现代控制理论第四章

第四章稳定性与夫方§4－1夫关于稳定性的定。与外界扰动的大小有关夫第二法是一种普遍适用于。设所研究系统 状态方程为

f(x,t)

XnfX同维的状态矢Xx1x2,xn和时间t时变的非线性函数，如果不显含t，则为定常的非线性函数。在给定初始条件下，(tx0t0X(t;x0,t0

X0(t0x0,t0t0t是从t0若系统式（4－1）Xe，对所有tf(Xe,t)

Xe

f(x,t)

AAX

0X

0A为奇异矩阵时，系统将有无穷多个平衡状态。由式（4－3）x1xxx

X

0

有三个平衡状态：

0，e 1， 若用||

X

||表示状态矢量X与平衡状态XeS(Xe为半径的XS()e||||

XeX

||

|X

||[(x

)2(x

)2

((xn

1)2

当S(Xe

S()，则意味着

x0

||若式（4－1）||(t;x0,t0)

||，tt0

0则式（4－8）表明方程式（4－1）由初态x或短暂扰0对式（4－1）描述的系统对于任意选定的实数0却对应存在另一实数(t00,使得当x0

x0

||(,t0||(t;x0,t0)Xe

||

，

t

Xe为李氏意义下的稳定，其中实数与有关，一般也与t0有关，如果与t0无关，称这种平衡为一致SSt如果平衡状态Xe是稳定的而且当t无限增长时轨线不仅不超出S()，而且最终收敛于Xe，则称这种平衡状态渐近SSxtXe大范围渐近稳定。它的必要条对于某个实数0和任意实数0，不管S(S(，则称这Xe不稳定。0S(xS(0X(t)(tx0t0X(tXetX(tt

X

0X

XeSx0tXAXC，

(4-的平衡状态Xe渐近稳定的充要条件是阵A所有特征值均如果系统对于有界输入uy系统输出稳定。线性定常系统＝（AB输出稳定的充要s的左半平面。例：W(s)C(sIA)1bX 0

y 0①①

A]

s

(s1)(s1)0 s0特征值1=-1

1W(s)C(sIs1

1

(s 0

s

(s1)(s1)s1

出特性中没有被表现出来。这说明当系统的传递函数W(s)不W(s的极点相同，系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一

f(X,t)

(4-XefXtXXXefXtXe

X

(X

Xe)R(X

(4-x

f1 X

f2

n 2xn

(4-f

n

nxn令

X

Xe，取式（4－12）

A

XXX

(4-①如果方程式（4－15）A的所有特征值都具稳定的，而且系统的稳定性与RX)无关②如果A的特征值至少有一个实部为零系统处于临界情况。系统的稳定性取决于高阶导数项R(X)，而不能由矩阵A的特征值符号来确定。③如果A的特征值至少有一个正实部则原非线性系统的Xe是不稳定的。x1x1x1

x

1Xe1

，X

A 0

Xe1

x

x1

A 在Xe2处线性化：x

j101Xe11

1

x2

，

0f2

x2

，

1x1x

0A A1 1 平衡点： 1Xe21

1

x2

，

f2

1 A

x2

，

1x1

0 11

e 夫定义一个正定的标量函数V(X)，作为虚构

dV(X VXX是负定的，则这个系统是渐近稳定的，VX设VX为由nXX，在X0处，恒有VX)0。在XVX)0，称VXx例VXx

2x221VX)0，称VX为半正定的（或非负定21例：VX

)2VX)0，称VX例：VX)

(x

2x212VX)0，称VX为半负定的（或非正定12例：VX)

)2V(X)0或V(X)0，则称VX例：V(X)

x1x2①设

xT32标量函数为：V(X)(x1x2 x32323因为有VX)0Xx21也使VX)0x21

②X

xT，标量函数为：VX)

x23因为有VX)03VX)0

aT时，也V(X)

XT

P

xx x

2n2

(4-P

x n nnnpijpjiP1V(X)10x24x11 111 2x11对于二次型函数VX)

