高一数学必修2《直线与平面垂直（第一课时）》课件

直线与平面垂直（第一课时）高一年级数学

问题1

在阳光下观察直立于地面的旗杆

及它在地面的影子

．随着时间的变化，影子

的位置在不断地变化，旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直?

问题2

影子所在直线是地面中的所有直线吗？根据上述分析，你能用简洁的语言给出直线与平面垂直的定义吗？

如果直线

与平面

内的任意一条直线都垂直，我们就说直线

与平面

互相垂直，记作.直线

叫做平面

的垂线，平面

叫做直线

的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点

叫做垂足．

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．直线与平面垂直的定义

如果直线

与平面

内的任意一条直线都垂直，我们就说直线

与平面

互相垂直，记作.直线

叫做平面

的垂线，平面

叫做直线

的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点

叫做垂足．

思考：直线与平面垂直的定义中，“任意一条

直线”能改为“无数条直线”吗？也就

是说，如果直线与平面内无数条直线垂

直，能说直线与平面垂直吗？直线与平面垂直的定义

问题3

由定义可知，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直．那反过来，如果直线与平面垂直，直线是否与平面内的任意一条直线都垂直呢？

如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线.符号表示：线面垂直线线垂直

问题4

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？证明：假设过点

有两条直线

，垂直于同一平面

，设直线

，确定的平面为,且

,所以.由线面垂直的定义，

知,,这与“在同一平面内，过

一点有且只有一条直线与已知直线垂直”

矛盾.所以，过一点垂直于已知平面的直

线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离．回顾：直线与平面平行的研究方法与思路

定义（充要条件）判定（充分条件）性质（必要条件）

问题5

根据定义，判定直线与平面垂直，需要验证直线与平面内的所有直线都垂直．类比直线与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单易行的方法呢？探究

如图，准备一块三角形的纸片

，过

的

顶点

翻折纸片，得到折痕

，将翻折后的纸片竖起

放置在桌面上（

，

与桌面接触）．

（1）折痕与桌面垂直吗？

探究

如图，准备一块三角形的纸片

，过

的

顶点

翻折纸片，得到折痕

，将翻折后的纸片竖起

放置在桌面上（

，

与桌面接触）．

（1）折痕与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕与桌面

垂直？为什么？

探究

如图，准备一块三角形的纸片

，过

的

顶点

翻折纸片，得到折痕

，将翻折后的纸片竖起

放置在桌面上（

，

与桌面接触）．

（1）折痕与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕与桌面

垂直？为什么？

直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．符号表示：图形表示：线线垂直线面垂直例1

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，

那么另一条直线也垂直于这个平面.例1

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，

那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，，

．求证：

．例1

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，

那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，，

．求证：

．证明：在平面内取两条相交直线，．

直线

，

，

．例1

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，

那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，，

．求证：

．证明：在平面内取两条相交直线，．

直线

，

，

．

，

，．例1

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，

那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，，

．求证：

．证明：在平面内取两条相交直线，．

直线

，

，

．

，

，．

又

，

，

，

是两条相交直线，

．

例1

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，

那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，，

．求证：

．证明：在平面内取两条相交直线，．

直线

，

，

．

，

，．

又

，

，

，

是两条相交直线，

．

你还有其他证明方法吗？判定直线与平面垂直的两种方法：（1）利用定义，证明直线与平面内所有直线垂直；（2）利用判定定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直.

问题6

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况．当它们不垂直时，可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢?

如图，一条直线

与一个平面

相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点

叫做斜足.

直线和平面所成的角

如图，一条直线

与一个平面

相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点

叫做斜足.

过斜线上斜足以外的一点

向平面

引垂线,过垂足

和斜足

的直线

叫做斜线在这个平面上的射影.直线和平面所成的角

如图，一条直线

与一个平面

相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点

叫做斜足.

过斜线上斜足以外的一点

向平面

引垂线,过垂足

和斜足

的直线

叫做斜线在这个平面上的射影.

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角

，叫做这条直线和这个平面所成的角.直线和平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°．直线与平面所成的角

的取值范围是0°90°．直线和平面所成的角例2如图，在正方体

中，求直线

与平面

所成的角.例2如图，在正方体

中，求直线

与平面

所成的角.解：连接，，与相交于．

连接.设正方体的棱长为．例2如图，在正方体

中，求直线

与平面

所成的角.解：连接，，与相交于．

连接.设正方体的棱长为．

，，，

平面．．

例2如图，在正方体

中，求直线

与平面

所成的角.解：连接，，与相交于．

连接.设正方体的棱长为．

，，，

平面．．

又，

平面，

例2如图，在正方体

中，求直线

与平面

所成的角.解：连接，，与相交于．

连接.设正方体的棱长为．

，，，

平面．．

又，

平面．为斜线在平面上的射影，

为和平面所成的角．例2如图，在正方体

中，求直线

与平面

所成的角