最小项为b4 D.最大项为b4答案C设同｝的公差为d.Vai=-5,a3=-l,/.2d=4,d=2,/.an=-5+2(n-l)=2n-7,neN\/.S„=-5n+w("-1)-2=n2-6%伯―；.悦=半洋,伯2令f(x)=^^(x>0且xHJ),则zn-7 ZX-7\ lJf'(x)=2(蓝;f(x)在(0,9,g+口)上单调递增，即当n=l,2,3时,｛bn｝为递增数列,n“时.｛%｝也为递增数列,其中bi=l,b24b3=9,b4=-8,b5= ，.…，，当n=4时,悦取得最小值，又b25=^>b3,故B错，故选C.(2022平谷零模.9)已知函数f(x)=Asin®x+(p)(/>0,3>0,|尹|<])的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为］B.f(l)<f(2)C.函数f(x)的一个单调递减区间是管，詈)D.若f(Xl)=f(X2)=V5(XlHX2),则|X|-X2的最小值是^答案C根据函数图象可得:A=2,Itn口n曰t_ • 2it~~T=~——= T=7t,..C0=y=2.又图象过点出2),二2=2sin(2x三+(p),解得(p=-^+2k;i,keZ,由期书，二<p=一标.f(x)=2sin卜4).对于A,函数f(x)的最小正周期为兀，故A错误；对于B,函数f(x)的图象关于直线x=T对称，结合函数图象及"“<|2-即可得f(D>f(2),故B错误；对于C,令92k兀42x《W+2k7r,k£Z,解得｝kirSx弁+k7c,k£Z,令k=l,得与4x4等，所以函数f(x)的Y单调递减区间是管，等)，故C正确；对于D,令f(x)=2sin(2x-1)=V5,即sinQx-己)=曰得2x《=92k7r,k£Z或2xa=尹2kjc,k£Z,解得x=9k7t,kWZ或x=*k7t,keZ,则|xi-x?|的最小值是瞪-引=去故D错误.故选C..(2022门头沟一模』0)新型冠状病毒肺炎(COVID-19)严重影响了人类正常的经济与社会发展.我国政府对此给予了高度重视,采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制.人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律,做到有效预防与控制，防患于未然.已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为i(t)=4%i(t)表示自4月20日开始t(单位:天)时刻累计感染人数,i(t)的导数「⑴表示t时刻的新增病例数,In9«2.1972),根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为()A.4月30日~5月2日B.5月3日~5月5日C.5月6日~5月8日D.5月9日~5月11日答案A对也上筹警求导得*0根据基本不等式l+9eU” (l+9e°-2t) 81e-0-2t+18+^3?得:i'(t)= ———4500—=噌=125,81e-°,2t+18+^T2t2J81e-°A^t+18 36当且仅当Sle-o^^^BP81(e-°-2t)2=l,gp晓2M,即0.2t=ln9,即t«ll时,i'(t)取得最大值.故选A.二、填空题(共5小题,每小题5分，共25分)11.(2022丰台一模,11)函数f(x)=V2-x+lgx的定义域是.答案｛x|0<x<2｝解析要使函数有意义厕｛:"o-0,，0<x42,.•.函数f(x)=V2^+lgx的定义域为｛x|0<x<2｝..(2022石景山一模,14)设点H,F?分别为椭圆C：y4-y2=l的左右焦点，点P是椭圆C上任意一点若使得耐•配=m成立的点恰好是4个,则实数m的一个取值可以为.答案0(答案不唯一)解析a2=4,b2=1,c2=a2-b2=3,Fi(-V3,0),F2(V5,0),设P(xo,yo)厕耐=(-V3-xO,-yO)丽=(V3-xo,-yo),由耐•而=(-存xo,-yo)•(存xo,-yo)=m,得诏+诏=m+3①,\,点P在椭圆C上,.+诏=1②，联立①②得以=竽,要使西•抽=«11成立的点恰好是4个，则0<竽<4,则.(2022通州一模,14)在矩形ABCD中,AB=2,BC=封点P在AB边上，则向量而在向量方上的投影向量的长度是，方•同的最大值是.答案V3;-2解析由题意可知而在向量荏上的投影向量即为向量而，而I方|=\AD\=百,.•.向量而在向量方上的投影向量的长度是V5.设羽=m(04入41),则而=~BP-BC=AP-AB-BC=(X-1)AB-AD,~PD=AD-AP=AD-\AB,：.CP~PD=[(入-D屈一AD]-(AD-AAB)=X(l-X)-|^5p+(2X-\)ABAD-|而产=4入(11)-3=42+4入_3=_(2")2_2,所以当入专时，丽•而取得最大值为-2..