2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第7讲数列求和错位相减法（解析版）

第7讲数列求和:错位相减法参考答案与试题解析解答题(共11小题)(2020•新课标I)设他“｝是公比不为1的等比数列，q为外,%的等差中项•(1)求｛4｝的公比；(2)若％=1,求数列｛〃a“｝的前”项和.【解答】解：(1)设｛《,｝是公比g不为1的等比数列，4为小，%的等差中项，可得24=02+%，即2al=atq+atq2,即为/+q-2=0,解得q=-2(1舍去)，所以｛a,,｝的公比为一2;(2)若4=1,则凡=(-2尸，%,=〃4-2严，则数列｛叼,｝的前〃项和为S”=1・1+24-2)+3《—2)2+…+〃《-2尸,-25,,=1.(-2)+24-2)2+34-2)3+...+〃4一2)”,两式相减可得3S“=1+(-2)+(-2>+(-2)3+…+(-2)1_〃?2)"1-(-2)”1-(-2)1-(-2)”1-(-2)-n.(-2)n,化简可得Sn=匕(1+3〃)[2)：,9所以数列｛〃a,J的前〃项和为i+(2021•天津模拟)已知数列｛/｝的前"项和为S“，且满足S“=2a,-2,(〃eN*).数列｛"｝是首项为4,公差不为零的等差数列，且伉，&，九成等比数列.(1)求数列与也」的通项公式.(2)若C.=Z,数列｛%｝的前n项和为7；,7；〈根恒成立，求m的范围.【解答】解：(I)S“=2a“-2,(〃eN*),可得4=S=2《-2,解得“=2,〃..2时，an=S“-S"_|=2a„-24T>即为4=2a„_t,可得数列｛”“｝为首项和公比均为2的等比数列，即有4=2",nwN*；数列｛")是首项为4，公差d不为零的等差数列，目5，氏,加成等比数列.可得b1b][=b；,即为2(2+lOd)=(2+2d)2,解得d=3,又乙=2,可得或=3〃-1,nd(2)。“=%=(3〃-1)-(与，TOC\o"1-5"\h\zan 2T=2--+5--+8—+...+(3n-l)-(-)%w2 4 16 2-T=2-+5--+8—+.4-(37?-l)(-)w+,2w4 8 32 2两式相减可得,(=1+3[,+^-+...+(4)〃]一(3〃-1)・(』)向2〃 416 2 2A(i—L_)=1+3-^——2 (3n-l)(-r+,,1I 21—2化简可得骞=5-(3”+5>(；)",即有(<5,7；<机恒成立，可得m..5.即机的范围是[5,+oo).(2021秋•正定县校级月考)已知数列｛”"｝为公差不为零的等差数列，4=1,各项均为正数的等比数列｛4｝的第1项、第3项、第5项分别是4、4、«2i.(1)求数列｛《,｝与｛"｝的通项公式；(2)求数列他也｝的前〃项和5,.【解答】解：(1)设数列｛q｝的公差为d,数列｛0｝的公比为4由题意,得=W],即(q+2〃尸=4(4+20d),解之得d=4(舍去0)cin=1+(/?-1)x4=4〃-3而｛%“｝的首项4=4=1，公比满足＜7?=山=2=9，得4=3q1.•・2=4x3"T=31综上所述,数列｛《,｝与｛"｝的通项公式分别为a.=4〃-3、2=3"，(2)由(1)得a“〃=(4〃-3)x3"T.-.Sn=lxl+5x3'+9x32+...+(4“一7)x3"2+(4〃-3)x3"T…①两边都乘以9,得3S„=1x3'+5x32+9x3?+...+(4〃-7)x3"T+(4〃-3)x3"…②①一②，得一2szi=1+4(3,+32+...+3"T)-(4〃—3)x3"=4x3(1-3)+l-(4n-3)x3,'=(5-4〃)x3"-51—3数列｛a,也,｝的前"项和Sn=-[(4n-5)x3"+5](2021•武清区校级模拟)已知等比数列｛a“｝的前"项和为S“，公比g>0,5,=2^-2,S3=a4-2,数列｛4｝满足亚=g+L(〃wN*)且叼=44,%="•(【)求｛"")和｛"｝的通项公式；(II)将｛。力和｛2｝中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列｛c“｝,求数列｛%｝的前100项和加.