高中数学试题-招立体几何重要结论（学生版）

§1 立体几何中线面关系重要结论妙用秒杀知识点知识点1：（平行）1．如果一条直线平行于两个相交平面，则该直线平行于两平面的交线．2．如果一条直线与一个平面平行，则这条直线必垂直于这个平面的垂线．3．如果一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．4．如果两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．（推论：两直线垂直于同一平面，则两直线平行）5．如果两个平面平行，则一个平面内的直线必与另一个平面平行．6．如果两条异面直线都平行于两个平面，则这两个平面平行．知识点2：（垂直）7．如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也与这个平面垂直．8．两个平行平面中的一个平面必垂直于另一个平面的垂面．9．如果平面外的一条直线与这个平面都垂直于另一个平面，则这条直线和这个平面平行．10．如果一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，这两个二面角的大小关系不一定是相等或互补．11．（三垂线定理）如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．（逆定理也成立）．为了便于记忆，把上述结论给出图示或说明：【平行关系】1．，，．如图所示．2．，．如图所示．3．，，；，，且，．如图所示．4．，．同3图．（推论：，）5．，．如图所示．6．如图所示，正方体，，，与异面，且平面，平面，平面，平面平面平面．【垂直关系】7．，，．如图所示．8．，．如图所示．9．，，．如图所示．10．在平面几何中，一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补．类比到立体几何，结论不成立．即：一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，这两个二面角不一定相等或互补．11．为直线在内的射影，．若，则．（或若，则）．秒杀思路分析利用这11个结论及线面、面面平行、垂直判定定理及性质即可解决有关线面关系问题．实际解题时一种情况是找出成立的命题，另一种情况是找出不成立的命题在解题中一定要考虑各种情况，也是分类关系．【示例1】（2014年辽宁卷文、理4）已知，表示不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（） A．若，，则 B．若，，则 C．若， ，则 D．若，，则 本题找出正确的命题，A不成立（平行关系是传递关系，但必须是同元素，即都是直线，或都是平面）．C，D是结论2的逆命题，因逆命题不成立，故只有B正确．【秒杀方法】由线面性质，线面内任意一条直线，故B正确，选择B．【示例2】（2015年北京卷理4）设，是两个不同平面，是直线且，“”是“”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【秒杀方法】由结论5，，，即可选择B．【示例3】（2014年浙江卷文4）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（） A．若，，则 B．若，，则 C．若， ，，则 D．若，，，则本题也是找出正确命题．【秒杀方法】对C，由结论4，，由，则．故C正确，选择C．【示例4】（2009年广东卷）给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不直．其中为真命题的是（） A．①② B．②③ C．③④ D．②④这是一道选择题，选项中涉及两个命题，解题中一般判断一个即可采用排除法，不必四个命题都判别．【秒杀方法】由结论3即知①错误，命题②即为面面垂直判定定理，故②正确，由③错误，故选择D．方法对比【例1】（2017年全国卷Ⅲ文10）在正方体中，为棱的中点，则（） A． B． C． D．常规方法：连接．，，，，共面．由已知得，平面，，则平面，又，故．注：本题共四个选项，画出图形做出初步判断，然后再进一步论证．秒杀方法：由结论11：在面上的射影为，可知，不正确，又在面上的射影为，可知与不垂直，故A错误．故选C正确．【例2】（2015年安徽卷理5）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（） A．若，垂直于同一平面，则与平行 B．若，平行于同一平面，则与平行 C．若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若，不平行，则与不可能垂直与同一平面常规方法：A项，，可能相交，故错误． B项，，关系不确定，与可能相交、平行或异面，故错误． C项，若，，，则，故错误．故D项正确．选择D．秒杀方法：由结论4推论：，．故D正确．选择D．【例2】（2012年山东卷文19）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，．（1）求证：（2）若，为线段的中点．求证：平面． 常规方法：（1）取中点，连接，．，．又，，，平面．平面．．又为中点．故．（2）如图，延长，交于，连接．，，．为正三角形，，，则，即．又，为线段的中点，连接．由为中点得．又平面．秒杀方法：（1）过作于点，连接．又，，平面．（也可由结论11得到）又，为中点．故．（2）由题意可知．取中点，连接，，则，即，．又．由结论3，知平面平面．又平面，故平面．秒杀训练【试题1】已知，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，是异面直线，，，，，则．其中真命题是（） A．①② B．①③ C．③④ D．①④【试题2】已知直线，与平面，，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则．其中真命题的个数是（） A． B． C． D．【试题3】对于不重合的两个平面与，给出下列条件：①存在平面，使得，都垂直于；②存在平面，使得，都平行于；③内有不共线的三点到的距离相等；④存在异面直线使得，，使得，，，．其中，可以判定与平行的条件有（） A．个 B．个 C．个 D．个【试题4】在空间中，下列命题正确的是（填序号）．①如果两条直线，分别与直线平行，那么；②如果直线与平面内的一条直线平行，那么；③如果直线与平面内的两条直线，都垂直，那么；④如果平面内的一条直线垂直于平面，那么．【试题5】如图，为正方体，下面结论错误的是（） A．平面 B． C．平面 D．异面直线与所成角为真题回放【试题1】（2015年福建卷理7）若，是两条不同的直线，垂直与平面，则“”是“”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【试题2】（2016年全国甲卷14），是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题：①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么与所成的角和与所成的角相等．其中正确的命题有（填写所有正确命题的序号）． 【试题3】（2017年全国卷Ⅰ文6）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（） 【试题3】（东北三校2018年二模10）设m,n是两条不同直线，a，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，且，点，直线，则参考解答