(2022房山一模,13)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移^个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)=；若g(x)在区间[0,m]上的最小值为g(0),则m的最大值为.答案而(24)片解析由题意可知,g(x)=sin[2(x-期=sin(2x《).当x£[0,m]时,2*-折智,2m』要使g(x)在区间[0,m]上的最小值为g(0),则卒2m-MW，解得04m/，即m的最大值为圣O OO O O.(2022通州期末,15)已知函数f(x)=ex-|x+a|,给出下列四个结论:①若a=0,则f(x)有一个零点②若a£[l,+oo),则f(x)有三个零点；③Va40,f(x)在R上是增函数；④3a>0.使得f(x)在R上是增函数.其中所有正确结论的序号是.答案①③解析因为f(x)=e"|x+a|,所以心)弋；：蓝氏；。对于①，当a=0时,f(x)弋；L。，当x<0时,f(x)单调递增，当x>0时,f<x)=eF20,所以f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上单调递增，且f(-1)=e-」<0,f(l)=e-1>0,所以函数f(x)有一个零点.故①正确.对于②"时』(X)弋:江号丁”-1 1当x<-l时,f(x)单调递增，且f(-2)=e<2+l=^-1<0,f(-l)=e-l+l-l=；>0,所以在(-8,-1)上函数f(x)有且只有一个零点，当x2-l时,f<x)=ex-l,令f'(x)=0,解得x=0,当-1<xvO时,f，(x)=eX-l<O,f(x)单调递减;当xX)时,f，(x)=eM>O,f(x)单调递增,所以当x>-l时,f(x)2f(0)=eQ0-l=0,所以在［-1,+8)上函数f(x)有且只有一个零点所以当a=l时函数f(x)只有两个零点，故②不正确.对于③，当a<0,BP-a>0时，当x<-a时,f(x)单调递增，当x>-a时,f，(x)=eP20,所以f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上单调递增，由①知，当a=0时,f(x)在R上单调递增.所以Va40,f(x)在R上是增函数，故③正确.对于④，当a>0,gP-a<0时，当x<-a时,f(x)单调递增，当x2-a时,f'(x)=ex-l,令f'(x)=(),解得x=0,所以当-a<x<0时,f'(x)=eX-l<0,f(x)单调递减；当xX)时,f<x)=eX-l>0,f(x)单调递增,所以当a>0时.函数f(x)在(-8,-a)和(0,+oo)上单调递增，在(-a,0)上单调递减，所以不存在a>0,使得f(x)在R上是增函数.故④不正确.综上，正确结论的序号是①③.三、解答题(共6小题，共85分.解答应写出文字说明.演算步骤或证明过程).(2022东城二模,18)如图，平面PACJ•平面ABC,AB_LBC,AB=BC,D,O分别为PA,AC的中点,AC=8,PA=PC=5.⑴设平面PBcn平面BOD=1,判断直线I与PC的位置关系，并证明；(2)求直线PB与平面BOD所成角的正弦值.

解析⑴直线1IIPC,证明如下:因为D,o分别为PA,AC的中点，所以DOIIPC.又因为DOu平面BOD,PC。平面BOD,所以PCII平面BOD.因为PCu平面PBC,平面PBCA平面BOD=1,所以IIIPC.(2)连接PO.因为PA=PC,0为AC中点，所以PO±AC.因为平面PACJ■平面ABC,平面PACA平面ABC=AC,所以PO_L平面ABC.因为OBC平面ABC,所以PO±OB.因为AB=BC,0为AC中点，所以OB_LAC.所以OB、OC、OP两两垂直.如图,建立空间直角坐标系O-xyz,则0(0,0,0),A(0,-4,0),B(4,0,0),P(0,0,3).则0(0,0,0),A(0,-4,0),B(4,0,0),P(0,0,3).所以而=(4,0,-3),而=(4,0,0).因为点D为PA中点，所以D(0,-所以而=(i所以而=(i。，一W)，n.n.n.n.设平面BOD的法向量为n=(x,y,z),4x=0,-2y+ =0.L令z=4,则y=3彳导n=(0,3,4).设直线PB与平面BOD所成角为a,所以sina=|cos<丽,心|=繇=,所以直线PB与平面BOD所成角的正弦值为黑.(2022顺义一模,17)在△ABC中,a=l,csinA=V3acosC.(1)求C的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断△ABC是否存在.若不存在，说明理由;若存在，求出△ABC的面积.条件①:cosAcosC=乎;条件②:t>2-c2=ac;条件③:a,b,c成等差数列.注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.