外"九i](III)设数列｛d,J的通项公式为：4=<L ，meN",求£4.~~~■—=2m[4【解答】解：(1)由§2=2%一2；§3=4-2两式相减得S3-S2=q=q-四即a2q=a2q2-2a2,化简得g2-g-2=0,解得g=2或q=-l(舍去)，将夕=2代入S?=2的一2,得q+24=4〃]—2,解得q=2,所以4〃=2x2"'=2".由2d=2_1+b〃+],得〃“-力〃=勿-2_],所以数列｛》〃｝为等差数列，令其公差为d;又/7.=—=—=1、4=0,=2^=8,1 4 4 8、则7d=々一"=7,解得d=l.所以a=〃.(2)令｛"｝的前〃项和为修，易知4=2"；均为递增数列，且〃=6时，％=64<100、M=7时，/=128>100，则数列｛cn｝的前100项和小满足7；(X)=56+/^,所以2(1-26)947°°=12+~7。。+94)=126+47><95=4591.a*")> )1( 3 )由d=/ 2 ,mwM,得4,(£)2 °[4d2n+ _2t,(；"T)2=22-2.[(2n)2-(2n-l)2]=(4n-1)-4"，2n所以£&=4+&+...+4“t+</2„=3x4,,+7x4i+llx42+...+(4n-5)-4n*2+(4n-l)-4n-1i=l2n4工4=3x4'+7x42+llx4,+...+(4/i-5)-4n-'+(4/i-l)-4n②i=\2n 4。一4"。 7 4"_324=3+4x-^ --(4n-l)-4"= (12n-7).1-4 33m।、।X"1j712m7所以>4=-+ !’99/=|//（2020秋•天津期末）已知等比数列｛a,J的公比夕＞0,且满足q+q=6a,,a4=4a；,数列收）的前"项和S"=型押，neN*.（I）求数列伍“｝和｛〃,｝的通项公式；3b,*+8&〃为奇数（H）设G=ET"" ，求数列｛c“｝的前2”项和心".S“b”,n为偶数【解答】解：(I)依题意，由4+生=6a3,4=4a；，可得ja,+%q=6a,<72['W=4(q.q2)2'=50)(5)"'"N*，对于数列｛d｝：当〃=1时,b,=Sj=1>TOC\o"1-5"\h\z当〃..2时，a=s“_s,|=她上D-她二»=〃，nnn—i 2 2・.,当〃=1时，4=1也满足上式，bn=n9nsN*・(II)由题意及(I),可知当"为奇数时，c.=^2.a.+2=4*-x(3-2=-! 5~9,b/n+2 2 〃5+2) 2 〃・2" 5+2"2-2当n为偶数时，cn=a“・b〃= ，令A=q+C3+…+c2n_1,8=c2+C4+…+。2〃，则A=g+g+—+C2“t1 1_J 1__ ] [一运一扬扬―亚…(2a?-1).22,,_,-(2n+l).22n+,J 1-b2r-(2/i+l).22w+,11-2^(2n+l).22n+,'(g)2B=吗)4+吗6+...+(2“-2)少+2吗产2,两式相减，可得：B=2.(g)2+2«g)4+24g)"+…+24g);:"-2〃《(g)”"2.AT2n=£+「2+…+%=(G+C3+…+,2”_])4-(c24-<?4+c6+...4-c2n)=A+B=1 13n+42)2-+82(2n+l).22n+, 9 2 9金-(一^+迎”尸.18 4(2〃+1) 9 2(2021秋•长春月考)设等差数列｛a“｝的前〃项和为S“，若S?=28,%+4=10.(I)求数列｛/｝的通项公式；(II)设包=4•2"”，求数列｛"｝的前”项和7；.【解答】解：(I)设等差数列｛4｝的公差为d,由&=28,%+4=1°，可得""'+；+.)=28,2q+8d=10,解得4=1,d=\<所以。“=〃；(II)由(I)知q=",故+ +…+〃.2”①①X2,可得27；=1・22+2・23+…+"-2"+i②①一②得，-7；=2+22+23+―+2”-小2向=-2+(1-〃)-2.，所以<=2+(〃-1>2"二(2021•鼓楼区校级开学)已知数列｛《,｝的前〃项和为5“，且4=2,且5,,=a“M-2.