XT

P必定存在正定矩阵TXTX~~~AATI~~~TXTX，XT TTV(X)

XT

XXT

X

00

(4-P是nn实对称矩阵，VX)

XT

PT必须为正交矩阵，才有TTT1①若VXPP②若VXPP③若VX（非负定PP④若VXPP0。P的符号性质与由其决定的二次型函数V(X)

XT

的符号性质完全一致，因此要判别VXP

P P21 22

2n

pji，1

p11P 2

p21

np22

，

nn

(4-P（或VX）①

0P（或VX）②若i

P（或VX）0,＝，，n

i0,i0i为偶数

P（或VX）④若i

，则P（或VX）⑤VX恒等于零，运动轨迹落在特定的曲面上VXC，例：闭环系统的状态方程为1X，xx，x1x 1e2 0uuy(s)1Cx选VX)x21.21

2x

0则VX2x1x12x2

x1x20

x2，

x1VX可保持为某一常数CC以原点为圆心 为半径的圆（极限环或临界稳定C⑥V(X)不恒为零，这个运动轨迹只在某个时刻与某个

V(X

C

1x1

例

，

xx 2 x选VX)

2x

021V(X)2xx2xx2xx2x(xx)2x2211 1 x10x20，VX

0

x10，x20，VX

0时，是状态轨迹与Vxx0x1x2x1x1

x X

1

X1

1X1 注

2

1X，2X1，2

X1X2，

X1X2xx12选V(X) 20xx12V(X)2x1x12x22x1(x1x2)2x2(x1x22x22xx2x22x 1 1

(4-2(x2x2)X

0

X

0（XA为nnA是系数矩阵取李氏函数为VX)

XT

P为nnVXV(X)

XT

XT

(AX)T

XTXTAT

XT

欲使系统在原点渐近稳定，则要求X(X)XT

，式中

ATPPA①如果X)XT么Q

②如果取一个正定矩阵（或者X零，可取任意一个半正定矩阵Q）ATPPAQ，按照希尔维斯特判据判定P的正定性进而作出系统渐近稳定的③为方便计算，取QIPAA（通过变换，若取VX

X

XTXQ(

2A

2A全为负值时，Q

1x1

例

，

x 2 V(X)

XT

，ATP

，Q11 1T11

P P

1 0

12

1212

P22

p12

p21

0P

22

22 ①

1；②P11P12

112 2P

解方程组得：

22 1

1，

；

1， 1

P 11

3 2 3212123212121,；PV(X)x

1 x

123

1

1x

2x213x2xxxx2x2 1 1 VX)

XT

1

2x

2x2 01(X)为负定的，Q 01

V(X)XT

1 0x1 1x 2－x xx1＝(x2x2

x 2V(X)1(3x22xx2x22 1 2取

(X)(x2x2 X(k1)GX(k)G为nnXe0对于任意给定的正定实对称矩阵QP。假设一个可能的李氏函数为：VX(k)]

XT(k)PX(k)我们采用VX

1与VX(k之差来代替XV[X(k)]V[X(k1)]V[X(kXT[(k1)]PX[(k1)]XT(k)PX(k[GX(k)]TP[GX(k)]XT(k)PX(kXT(k)GTPGX(k)XT(k)PX(kXT(k)[GTPGP]X(k

(4-由于VX(kVX(k)]因此Q[GTPGP

XT(k)QX(k)如果VX(k)]XT(k)QX(k)零，那么Q亦可取半正定的P、Q矩阵满足上述条件与矩阵G的特征值的绝1QQ

，然后验算由GTPG

I所确定的实对称矩阵P例：系统离散状态方程为：X

0X(k 2GTPG

I，

0

I I

0

20

0

P

P

2

22

2

22 1

0

0

22

2

22 2

P

0

12

12212221221222

2

2

P(

1) 12P12P12

1)2

1，

(

1)

P 1 1

P P22

12 1 2P|1|1和|

|1一、雅可比(Jaccobi（（Krasovski）

f(X式中 为n维向量。假

f(0)0

f(x)xi

1,2,3,nFXxf

f1xn J(X)