解析⑴由可得asinC=csinA,又因为csinA=V3acosC,所以asinC=V3acosC,sin/isine即tanC=V5,又0vC〈7t,所以C=^.⑵选择条件①:cosAcosC=乎.由⑴知,所以cosC=1,所以cosA=q,可得A=*所以B=含此时AABC存在.因为a=l,所以c=鸳=¥.sin42./n,it\ .n n,n.nV6+V2又因为Sin—=Sin(-+-I=sin-cos-+cos-sin-=——,\O" O 4 O4 4所以S，ABc=：acsinB=^^./ o选择条件②:b%2=ac.因为eq所以由余弦定理可得cos==唠亡=i又a=l,所以可得b2-c2=b-lb2-c2=ac可得b2{2=c，所以c=b-l,又a=l,所以可得b=a+c,这与在△ABC中,a+c>b矛盾.故此时aABC不存在.选择条件③：a,b,c成等差数列.因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c,因为a=l,所以2b=l+c.由余弦定理可得cosH=《空=:化简得b2-c2=b-l.3Zabl联立E?=21 可解得b=i或b=o（舍）.=b-1又a=l,Cq,所以可知^ABC为等边三角形，此时△ABC存在.所以£ABc=；absinC=f.L 418.（2022海淀二模.18）PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一,能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值作为一个观测组对国家经济活动进行监测和预测.（1）现从制造业的10个观测组中任取一组，⑴求组内三个PMI值至少有一5氐于50.0的概率；（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值.则称该月的经济向好.设X表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于上一年12月份的PMI值），求X的分布列与数学期望:⑵用则=1,2,..」2）表示上月非制造业所对应的PMI值$表示非制造业12个月PMI值的平均数.请直接写出也用取得最大值所对应的月份.解析（1）⑴设事件A为组内三个PMI值至少有一个低于50.0,则事件A包含的结果有（50.4,50.1,49.6）,（50.1,49.6,49.2）,（49.6,49.2,50.1）,（49250.1,50.3）,共4个，则P（A）£=f.10 5（ii）X的所有可能取值是0,1,2,X=0表示无经济向好月份，有（3月,4月,5月）,（4月,5月,6月）,（5月,6月,7月）,（6月,7月,8月）,（7月,8月,9月）,（8月,9月,10月），共6组，所以P（X=0）*x=1表示有I个经济向好月份.有（1月,2月,3月）,（2月,3月,4月）,（9月,1o月,11月），共3组，所以p（x=D磊X=2表示有2个经济向好月份，仅有（10月,11月,12月）一组，所以P（X=2）磊，X的分布列为X012p3315ww所以X的数学期望E(X)=0x1+1X^+2X^=1(2)8月份.=^x(52.4+51.4+56.3+54.9+55.2+53.5+53.3+47.5+53.2+52.4+52.3+52.7)=52.925.S^SrT^|67-b|max=|47.5-52.925|=5.425.19.(2022海淀一模,19)已知函数f(x)=ex(ax2-x+l).⑴求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程；(2)若函数f(x)在x=0处取得极大值，求a的取值范围；(3)若函数f(x)存在最小值.直接写出a的取值范围.解析⑴由题意得,f'(x)=e，(ax2-x+l+2ax-l)=ex(ax2+2ax-x),f'(0)=0,f(0)=l,故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程为y=l.(2)f'(x)=x(ax+2a-l)e\①当a=0时,f'(x)=-xe\令f<x)=0,得x=0,f(x)与f'(x)的情况如下:XSO)0(0,+oo)f'(X)+0-f(x)/极大值此时,f(x)在x=0处取得极大值，符合题意.②当a>0时.令f，(x)=0,得x=0或x=--2.a当0<a<；时,%2>0,f(x)与「(x)的情况如下:XSO)0(小)1-2a(£+□)f'(X)+0-0+f(x)/极大值极小值/此时,f(x)在x=0处取得极大值.符合题意；当a=；时!2=0,L(x)20,f(x)单调递增.无极大值,不符合题意;当a>|时，、2<0,f(x)与f'(X)的情况如下：X(口河--2a(那)0(。,+8)f'(X)+0-0+f(x)极大值极小值此时,f(x)在x=0处取得极小值，不符合题意;③当a<0时g2<0.f(x)与f心)的情况如下:X1口罚1.2a*0(0,+oo)f'(X)-0+0一f(x)X极小值Z极大值此时,f(x)在x=0处取得极大值.