(1)求数列｛”"｝的通项公式；(2)求数列｛(2"+1)・凡｝的前〃项和【解答】解：(1)依题意，当〃..2时，由S“=a”+1—2,可得以产4+2-2，两式相减,得““+]=2a“("..2),6^=4+2=4=2qH0,.也一,•・・数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列，：.an=2-2n-'=2",neN*.(2)由(1),可得(2〃+1)・4=(2"+1)2,则7；=3x2i+5x22+7x23+—+(2〃+l)・2",27；=3x2?+5x23+…+(2”-1).2"+(2〃+1).2.，两式相减，得-7；=6+2x(22+23+...+2")-(2n+l)-2"+,=6+2x2”(1-2,一)-(2n+l)-2n+l,1-2Tn=2+(2n-l)-2n+l.(2021秋♦长春月考)设数列｛4｝的前”项和为5“,%=-S“Se(〃eN"),a,=1.(I)求证：数列｛-5-)是等差数列；S”(II)设求数列｛"｝的前〃项和【解答】（I）证明：数列｛凡｝的前八项和为S“，%=-S£M（“eN*）,s-v可得-S,,S.M=S”+「S”，S|=1HO,则S,xO,所以_i=£l有」——-=1,所以数列｛-!-｝是以1为首项，1为公差的等差数列.（6分）S〃+i Sn(II)解：由(1)知」-=〃，故2=〃-2",7；=1・2+2・22+―+〃・2",①S"①x2,2T„=\-22+2-23+--+n-2"¥',②①一②得，-7；=2+22+23+---+2"-n-2"+,=-2+(l-M)-2n+1,所以北=2+(〃-1)2,(12分)(2021春•湖北期中)设数列｛4｝满足4=1,%+期.(1)求数列｛4｝的通项公式；（2）令"=g（2〃+l）（4-aj,求数列｛2,｝的前”项和S,.【解答】解：（1）数列｛4｝满足q=l，a.-凡=后,〃七%*,所以：可一万' 七一4=2，利用累加法：4-q=3-（点"一2,整理得：/=4-（g）i,（首项符合通项）,故%=4_(#.(2)由(1)得包=g(2〃+l)(4—。“)=(2〃+1)4”，所以&=3x(；)°+5xgy+...+(2"+l)-(g)"T(D，1s„=3x(1)'+5x(1)2+...+(2n+l)-(1)n@.1-②得：g5“=1+2[(^)°+(―)'+...+(—)w-']—(2n+l)-(—)w,整理得：S=6—(n+2)-(―)"-1.3（2021秋•光明区月考）已知数列⑸｝满足4=[l+（-l）12"T.（1）记｛七｝的前"项和为S"，求国;

(2)记c〃=2na〃,求｛c“｝的前2〃项和T2n.【解答】解：⑴数列｛/｝满足4=口+(-1)”]・2〃，当九=1时，q=0,"|〃=2时，生=22,与〃=3时，生=0,”|〃=4时，=24>当〃=5时，％=°，当〃6时，4=26，当〃=7时，%=0,当〃=8时，^=28,所以：58=q+生+…+/=2~+24+2“+2*=308.(2)己知：t?1+a2=22,q+g=2" 。2”-1 +=2?”,由于c“由于c“=2nan=«02小2”（〃为奇数），〃为偶数，所以：7^=4x22+8x24+...+2〃・22*i①，4七=4x2’+8x26+...+2小22n+3(2),①一②得.-3T2n=4x(22+24+...+22")-2n-22n+3,整理得：Wd+162n9（2021•迎泽区校级二模）已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S,,,且4=1,邑=9.数列电｝满足%+生+…+%=2"+1.4&b.（1）求｛a,,｝和｛4｝的通项公式；（2）设数列｛"）的前〃项和为7；,求证：Tn<-.【解答】解：（1）设等差数列｛《｝的公差为d，由S3=9,得3〃]+3d=9,又q=l,则d=2,所以=1+2（〃—1）=2九—1；当〃=1时，有%=3,得4=,，当〃..2时，由&+&+...+—+”=2"+1瓦 3 4b2%b„得4+&