确定二次函数的表达式(经典)讲解课件

二次函数

确定二次函数的表达式

二次函数确定二次函数的表达式复习提问：1.二次函数表达式的一般形式是什么?二次函数表达式的顶点式是什么?3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为(x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)复习提问：1.二次函数表达式的一般形式是什么?二次函数表达一、教学目标：

1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识.

2.会利用待定系数法求二次函数的表达式.

3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。

二、重点和难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，既是重点又是难点。一、教学目标：

1.经历确定二次函数表达例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2),C(-1,2)三点求此函数的解析式。

解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c∵

图象过B(0,2)∴

c=2∴

y=ax2+bx+2∵图象过A(2,-4),C(-1,2)两点∴

-4=4a+2b+2

2=a-b+2

解得

a=-1,b=-1∴

函数的解析式为：

y=-x2-x+2例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2),C(-

例2.

已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。解法1：（利用一般式）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)由题意知16a+4b+c=-3

-b/2a=3

(4ac-b2)/4a=4解方程组得：

a=-7b=42c=-59∴

二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59

例2.已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且解法2：（利用顶点式）∵

当x=3时，有最大值4∴

顶点坐标为(3,4)设二次函数解析式为：

y=a(x-3)2+4∵

函数图象过点（4，-3）∴

a(4-3)2+4=-3∴

a=-7∴

二次函数的解析式为：

y=-7(x-3)2+4解法2：（利用顶点式）例3.

二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),

B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。解:∵二次函数的对称轴为直线x=3∴设二次函数表达式为

y=a(x-3)2+k

图象过点A(0,5),B(5,0)两点∴5=a(0-3)2+k

0=a(5-3)2+k

解得：a=1k=-4∴

二次函数的表达式:y=(x-3)2-4

即

y=x2-6x+5小结:

已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。

例3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),解：（交点式）∵二次函数图象经过点(3,0),(-1,0)∴设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1)

∵函数图象过点(1,4)∴4=a(1-3)(1+1)得a=-1∴函数的表达式为：

y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3例４．已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便解：（交点式）例４．已知二次函数图象经过点(1,4),(-其它解法：（一般式）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)∴

a+b+c=4

①

a-b+c=0

②

9a+3b+c=0

③

解得：

a=-1

b=2c=3

∴

函数的解析式为：y=-x2+2x+3其它解法：（一般式）（顶点式）

解：∵

抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，∴(-1+3)/2=1∴

点(1,4)为抛物线的顶点可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2+4

∵抛物线过点(-1,0)∴0=a(-1-1)2+4得a=-1∴函数的解析式为：

y=-(x-1)2+4

（顶点式）〔做一做〕

如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为0.9m．试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二次函数表达式?解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系设它的函数表达式为:y=ax²(a≠0)〔做一做〕解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且与y轴垂直谈谈你的收获

谈谈你的收获〔议一议〕

通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）你能否总结出上述解题的一般步骤?1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;2.设抛物线的表达式;3.写出相关点的坐标;4.列方程(或方程组);5.解方程或方程组,求待定系数;6.写出函数的表达式;〔议一议〕（待定系数法）你能否总结出上述解题的一般步骤?1.归纳：

在确定二次函数的表达式时（1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式；（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式较为简便；（3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式较为简单。归纳：谢谢！再见！谢谢！再见！作业题！作业题！

①求点C的坐标②若一个二次函数的图像经过A，B，C三点，求这个二次函数表达式。已知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X轴上，其横坐标满足方程

【能力挑战】【能力挑战】解得：解得：1解:①C(３,０)或C(-1,0)

②设：二次函数解析式为：当C(3,0)时∵a≠0∴当C（3，0）时二次函数不存在∴二次函数解析式为当C(-1,0)时解得：解得：1解:①C(３,０)或C(-1,0)∵a≠0

二次函数

确定二次函数的表达式

二次函数确定二次函数的表达式复习提问：1.二次函数表达式的一般形式是什么?二次函数表达式的顶点式是什么?3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为(x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)复习提问：1.二次函数表达式的一般形式是什么?二次函数表达一、教学目标：

1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识.

2.会利用待定系数法求二次函数的表达式.

3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。

二、重点和难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，既是重点又是难点。一、教学目标：

1.经历确定二次函数表达例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2),C(-1,2)三点求此函数的解析式。

解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c∵

图象过B(0,2)∴

c=2∴

y=ax2+bx+2∵图象过A(2,-4),C(-1,2)两点∴

-4=4a+2b+2

2=a-b+2

解得

a=-1,b=-1∴

函数的解析式为：

y=-x2-x+2例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2),C(-

例2.

已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。解法1：（利用一般式）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)由题意知16a+4b+c=-3

-b/2a=3

(4ac-b2)/4a=4解方程组得：

a=-7b=42c=-59∴

二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59

例2.已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且解法2：（利用顶点式）∵

当x=3时，有最大值4∴

顶点坐标为(3,4)设二次函数解析式为：

y=a(x-3)2+4∵

函数图象过点（4，-3）∴

a(4-3)2+4=-3∴

a=-7∴

二次函数的解析式为：

y=-7(x-3)2+4解法2：（利用顶点式）例3.

二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),

B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。解:∵二次函数的对称轴为直线x=3∴设二次函数表达式为

y=a(x-3)2+k

图象过点A(0,5),B(5,0)两点∴5=a(0-3)2+k

0=a(5-3)2+k

解得：a=1k=-4∴

二次函数的表达式:y=(x-3)2-4

即

y=x2-6x+5小结:

已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。

例3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),解：（交点式）∵二次函数图象经过点(3,0),(-1,0)∴设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1)

∵函数图象过点(1,4)∴4=a(1-3)(1+1)得a=-1∴函数的表达式为：

y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3例４．已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便解：（交点式）例４．已知二次函数图象经过点(1,4),(-其它解法：（一般式）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)∴

a+b+c=4

①

a-b+c=0

②

9a+3b+c=0

③

解得：

a=-1

b=2c=3

∴

函数的解析式为：y=-x2+2x+3其它解法：（一般式）（顶点式）

解：∵

抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，∴(-1+3)/2=1∴

点(1,4)为抛物线的顶点可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2+4

∵抛物线过点(-1,0)∴0=a(-1-1)2+4得a=-1∴函数的解析式为：

y=-(x-1)2+4

（顶点式）〔做一做〕

如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为0.9m．试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二次函数表达式?解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系设它的函数表达式为:y=ax²