符合题意.综上,a的取值范围是(-口[).⑶(。，非详解:可以分四种情况讨论:①a=0,②a<0,③0<ag,④a号由⑵知，若a=O,f(x)无最小直若a<O,f(x)无最小值：若0<a<；,当x--8时,f(x)-0;当x>0时,要使函数存在最小值，则(^言)=eF-10G一=三+1]=eM(4a-l)40.解得0<a],故a的取值范围为(0周；若a当当X—-8时,f(x)一0,又f(0)=l,故f(x)无最小值.综上所述，函数f(x)存在最小值时,a的取值范围为(0,非20.(2021丰台一模,19)已知椭圆C:《+\=l(a>b>0)长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0)离心率为当⑴求椭圆C的方程；(2)P为椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,PB分别交直线x=-6于M,N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q.⑴求证:直线AP,AN的斜率之积为定值：(ii)判断MBQ三点是否共线，并说明理由.解析⑴由题意得a=2,e=；=当所以c=6,b2=a2-c2=l.所以椭圆C的方程为9^=1.(2)⑴证明:设P(Xo,yo)(XoW±2,yoHO),因为P在椭圆C上,所以空+必=1.直线AP的斜率为丹，直线BP的斜率为汽，所以直线BP的方程为y=4x-2）.所以N点坐标为（-6,翳）.-8y（）所以直线AN的斜率为需=吟.-6+2Xq-2所以直线AP,AN的斜率之积为%，至^=冬^=—j-7-=—；•Xg+2xq-2Xq-4Xq-4 2（ii）M,B,Q三点共线.设直线AP斜率为k,易得M（-6,-4k）.由⑴可知直线AN斜率为募所以直线AN的方程为丫=泰+2）.联立可得（4+4k2）y2+8ky=o.解得Q点的纵坐标为奇，所以Q点的坐标为Q（誉，券）-2k）0所以,直线BQ的斜率为»=直线BM的斜率为等=*2k4-27 2 -6-2 21+F因为直线BQ的斜率等于直线BM的斜率，所以M,B,Q三点共线./aiiQ12□ain\21.（2022海淀期末,21）已知n行n列（n22）的数表A=a21 a22 —a2n•••••・中，对任意的\anlan2口ann/n ni£{l,2,..,n}je{l,2,..,n}都有画£{0,1}若当ast=0时，总有□砥+口asj>i=l j=lJnnn,则称数表A为典型表，此时记%=,□□啊.i=ly-1

/o01\(1)/o01\(1)右数表8=100,C=\110/1100,请直接写出B,c是不是典型表;0011\0011/⑵当n=6时，是否存在典型表A使得S6=17?若存在，请写出一个A;若不存在,请说明理由;⑶求Sn的最小值.解析(1)B不是典型表,C是典型表.(2)解法一:S6不可能等于17.以下用反证法进行证明.证明:假设S6=17,那么典型表出次*6中有19个0,在六行中至少有一行0的个数不少于4,不妨设此行为第一行，且不妨设a『an=a.a”=0.此时前四列中，每一列的其余位置中都至少有4个1，所以前四列中至少有16个1,所以ai5与ai6中至多有一个1,即ai5与aw中至少有一^T为0,不妨设3=0,则第五列的其余位置中至少又有5个1,所以前五列中已经有不少于21个1了，与Se=17矛盾.所以假设不成立.所以S6不可能等于17.解法二:S6不可能等于17,以下证明Sft>18.证明:因为当典型表(ajj)6x6中()的个数不超过18时,1的个数不少于18,所以S6218.以下只需证明当典型表(四。6*6中。的个数大于18时，也有S6>18成立.当典型表(a〃)6x6中0的个数大于18时,在六行中至少有一行()的个数不少于4,不妨设此行为第一行.6 6①若第一行。的个数为6,则为知•+Daa<5,不合题意；②若第一行0的个数为5,不妨设au=ai2=".=ai5=0,ai6=l,此时前5列中.每一列的其余位置都只能是1,所以S6218.③若第一行0的个数为4,不妨设au=an=a.a*0,ai5=ai6=l,此时前4列中,每一列的其余位置中都至少有4个是1,所以S6>18.综上,S6218.所以S6不可能等于17.(3)解法一:在水平方向的n行和竖直方向的n列中,一定存在某一行或某一列中含有的1的个数最少，不妨设第一行中的1最少,并设其个数为k,其中kG{0,1,2,3,且不妨设第一行中前k个为I,后(n-k)个为0.对于第一行中为1的这k列中,因为每一列都至少有k个1,所以共有k2个I;对于第一行中为。的(n-k)列中，每一列中都至少有(n-k)个1,所以Sn^k2+(n-k)2=2k2-2nk+n2=2^/c-§+y.以下记f(k)=2(/cq)2+9，①当n为偶数时厕Sn>f(k)>2g-g2+y=9对任