2

2X

xn

f n n n

xnPQ(X)[JT(X)PPJ(X

V(X)

fT(X)Pf(X

如果||

||，VXX

0证明：选取二次型函数VX)

fT(X)Pf(XP为正定实对称函数，VXf(xx的显函数，不是时间tdf(x)

f(x)

f(X)x

J(x)f(x) X X将VX沿状态轨迹对tVV(X)fT(X)Pf(X)fT(X)Pf(XfT(X)PJ(X)f(X)[J(X)f(X)]TPf(XfT(X)PJ(X)f(X)fT(X)JT(X)Pf(XfT(X)[PJ(X)JT(X)P]f(XfT(X)[JT(X)PPJ(X)]f(X

(X)

T(X)Q(X)f(XQ(X)[JT(X)P

要使系统渐近稳定，VX必须是负定的，而QX必须当||

||时，尚有VX)围渐近稳定的。显然，要使QXJXf

fiXxiJX主对角线上相应的元素

必须恒为零，则QXXP

0Q(X)[JT(X)

J(X

V(X)(X)

fT(X)f(XfT(X)[JT(X)

J(X)]f(XV(X)fT(X)Qf(XQ[JTXJX

0，要求QX推论：对于线性定常系统

矩阵AT

X

0Xex3x3

x1

x2 f(X)

解 x x3 2J(X)

f(X

21P21

X

13x2Q(X)[JT(X)J(X

13x2 13x2 26x2 2

2 2312x22120，2

26x2

0QX当||X||V(X)

fT(X)f(X

Xe

作业：4-1，4-2，4-3（1，4-6，4-8，4-9，4-二、变量梯度法（Shultz-的，那么李氏函数VX)的梯度必定存在且唯一。Vx

V11V 11V

V2

x2

Vx

Vn n设VXXVXXT的变化率就是VXT

VX

x3的温度，则V

中温度LHdLL——表示积分路H沿给定曲起点与终点的位置，积分与路径无关。如从原点X＝0出发，X，其积分结果都相同。L在三中，设矢量H用三个分量表示为HHxiHyjHz则矢量的旋度也是具有三个分量的矢量，定义是：kkHzrotH Hx

Hyi

j

k

k

jHy(

Hy)i(

Hz)j(Hy

Hx

若旋度为零，即rotH0H

H

，

H

，

HH

fXX

0假设VXXV(X)

dx2V

x1

V(X)VVxxn2(V)Txn确定X与

舒茨和基布逊提出：先假定V定系数的n维矢量。

a11

a12

a1nxnVaa

21

a22an2

a2nann

xnxn

X

为负定（）的要求确定系数aij

j1,2,3,n，再由这个

通过下列线积分来导出VX即 V(X) X(V)即 0

它是对整个状态空间

x

中任意点的线积33V(X)

xn0)Vdx xn0)Vdx

,xn1xn1)V

e2,

en

,式（4－30）中的积分路径是从坐标原点开始，沿着e1到达x1，再由这沿着e2到达x2，……，最后沿着en到达xn。为了使式（4－29）的线积分与积分路径无关，必须保证V的梯度为零。要求满足,

V

,

由x

V1 J(X)

VX

V2

V

n

n n(n

必须是对称的。对n维系统应该 n3

，

由式（4－30）求得的VX如果当||

||时，有VX)按式（4－28）设定V，式中的待定系数aij数或者时间t的函数，或者状态变量的函数。显然不同的系数选择法可能求出不同的VX。常把ann选成常数或时间taijX由V

n(n根据V(X)是负定或至少是半负定并满

个旋度方程的条件，确定

中余下的未知系数，由此得出的X)可能会改变第二步算的X，因此要重新校核X)的定号由式（4－30）确定VX校核是否满足当||

||时，有VX如果用上述方法求出不合适的VX，那也不意味着平衡

x2

x2 x2的夫函数，并分析平衡状态X解：设VX

0Va11x1